5插值与拟合习题课docxWord格式.docx
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=sin—«
L,
181
由截断误差公式
E)=S+'
PfgF…(
有3捋
代入值即得
<
1
・71
-sin—
〔3j
(571
71、
2
[18
4J
3』
=0.00659516
:
.sin50°
=sin—«
L(—)=0.765434
1818+
其截断误差为
、5兀、
1z71x
'
5丸兀、
5兀71、
5丸
&
(——)
一(-cos—)
—
18
3!
6
Ji"
示一£
1183』
al
兀、
=0.767382x10-3
|
6)
3J
二、设f(x)eC2[a,b]且f(o)=f0)=O,求证:
m^|/(x)|<
|(Z?
-«
)2max|f"
(x)|
证:
以G,力为插值节点进行线性插值,有
f(x)-Lj(jc)=--/?
)&
A.
因为孔⑴二土/■f(Q)+?
*f0)=。
,有
a-bb-a
F=零(EE*,们
进而
=!
('
-q)2max|f〃⑴I
8a<
x<
bII
因为函数-》)|在X二:
(Q+。
)处取最
大值。
三、给出概率积分f(%)=jjU*故的数表
X
0.46
0.47
0.48
0.49
fM
0.4846555
0.4937452
0.5027498
0.5116683
用二次插值计算
(1)当x=0.472时,积分值等于多少?
(2)当x为何值时积分值为0.5?
(1)选最接近0.472的前三个节点x°
=0.46,xi—0.47,X2=0.48有二次插值
*)=3一^一互)”3。
)+(厂叫尸互)亦)一(气一也)(%0—工2)31-气)31—工2)
f(^2)
(x-x0)(x-x1)
(互―气)(尤2一M)
带入数值,有匕(0472)=0.495552928
/(0.472)=/2(0.472)=0.495552928
故有当x=0.472时,积分值等于0.495552928
(2)原函数连续单调,可用反插值法计算。
将x看成y的函数,即x=9(y),用二次插值计算。
f(x)
0.4846555
0.5116683
选距函数值在0.5最近的三个节点%=0.4937452,^=0.5027498,光=0.5116683
及对应的自变量值为
*o=0.47,工1=0.48,工2=0.49,有
Z2(y)=(》f)(》f)%+.(尸住f、
(%-Ji)(y0—y2)(Ji-%)(力—力)
!
(y-y0)(y-yi)
(%-%)(%-m)2
有
尤聂2(°
・5)=047692924
故当m0.476929624时,积分值等于0.5
四、证明
式中o)k+lM=(x-x0Xx-xl)...(x-xk)。
证明用数学归纳法。
当左=1时=,成立。
X{~XQ工0-Mx1一x0
假5殳当k=n-l时成立,则有
叫(X)=(尤一气)0—M)•••(X—也一1)
cdn(x)=(x-Xi)(x-互)•••(x-X”)
r]_(g)f[x0,xv---,xM_J=2^,/、,
,=。
绍皿)
打】_《E)
舟M,X2,--,Xn]=、,
i=l叫成)
A一气
](fg)
X"
一X。
<X一叫)(X—%…<X一X"
-l)(X。
一叫)(叫)一%)...(X。
一也一1
(xz-x0)-(xz-xn)
I?
f⑴台xn-x0(x.-气)(改一M)•••(改一、)(*.-光+1)•••(>,—xn)
_文f(岗)文f(气)
勺(气一气)(气.一西)•••(气一气_])(气一气+])•••(气.一%);
=0就+1(气)
证毕。
五、若函数f⑴=aoxn+axxn~xH—+%有n个互异的零点如如…,气,证明
nxk0(0<
^<
n-2)
5/W"
|%0(ET)
证明:
证明的形式和上题
很像,可考虑借助此来做。
由已知有
/(x)=€z0(x-x1Xx-x2)---(x-xJ=^0^(x)
•.•了'
(x)二皿(]),.•.了‘3)二%域(气)
比对舟知知…双卜杓前斜旅⑴二宜^-气)
尝试选,则有
故有
由于,[石,工2,・・・,兀」=
…—1小尤"
广)(8)5腭一/L”¥
•••,"
Jy)!
00<
k<
n-2
1,1
——k=n-1
%
六、当插值节点{业}是等距节点时,有xk=X。
+kh,则Newton插值公式可以演变成为Newton前插公式和Newton后插公式两个公式,其用于等距节点插值时更为简单。
通常对等距插值问题,当要计算的x值靠近气时,用Newton前插公式,而当x靠近%时,用Newton后插值公式。
下面是这2个差分公式的形式,请给出这些差分公式的推导过程
©
Newton前插公式
Nn(x)=Nn(x0+th)
r/、a.«
—1)a2「t(t—!
)•••(t—n+1)n
=f(*o)+'
A/oZ△fo"
I'
j△fo
2n\
xxQ+th7zG[0,n]o
②Newton后插公式
N«
3)=N“(\l
=g)+叫+"
▽机+...+«
+l)・・・(;
+〃T)▽吃2!
n\
"
=fm,r="
顶-
x=xn+th,te[-n,0]o
七、求a,b,c的值,使积分
[^-a-bx-cx^dx
达到最小。
八、证明:
n次多项式心⑴的一阶差商pnlx,xn]是n-1次多项式。
如果_/(/)=J+4X3+1,求差商
/[0,1,2],/[0,1,2,3,4,5],/[0,1,2,3,4,5,6].