三角形内角和综合习题精选含答案Word文档下载推荐.docx
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点P是/ABC与/ACB平分线的交点.
（1）
（3）
（4）
问：
点A、B在运动的过程中，/P的大小是否会发生变化？
若不发生变化，请求出其值；
若发生变化，请说明理由；
P
BA至E,在/ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若/EAC、/FCA、/ABC的平分线相交垂足为H，试问/AGH和/BGC的大小关系如何？
请写出你的结论并说明理由.
11.如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O.（/ABC>
/C）,
（1）试说明/BOA=90°
+土/C;
当AD是高，判断/DAE与/C、/ABC的关系，并说明理由.
12.已知△ABC中，/BAC=100°
（1）若/ABC和/ACB的角平分线交于点0,如图1所示，试求/BOC的大小；
（2）若/ABC和/ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于0,0i,如图2所示，试求/B0C的大小；
（3）
如此类推，若/ABC和/ACB的n等分线自下而上依次相交于0,0i,O2…，如图3所示，试探求/B0C的大小与n的关系，并判断当/B0C=170。
时，是几等分线的交线所成的角.
答案与评分标准
一.解答题（共12小题）
1.如图
（1）,△ABC中，AD是角平分线，AE丄BC于点E.
A'
理可证明/DA'
E=2（/C-/B）.
解答：
解：
（1）在^ABC中，/BAC=180°
-/B-/C=180°
-50°
-80°
=50°
•••AD是角平分线，
•••/DAC=r/BAC=25°
在^ADC中，/ADC=180°
-/C-/DAC=75°
在^ADE中，/DAE=180°
-/ADC-AED=15°
（2）/DAE=180°
-/ADC-AED=180°
-/ADC-90°
=90。
-/ADC=90°
-（180。
-/C-/DAC）=90°
-（180°
-/C-丄/BAC）=90°
-[180°
-/C--（180°
-/B-/C）]=丄（/C-/B）.
222
（3）
（2）中的结论仍正确.
/A'
DE=/B+/BAD=/B+丄/BAC=/B+丄（180°
-/B-/C）=90°
+丄/B-丄/C;
2222
在^DA'
E中，/DAE=180。
-/AED-/A'
DE=180。
-90°
-（90°
+-/B-丄/C）=丄（/C-/B）.
点评：
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键.
2.如图，AD为^ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（4）
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高.
（3）vAD为^ABC的中线，BE为三角形ABD中线,
考点：
-
分析：
的度数.
•••AE是角平分线，/BAE=26°
•••/FAD=/BAE=26°
•/DB是^ABC的高，
•••/AFD=90FAD=90。
-26°
=64°
•••/BFE=/AFD=64°
.
本题利用了角平分线的性质和直角三角形的性质求解.
4.如图，在△ABC中，AD平分/BAC,P为线段AD上的一个动点，PE丄AD交直线BC于点E.
（1）若/B=35°
专题：
三角形内角和定理；
角平分线的定义。
动点型。
（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得/ADC的度数,
而根据三角形的内角和定理即可求出/
（2）中，根据第
（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系.
（1）v/B=35°
•••/BAC=60°
•/AD平分/BAC,
•••/DAC=30
•••/ADC=65
•••/E=25°
;
BAC的度数,进一步求得/
再根据角平分线的定义求得/DAC的度数，从
E的度数；
（2）ZE冷（/ACB-Zb）或ZE=-j（ZB-ZaCB）.
运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义.特别注意第（故表达式应写为两种情况.
2）小题，由于/B和/ACB的大小不确定,
则/ABC+/ACB=150°
/XBC+/XCB=90°
.
A
Z
（2）如图2,改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么/ABX+/ACX的大小是否变化？
三角形内角和定理。
本题考查的是三角形内角和定理.已知/A=30。
易求/ABC+/ACB的度数.又因为x为90°
所以易求
/XBC+/XCB.
ABC+
X=90
XBC+
（1）v/A=30°
/ACB=150°
/XCB=90°
/XBC+/XCB=90°
（2）不变化.
•••/A=30°
•••/ABC+/ACB=150°
•••/X=90°
•••/XBC+/XCB=90°
•••/ABX+/ACX=（/ABC-/XBC）+（/ACB-/XCB）=（/ABC+/ACB）-（/XBC+/XCB）=150°
=60°
点评：
此题注意运用整体法计算•关键是求出/ABC+/ACB.
（3）利用P为厶ABC两外角平分线的交点,
-/DBC=1/A+丄/ACB，同理可得：
丄/BCE=1/A+丄/ABC，再
222222
利用三角形内角和定理以及外角和定理求出即可；
（4）列出/A、/ABC、/ACF的关系，再列出/PBC、/P、/PCF的关系，然后列出/ABC和/PBC、/ACF和/PCF的关系.
（1）T/A=50°
•••/ABC+/ACB=130°
•••/PBC+/PCB=±
（/ABC+/ACB）=丄XI30°
65°
22
•••/BPC=18065°
=115°
（2）/BPC=2/A+90.
•••在△ABC中，/A+/ABC+/ACB=180°
在^BOC中，/BPC+/PBC+/PCB=180°
•/BP,CP分别是/ABC和/ACB的平分线，•••/ABC=2/PBC，/ACB=2/PCB,•••/BPC+丄/ABC+丄/ACB=180°
又•••在△ABC中，/A+/ABC+/ACB=180°
•••/BPC=Jl/A+90°
（3）v/DBC=/A+/ACB,
•••卩为^ABC两外角平分线的交点，
•••丄/DBC=丄/A+J：
/ACB,
同理可得：
•••1/BCE=i/A+i/ABC,
•••丄（/ACB+/ABC）=902
•••/A+/ACB+/ABC=180-2/A,
•/180°
-/BPC=_1/DBC+丄/BCE=2/A+丄/ACB+/A+_l/ABC,
2222"
"
•••180。
-/BPC=/A+丄/ACB+丄/ABC,
180°
-/BOC=/A+90°
--/A,
£
•••/BPC=90°
--/A;
•//A+/ABC=/ACF,/PBC+/BPC=/PCF,
•//ABC=2/PBC，/ACF=2/PCF,由以上各式可推得/BPC=3/A.
此题主要考查了角平分线及三角形的内角和定理和三角形外角和等知识，熟练地应用其性质得出等量关系,再进行等量代换是解决问题的关键.
7.如图，已知△ABC中，/B=/E=40°
/BAE=60°
且AD平分/BAE.
（1）求证：
BD=DE;
若AB=CD，求/ACD的大小.
计算题；
证明题。
（1）要求证：
BD=DE可以证明△ABD◎△AED，根据角角边定理就可以证出;
AFC，/DAF的度数.
•••△ABD◎△AED
•••BD=ED;
（2）解：
•••/ADE=/ADB=180B-/BAD=110°
•//ADC=70°
•••/EDC=110°
-70°
=40°
•••/EDC=/E.
•••FD=FE.
•/AE=AB=CD,
•••CF=AF.
•//AFC=100
•••/ACD=40°
证明线段相等的问题比较常用的方法是证明所在的三角形全等.
8如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.
（2）设/BAO
若发生变化，请说明理
BA至E,在/ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若/EAC、/FCA、/ABC的平分线相交
（3）如图，延长
于点G,过点G作BE的垂线，垂足为H，试问/AGH和/BGC的大小关系如何？
非负数的性质：
绝对值；
专题：
（1）|x+2y-5|+|2x-y|=0，非负数的性质得，x+2y-5为，2x-y%;
由此解不等式即可求得，A、B两点同时
从原点0出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动，
•••A（-1,0）,B（0,2）;
（2）不发生变化.要求/P的度数，只要求出/PAB+/PBA的度数.利用三角形内角和定理得，/P=180。
-/PAB
-/PBA;
角平分线性质得，/PAB=3/EAB,/PBA=3/FBA，外角性质得，/EAB=/ABO+90°
/FBA=/BAO+90°
则可求/P的度数；
（3）试求/AGH和/BGC的大小关系，找到与它们有关的角.如/BAC，作GM丄BF于点M,由已知有可得/AGH与/BGC的关系.
（1）解方程组：
严汀河
12x-y=0
得:
｛爲（3分）
（2）不发生变化，
/P=180。
-/PAB-/PBA
（3）作GM丄BF于点M.
由已知有：
/AGH=90-寸EAC=90°
-号（180°
-/BAC）
4/BAC，
/BGC=/BGM-/CGM
=90°
-^/ABC-（90°
--^/ACF）
=£
（/ACF-/ABC）
/BAC
•••/AGH=/BGC.
注：
不同于此标答的解法请比照此标答给分.
考查角平分线性质，三角形内角和定理，非负数的性质等知识.
E在AB上，CE,DE分别平分/BCD,/ADC,/1+/2=90°
/B=75°
求/A的度数.
平行线的性质。
计算题。
延长DE交CB延长线于F,根据已知条件，证得AD//FC;
根据两直线平行，内错角相等求得/A的邻补
角；
再求出/A的度数即可.
延长DE交CB延长线于F,T/1+/2=90°
•••/DEC=90°
即CE丄ED,
•••/ECB+/F=90°
•••/2+/F=90°
•//1=/ADE,•/ADF=/F,
•••AD//FC，•/A=/EBF,
•//B=75°
•/A=18075°
=105°
10.如图，/AOB=90°
点C、D分别在射线OA、OB上，CE是/ACD的平分线，CE的反向延长线与/CDO的平分线交于点F.
（1）当/OCD=50°
（图1）,试求/F.
当C、D在射线OA、
•••/ECD=65°
CDF=20•//ECD=/F+/CDF,•••/F=45°
（2）不变化，/F=45°
•//AOB=90°
•••/CDO=90OCD/ACD=180OCD.
•••CE是/ACD的平分线DF是/CDO的平分线,
ECD=90°
--/OCD/CDF=45°
--/OCD.
ECD=/F+/CDF,
F=45
本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题.
（门试说明'
boa=90+2/C；
（2）当AD是高，判断/DAE与/C、/ABC的关系，并说明理由.
三角形的角平分线、中线和高。
c,即
AED,
BOA=180
（1）先利用三角形内角和定理可求/BOA=180°
-1（/CAB+/CBA）,以及/CAB+/CBA=180。
-/
可得出/BOA=180。
-丄（180°
-/C）整理得出即可;
（2）根据角平分线定义可求/CAE=/BAE=3（180。
-/C-/ABC）,然后利用三角形外角性质，可先求/
再次利用三角形外角性质，容易求出/DAE即可.
（1）理由：
•••△ABC中，AE、BF是角平分线，
BOA=180°
-1（/CAB+/CBA）,
CAB+/CBA=180°
-/C,
--（180。
-/C）
=90
•/AD丄BC,
•••/ADB=/DAE+/AED=90
/C+/CAE=/AED,
•••/DAE=90°
-/AED=90°
-[/C+丄（180°
-/C-/ABC）],
=+（/ABC-/C）.
EAD,
乙
此题主要考查了三角形外角和定理、角平分线定义、三角形外角性质.关键是利用角平分线的性质解出/
再运用三角形外角性质求出是解决问题的关键.
12.已知△ABC中，/BAC=100
（1）若/ABC和/ACB的角平分线交于点O,如图1所示，试求/BOC的大小；
相交于O,O1,如图2所示，试求/BOC
图1
（1）根据三角形内角和定理可求得/
Oi,O2…，女口图3所示，试探求/BOC的
考占:
ABC+/ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得/OBC+/OCB的
V八、、•分析：
度数，从而不难/BOC的大小.
（2）根据三角形内角和定理可求得/ABC+/ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得/OBC+/OCB的度数,
从而不难/BOC的大小.
（3）根据三角形内角和定理可求得/ABC+/ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得/OBC+/OCB的度数,
的关系.
从而不难探求/BOC的大小与n
•••/BAC=100°
•••/ABC+/ACB=80°
（1）v点O是/ABC与/ACB
•••/OBC+/OCB=40°
•••/BOC=140°
的角平分线的交点,
（2）v点O是/ABC与/ACB•••/OBC+/OCB=^°
3
.•./BOC=^°
的三等分线的交点,
（3）v点O是/ABC与/ACB
•••/OBC+/OCB=^°
n
•••/BOC=180°
-里。
当/BOC=170。
时，是八等分线的交线所成的角.
此题主要考查三角形内角和定理和角平分线的应用，要熟记三角形的内角和为
的n等分线的交点,
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