差倍问题例题Word文档格式.docx

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4-8）÷

（4-2）＝28（岁）　　妈妈的年龄28×

2＝56（岁）　　妈妈出生年2002-56＝1946（年）

盈亏问题　　

明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；

每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？

这个蛋糕的价钱是多少？

［分析]"

多8元"

与"

多4元"

两者相差8-4=4（元），每个人要多出8-7=1（元），因此就知道，共有4÷

1=4（人），蛋糕价钱是8×

4-8=24（元）．

5年前小芳的年龄是小英年龄的7倍，10年后小芳年龄是小英年龄的2倍，问今年小芳、小英两人各多少岁？

画线段图可以看出，因为10年后小芳的年龄是小英年龄的2倍，所以两人当时的年龄差为小英当时的年龄，即5+10+小英5年前的年龄。

因为5年前小芳的年龄是小英年龄的7倍，两人的年龄差为小英当时年龄的6倍。

所以15相当于小英5年前年龄的5倍，可求出小英5年前的年龄。

解：

（10+5）÷

（7-1-1）＝3（岁）　　小英年龄　3+5＝8（岁）　　小芳年龄3×

7+5＝26（岁） 

6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。

6年后母子年龄和是78岁。

问：

母亲今年多少岁？

6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×

2=66（岁）。

6年前母子年龄和是66－6×

2=54（岁）。

又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。

解 

母子今年年龄和：

78－6×

2=66（岁）　　母子6年前年龄和：

66－6×

2=54（岁）　　母亲6年前的年龄：

54÷

（5＋1）×

5=45（岁）　　母亲今年的年龄：

45＋6=51（岁）　　答：

母亲今年是51岁。

1.哥哥与弟弟三年后年龄之和是27岁,弟弟今年的年龄等于两人的年龄差,问兄岁,弟岁.　　

甲、乙两人的年龄和正好是100岁。

当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。

甲、乙两人今年各多少岁？

1、哥哥与弟弟三年后年龄之和是27岁,弟弟今年的年龄等于两人的年龄差,问兄（ 

）岁,弟（ 

）岁.　　

　　27-2×

3=21（岁）　　21÷

（2+1）=7（岁）　　7×

2=14（岁）　　答:

哥哥今年14岁,弟弟今年7岁.　　

2、甲、乙两人的年龄和正好是100岁。

由“乙的年龄正好是甲年龄的一半”再结合“当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出，甲的年龄要和乙现在的年龄相等，甲要减少几岁，乙要增加相同的岁数，且这个年龄相当于乙的1倍，可以看出：

现在乙的年龄如果有2份，甲的年龄就有这样的3份，甲、乙两人的年龄共有2＋2＋1=5（份）。

5份对应着两人的年龄和100岁。

这样就很容易求出甲、乙两人各自的年龄。

　　解:

甲、乙两人年龄的份数和是多少？

　　2＋2＋1=5（份）　　每份是多少？

　　100÷

5=20（岁）　

　乙的年龄是多少岁？

　　20×

2=40（岁）　

　甲的年龄是多少岁？

（2＋1）=60（岁）　　

综合算式是：

100÷

（2＋2＋1）×

2=40（岁）　　100÷

答：

甲今年60岁，乙今年40岁。

1、兄弟二人的年龄之和是25岁,四年后,哥哥比弟弟大5岁,今年哥哥（ 

）岁,弟弟（ 

2、今年甲的年龄是乙的年龄的3倍,三年后甲比乙大4岁,今年甲（ 

）岁,乙（ 

）岁.1.兄弟二人的年龄之和是25岁,四年后,哥哥比弟弟大5岁,今年哥哥 

岁,弟弟 

岁.　　解题思路:

在年龄问题中,两人的年龄差是不变的量,在这道题中,兄弟两人相差5岁是不变的量,如果哥哥小5岁就和弟弟一样大,总数变为25-5=20（岁）相当于弟弟年龄的2倍,可以先求出弟弟的,相应再求哥哥的,或者弟弟大5岁就和哥哥相同,总数变为25+5=30（岁）相当于哥哥年龄的2倍,可以求出哥哥的,再求弟弟的.　　解法一:

25-5=20（岁）　　20÷

2=10（岁）　　10+5=15（岁）　　答:

弟弟10岁,哥哥15岁.　　2.今年甲的年龄是乙的年龄的3倍,三年后甲比乙大4岁,今年甲 

岁,乙 

　　4÷

（3-1）=2（岁）　　2×

3=6（岁）　　答:

甲今年6岁,乙今年2岁.平均数问题　　果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，4千克奶糖混合成什锦糖．已知酥糖每千克8元，水果糖每千克11元，奶糖每千克17元．问：

什锦糖每千克多少钱？

解答：

要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数．即：

什锦糖的总价：

2×

8+3×

11+4×

17=117（元），什锦糖的总千克数：

2+3+4=9（千克）　　什锦糖的单价：

117÷

9=13（元）．东东、明明两个人的平均年龄是14岁，明明、亮亮两个人的平均年龄是17岁，那么亮亮比东东大几岁？

东东、明明的年龄和是：

14×

2=28（岁），明明、亮亮的年龄和是：

17×

2=34（岁），所以亮亮、东东的年龄差为：

34-28=6（岁）．1、求和：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8 

　　2、计算：

1＋2＋3＋……＋98＋99＋1001、求和：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8　　解：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8　　＝（1+8）×

8÷

2　　＝36 

1＋2＋3＋……＋98＋99＋100　　解：

1＋2＋3＋……＋98＋99＋100　　＝（1+100）×

2　　＝5050等差数列1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（ 

）。

（2）今天是周日，再过78天是周几？

（1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（ 

　　解答：

（98-11）÷

3＋1=30　　

（2）今天是周日，再过78天是周几？

（78＋1）÷

7=11……2，所以是周一。

（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有（ 

）项。

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（ 

1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有（ 

（30-2）÷

2+1=15　　

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（ 

（62-2）÷

6+1=11 

1）1、3、5、7、……这个数列从左向右数第10项是（ 

（2） 

7、10、13、16、……这个数列从左向右数，第41项是（ 

（1）a10=1+（10-1）×

2=19；

（2）a41=7+（41-1）×

3=127；

1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。

那么应插入哪些数？

　　2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（ 

d=（40-10）÷

（4+1）=6，插入的数是：

16、22、28、34。

d=（55-6）÷

（8-1）=7和差倍问题　　大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。

后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。

这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。

原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？

解答：

（160-20＋10）÷

（5＋1）＝25（个）　　25-10＝15（个）　　160-15＝145（个）　　【小结】这道题是和倍应用题，因为有"

和"

、有"

倍数"

。

但这里的"

不是160，而是160－20＋10＝150，"

1倍"

数却是"

小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数"

线段图如下：

　　根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇（即"

数）　　（160-20＋10）÷

（5＋1）＝25（个），　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15（个），大白兔原有蘑菇　　160-15＝145（个）。

1、兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？

　　2、甲对乙说：

“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说：

“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问：

甲、乙二人现在各多少岁？

　　分析：

根据条件“当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”，说明兄弟二人的　　年龄和30岁正好相当5个年龄差.其中哥哥今年年龄相当3个年龄差.所以30÷

5×

3=18（岁）就是今年哥哥的年龄。

　　答：

哥哥今年18岁 

从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量。

　　甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此甲整句话可理解为：

乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半.乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后.因此，乙整句话可理解为：

甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7。

即甲今+年龄差=2×

乙今-7，把甲乙的对话用下图表示为：

绳子　　用一根绳子测井深。

把绳子折三折再去量，井外余3尺；

把绳子折四折去量，则距井口1尺。

求绳长和井深。

如果我们事先把绳子接上4尺，然后折四折去量井深，此时的绳子正好与井口相平，可见井深就是这条接上后的绳子的尺数除以4。

再如果将这条接上4尺后的绳子折成三折去量井深，此时留在井外的绳子不是3×

3=9（尺），而是9+4=13（尺）。

这留在井外13尺的绳子长是由于新绳子由四折改为三折去测量而引起的，它其实就是井深，即井深为13尺，于是原来绳子的长度为　　13×

4-4=48（尺）巧算　　一只蜘蛛八条腿，一只蜻蜒有六条腿、二对翅膀，蝉有六条腿和一对翅膀。

现有这三种小昆虫共18只，共有118条腿和20对翅膀，问每种小昆虫各有几只？

这个问题比前几个问题要复杂一些。

但仔细考虑，发现蜻蜓和蝉的腿条数都是6，因此可从腿的条数入手。

　　假设18只全是蜘蛛，那么共有8×

18=144（条）腿。

但实际上只有118条，两者相差144-118=26（条），产生差异的原因是6条腿的蜻蜒和蝉都作为8条腿的蜘蛛了，每一只相差2条腿。

被当作蜘蛛的蜻蜒和蝉共有26÷

2=13（只）。

　　因此，蜘蛛有18-13=5（只）。

　　再假设13只昆虫都是蜻蜒，应有13×

2=26（对）翅膀，与实际翅膀数相差26-20＝6（对），每把一只蝉当一只蜻蜒，翅膀数就增加1对，所以蝉的只数是6÷

1=6（只），蜻蜓数是13-6=7（只）。

拆数补数　　①188＋873 

②548＋996 

③9898＋203解答：

①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）　　＝200+861=1061　　②式=（548-4）＋（996＋4）　　=544+1000=1544　　③式=（9898＋102）＋（203-102）　　=10000+101=10101兔和鸡　　鸡兔共有脚200只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚160只，求鸡、兔各有几只？

鸡有20只，兔有40只。

鸡兔互换之后，脚数少了（只），这说明一定是兔比较多，且比鸡多（只），那么鸡兔原有脚200只，减去20只兔，剩下的鸡兔数量相等，腿数共（只），这时鸡兔头数相同，则兔脚是鸡脚的两倍，故鸡脚有（只），鸡有（只），兔有（只）。

　　小结：

解决鸡兔同笼问题最常用的方法便是假设法。

对于基本的鸡兔同笼题，可公式求解：

1.如果假设全是兔，那么则有　　鸡数=（每只兔子脚数×

鸡兔总数-实际脚数）÷

（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）　　兔数=鸡兔总数-鸡数　　2.如果假设全是鸡，那么就有　　兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×

鸡兔总数）÷

（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）　　鸡数=鸡兔总数-兔数　　求对于复杂一些的鸡兔同笼，可用假设法加减头脚，转化成和差倍问题来解决。

常见的思路是：

头数相同，则兔脚是鸡脚的两倍；

脚数相同，则鸡头是兔头的两倍。

整除问题　　有3个连续自然数，最小数能被5整除，中间的数能被4整除，最大数能被3整除。

则符合上述条件的最小的三位自然数是哪三个？

符合题意的最小三个三位数为115、116、117.　　因中间数是4的倍数，显然为偶数，所以最小数和最大数都是奇数。

最小数能被5整除，且要满足它是奇数的话，则最小数的末位只能是5.故中间数末位为6，最大数末位为7.最大数末位为7，且满足被3整除，则最小可取117，这时中间数为116，满足被4整除。

故符合题意的最小的3个三位连续数是115、116、117．　　小结：

本题是整除性质的综合应用。

5、4均是尾数判定，3是和系判定。

最小数末位可取0、5，但为了满足中间数被4整除，只能取5，这是一个突破点。

和倍问题　　两个数的和是2016，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就正好等于另一个加数的两倍．这两个加数各是多少？

这两个加数分别是：

96和1920.　　分析：

因为把第一个加数个位上的"

0"

去掉，得到了第二个加数的2倍，所以，第一个加数是第二个加数的20倍．把第二个加数看作"

1倍数"

，第二个加数就是"

20倍数"

，这两个数的和2016就是"

1+20"

倍的数．　　根据这个"

量"

倍"

的对应关系，可先求出第二个加数．这两个加数分别是：

2010/（1+20）=96，2016-96=1920　　小结：

本题是和倍问题的一个变形。

两数和÷

（倍数+1）=小数（一倍数）。

最值的差　　由0、2、5、7、9写成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的最大数与最小数的差是多少？

差为7675.　　分析：

能被5整除的最大四位数是9750，能被5整除的最小四位数是2075，则差是7675．　　能被5整除的数的个位数为0或5。

组成一个新的数时，高位上的数越大，则该数越大，反之亦然。

平均数问题　　南南、北北两个人的平均年龄是11岁，东东、南南两个人的平均年龄是15岁，那么北北比东东小几岁？

北北比东东小8岁。

南南、北北的年龄和是：

11×

2=22（岁），东东、南南的年龄和是：

15×

2=30（岁），所以北北、东东的年龄差为：

30-22=8（岁）．植树问题　　一块长方形地，长为60米，宽为30米，要在四边上植树，株距6米，四个角上各有一棵，共植树多少棵？

共植树30棵。

长方形的周长为：

（60+30）×

2=180 

（米），株距为6米，封闭图形，根据公式，共植树180÷

6=30 

（棵）.和差倍综合练习　　1、费叔叔买来三箱水果，总重100千克．其中前两箱重量相差11千克，且前两箱的总重量是第三箱的3倍．请问：

这三箱水果中最重的那箱重多少千克？

（★★）　　答案：

43．　　2、甲、乙、丙三个物体的总重量是93千克，甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，那么甲、乙、丙各重多少千克？

（★★★）　　答案：

46，32，15．　　3、四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；

如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？

多几人？

（☆☆☆）　　答案：

甲班比丙班人数多，多2名学生．　　4、育才小学三年级有3个班，一共有学生126人．如果一班比二班多4人，二班比三班多4人，那么这三个班分别有多少人？

46，42，38．　　5、三国时期，魏国、蜀国、吴国三国交战．已知吴国军队比蜀国军队多20万人；

魏国军队人数是吴国的2倍，又是蜀国的3倍．魏国军队有多少人？

120．　　6、甲、乙两个人一起去商店买东西，两人一共带了80元钱．甲用自己带的钱的一半买了一本漫画书，乙花10元钱买了一盘磁带．这时甲的钱恰好是乙的3倍．开始时乙带了多少元钱？

20．　　7、姐妹俩一起做数学、语文两科作业．姐姐花在数学作业上的时间比妹妹多10分钟；

而妹妹花在语文作业上的时间比姐姐多4分钟．已知姐姐一共花了88分钟做完作业，妹妹做数学作业的时间比语文作业少12分钟．请问：

妹妹做语文作业花了多少分钟？

47．　　8、游泳池里男生的人数比女生的6倍少11人，比女生的4倍多13人，那么男生有多少人？

61．　　9、红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人．如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同．如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同．请问：

甲班原来有多少人？

54．和差问题综合　　例23、登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125人．原来第一组人数较多，所以从第一组调了20人到第二组，即使这样第一组人数仍比第二组多5人．原来第一组有多少名专家？

85．　　例24、一辆公共汽车出发时有48人，到达第一站时有若干人下车，而且下车的比留下的多8人．到达第二站时，又有人下车，这次下车的比留下的少8人．请问：

最后有几个人留在了车上？

（注：

每个车站都无人上车）（★★）　　答案：

14．　　例25、小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1枚棋子．一开始小悦有18枚棋子，冬冬则有22枚．玩了若干局之后，小悦反而比冬冬多了10枚棋子．请问：

此时小悦有多少枚棋子？

25．　　例26、今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

（☆☆）　　答案：

15，43．　　例27、小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？

90，98．　　例28、甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？

21，9．　　例29、三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？

甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克．　　例30、公园里柳树和杨树共43棵，松树和柏树共42棵，并且杨树比松树多2棵，比柳树少7棵，那么公园里有柏树多少棵？

26．　　练习：

　　1、甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？

甲校原有学生645人，乙校原有学生600人．　　2、甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？

甲队原有1287人，乙队原有693人．　　3、甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

甲校原有学生488人，乙校原有学生376人．　　4、某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？

今年的产值是101万元，去年的产值是91万元．1）和差　　例22、冬冬在玩具店看中了两件汽车模型．如果两件都买，一共需要400元．已知较贵的模型比便宜的模型贵60元，这两件模型各要多少钱？

（★）　　答案：

230，170．　　练习：

　　1、张先生投资股票，2006年和2007年一共盈利40万元，其中2006年比2007年少盈利14万元．张先生2007年盈利多少万元？

27．　　2、甲、乙两位火炬手负责把火炬从A地传递到B地．先由甲从A地出发，并在途中将火炬传递给乙；

乙接过火炬后继续慢跑前往B地．已知A，B两地相距2400米，并且甲比乙多跑了600米．请问：

甲跑了多少米？

1500．　　3、两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

（☆）　　答案：

79，71．　　4、果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？

85，65．　　5、用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？

300，200．3）差倍少　　例21、小悦和阿奇在操场上练习跑步．一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的3倍少80米．如果小悦比阿奇少跑了500米，那么小悦和阿奇分别跑了多少米？

290，790．　　练习：

　　1、原先《花城日报》和《鹏城晚报》有同样数目的版面．后来《花城日报》扩充版面，增加了10版，这样《花城日报》的版面比《鹏城晚报》的4倍少2版．两种报纸现在各有多少版？

4，14．　　2、甲、乙两筐苹果重量相等．现在从甲筐拿12千克苹果放入乙筐，结果乙筐苹果的重量就比甲筐的3倍少2千克．两筐苹果原来各有多少千克？

25．差倍多　　例18、小悦和阿奇在操场上练习跑步．一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的3倍还多80米．如果小悦比阿奇少跑了500米，那么小悦和阿奇分别跑了多少米？

920．　　例19、阿奇家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米．他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米．那么两根绳子都剪去了多少米？

87．　　例20、有两个炮兵营参加军事演习，它们各准备了若干枚炮弹．开始一营比二营多准