5插值与拟合习题课docxWord格式.docx
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=sin—«
L,
181
由截断误差公式
E）=S+'
PfgF…（
有3捋
代入值即得
<
1
・71
-sin—
〔3j
（571
71、
2
[18
4J
3』
=0.00659516
:
.sin50°
=sin—«
L（—）=0.765434
1818+
其截断误差为
、5兀、
1z71x
'
5丸兀、
5兀71、
5丸
&
（——）
一（-cos—）
—
18
3!
6
Ji"
示一£
1183』
al
兀、
=0.767382x10-3
|
6）
3J
二、设f（x）eC2[a,b]且f（o）=f0）=O,求证：
m^|/（x）|<
|（Z?
-«
）2max|f"
（x）|
证：
以G,力为插值节点进行线性插值，有
f（x）-Lj（jc）=--/?
）&
A.
因为孔⑴二土/■f（Q）+?
*f0）=。
，有
a-bb-a
F=零（EE*,们
进而
=!
（'
-q）2max|f〃⑴I
8a<
x<
bII
因为函数-》）|在X二：
（Q+。
）处取最
大值。
三、给出概率积分f（%）=jjU*故的数表
X
0.46
0.47
0.48
0.49
fM
0.4846555
0.4937452
0.5027498
0.5116683
用二次插值计算
（1）当x=0.472时，积分值等于多少?
（2）当x为何值时积分值为0.5?
（1）选最接近0.472的前三个节点x°
=0.46,xi—0.47,X2=0.48有二次插值
*）=3一^一互）”3。
）+（厂叫尸互）亦）一（气一也）（%0—工2）31-气）31—工2）
f（^2）
（x-x0）（x-x1）
（互―气）（尤2一M）
带入数值，有匕（0472）=0.495552928
/（0.472）=/2（0.472）=0.495552928
故有当x=0.472时，积分值等于0.495552928
（2）原函数连续单调,可用反插值法计算。
将x看成y的函数，即x=9（y）,用二次插值计算。
f（x）
0.4846555
0.5116683
选距函数值在0.5最近的三个节点%=0.4937452,^=0.5027498,光=0.5116683
及对应的自变量值为
*o=0.47,工1=0.48,工2=0.49,有
Z2（y）=（》f）（》f）%+.（尸住f、
（%-Ji）（y0—y2）（Ji-%）（力—力）
!
（y-y0）（y-yi）
（%-%）（%-m）2
有
尤聂2（°
・5）=047692924
故当m0.476929624时，积分值等于0.5
四、证明
式中o）k+lM=（x-x0Xx-xl）...（x-xk）。
证明用数学归纳法。
当左=1时=，成立。
X{~XQ工0-Mx1一x0
假5殳当k=n-l时成立，则有
叫（X）=（尤一气）0—M）•••（X—也一1）
cdn（x）=（x-Xi）（x-互）•••（x-X”）
r]_（g）f[x0,xv---,xM_J=2^，/、，
，=。
绍皿）
打】_《E）
舟M，X2,--,Xn]=、，
i=l叫成）
A一气
］（fg）
X"
一X。
＜X一叫）（X—%…＜X一X"
-l）（X。
一叫）（叫）一％）...（X。
一也一1
（xz-x0）-（xz-xn）
I?
f⑴台xn-x0（x.-气）（改一M）•••（改一、）（*.-光+1）•••（＞,—xn）
_文f（岗）文f（气）
勺（气一气）（气.一西）•••（气一气_］）（气一气+］）•••（气.一％）;
=0就+1（气）
证毕。
五、若函数f⑴=aoxn+axxn~xH—+%有n个互异的零点如如…，气，证明
nxk0（0<
^<
n-2）
5/W"
|%0（ET）
证明：
证明的形式和上题
很像，可考虑借助此来做。
由已知有
/（x）=€z0（x-x1Xx-x2）---（x-xJ=^0^（x）
•.•了'
（x）二皿（]）,.•.了‘3）二％域（气）
比对舟知知…双卜杓前斜旅⑴二宜^-气）
尝试选,则有
故有
由于，［石，工2，・・・，兀」=
…—1小尤"
广）（8）5腭一/L”¥
•••，"
Jy）!
00<
k<
n-2
1,1
——k=n-1
%
六、当插值节点｛业｝是等距节点时，有xk=X。
+kh,则Newton插值公式可以演变成为Newton前插公式和Newton后插公式两个公式，其用于等距节点插值时更为简单。
通常对等距插值问题，当要计算的x值靠近气时，用Newton前插公式，而当x靠近％时,用Newton后插值公式。
下面是这2个差分公式的形式，请给出这些差分公式的推导过程
©
Newton前插公式
Nn（x）=Nn（x0+th）
r/、a.«
—1）a2「t（t—!
）•••（t—n+1）n
=f（*o）+'
A/oZ△fo"
I'
j△fo
2n\
xxQ+th7zG[0,n]o
②Newton后插公式
N«
3）=N“（\l
=g）+叫+"
▽机+...+«
+l）・・・（；
+〃T）▽吃2!
n\
"
=fm,r="
顶-
x=xn+th,te[-n,0]o
七、求a,b,c的值，使积分
[^-a-bx-cx^dx
达到最小。
八、证明：
n次多项式心⑴的一阶差商pnlx,xn]是n-1次多项式。
如果_/（/）=J+4X3+1,求差商
/[0,1,2],/[0,1,2,3,4,5],/[0,1,2,3,4,5,6].
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