七线性变换习题课Word文件下载.docx
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,若
=0,有B（
）=0,即
=0,
=0,即
线性无关,
因dimV=n,故
使得
=A（
）
令
（
易见
且
即
又任给
设
有
）=
故
从A可逆.
证法二:
利用双射
”A是双射,则0=
得0=
（0对应0）
故
”由dimV=n,V的任一向量可由
唯一表示,即V中任一向量有唯一（要证明）原像（显然）.故A是双射.
证法三:
利用矩阵
A可逆
A在
下的矩阵A可逆
）A也是一组基=n
线性无关
例5设
W1,W2是V的子空间,且
则
可逆
由
有
V,可设W1的一组基为
W2的一组基为
为V的一组基.
”A可逆,故
1,
2的秩为r,n-r,
和
分别为
1和
2的基,故
有dimV=dim
）,故
为AV的一组基,即
线性无关,A可逆.
4.小结:
线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.
为V的一组基,
）=（
）A,（
）=（
）X为另一组基,有
例6在空间P[x]n中,
是线性变换,求
在基
下的矩阵.
首先由ex.1.5）知,
是线性变换,
是线性变换,故
是线性变换.
其次,只要求出
用
表示,就可得A.
（1）=1-1=0,
-
=
所以,
所求矩阵为
例7设三维线性空间V上的线性变换A在基
下的矩阵为
1）.求
在基（
）下的矩阵;
2）.求
）下的矩阵,其中k
;
3）.求
）下的矩阵.
1）.
=
所求矩阵为
。
又可（
=（
故所求矩阵为
A
2）
=（
又（
3）.
=
A
例8
在任一组基下矩阵都相同,则
是数乘变换.
要证
在任一组基下矩阵是数量阵.
在基下
下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,（
）X为V的另一组基,在此基下
的矩阵为
即
由
的任意性,A为数量阵.
事实上,此时A与任意
可换:
设可逆矩阵
可逆,与A交换,得
于是,由P.204ex.73）,A为数量阵,从而
例9证明:
下面两个矩阵相似,其中
是1,…,n的一个排列:
曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.
）下的矩阵为A,则显然（
）是V的另一组基,此基下
的矩阵为B.
将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法.
线性变换
矩阵A
特征多项式
特征值
特征向量
有限维
例11设
是线性变换
的两个不同特征值,
是分别属于
的特征向量,证明:
不是
的特征向量.
只要证
若有这样的
存在,则
而
属于不同的特征值,线性无关,故
矛盾.
将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和（
0）作比较,
是
的属于
的两个特征向量,则当
0时,
的一个特征向量（属于
）.
例12证明:
如果
以V中每个非零向量为特征向量,那麽
分析:
每个非零向量都是特征值k的特征向量
每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个
若
都是
若
是分别属于两个不同的特征值
那麽由上题,
不可能是
的特征向量,矛盾.
是属于
的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是
又
=k0=0,
.
例13.
可逆,则1）.
有特征值,则不为0;
2）.
的特征值,则
-1是
的特征值.
1）.设
的特征值,
的特征向量,则
因
可逆,
-1存在,且
-1L（V）,有
即
而
2）.由1）,
3）.
的特征向量是
当V是有限维时,设
下的矩阵为A,则由
可逆,A可逆.
1）.若
的特征值,则0=
与A可逆矛盾.
2）.若
的特征值,而
故
（注:
一般情况与有限维时证明方法不一样;
此结论要求掌握.）
特殊变换的特征值
例14设
称为对合变换,求
的特征值,
是相应的特征向量,有
P，即
若有特征值只能是1或-1.
则
确有特征值1或-1.
证法二：
又
的特征向量，则
的特征向量，必有
-1，
.
的特征值只能是1,0;
有特征值1;
时,有特征值1;
当
的秩<
n时,0也是
例15设dimV=n,
，证明：
是对合变换时必可对角化。
分析：
的特征值至多有两个1和-1，从而不好利用第一个充分条件。
设法用充要条件，证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n；
即（E-A）X=0的基础解系个数+（-E-A）X=0的基础解系个数=n；
即
r（E-A）+r（-E-A）=n.
为V的一组基，且
在此基下的矩阵为A，由
，有A2=E,故0=E-A2=（E-A）（E+A）,r（E-A）+r（E+A）=n，最后一个等式由Chap.4.补3.P.208.
设r（E-A）=r
的属于1的线性无关特征向量有n-r个,属于-1的线性无关特征向量有r个;
而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关,故
有n个线性无关特征向量,从而可对角化.
1.
由（E-A）（-E+A）=0,有
=0,即1不是特征值则-1必是,两者必有一,但可不全是.
2.
幂等变换
可对角化,也可仿此证.
例16设
是4维空间V的一组基，
在此基下的矩阵为
下的矩阵;
的特征值与特征向量;
3）.求可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵.
1）.
=
S
易知
从而
在
下的矩阵为B=S-1AS=
的特征多项式为
P.
解方程组（
E-B）X=0
=0:
BX=0,
=0
得基础解系
的属于0的特征向量为
其中
不全为0.
=1:
（E-B）X=0,
=0解得
得基础解系
的属于1的特征=向量为
其中
不为0.
=0.5:
（0.5E-B）X=0,
3）.由2）.所得4个特征向量
线性无关,可作为V的一组基,在此基下
而由
到这组基的过渡阵为
例17
是4维线性空间V的一组基,已知线性变换
在以下基下的矩阵:
的核与值域.
3）.在
的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求
在此基下的矩阵.
4）.在
中选一组基扩充为V的基,并求
1）.由基
到
的过渡矩阵为
在
2）.
设
0=
）A
A=
=0,
解此齐次线性方程组得
所以基础解系为（-4,-3,2,0）,（-1,-2,0,1）从而
的一组基,即
因dim
=4-dim
=4-2=2,而
的坐标列为A的列,且A的前2列线性无关,从而
3）.由
及
故向量组（
）Q
线性无关,即
是V的一组基,此基由
的一组基扩充而成,其中Q为由
的过渡阵.
（其中后两列是0因为
中元被
作用后在任何基下的坐标均为（0,0,0,0）’）
4）.（
）
）P
线性无关,是V的一组基,由
的基扩充而成,由
的过渡阵为P,
（后两行为0因为任一向量被
作用后都在
中,由
线性表出）.
例18设
证明:
与
有相同的值域当且仅当
有相同的核当且仅当
1）.“
”：
故存在
，于是
“
，即
，同理
，
2）.“
同理
同理
例19设
是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间,
表示由W中向量的像组成的子空间,证明:
dim（
）+dim（
）=dimW
定理11dim（
）=dimV的证明中,取
的基,扩充为V的基.
的一组基
将它扩充为W的一组基
即W=L（
由于
W=L（
）=L（
若有
存在
故有
线性无关，dim
W=m-r=dimW-dim（
附注：
）=dimV是对V而言的，对子空间的值域和核也一样。
例20设
为n维线性空间V的线性变换,证明:
的秩
的秩+
的秩-n.
chap4补10.（p209）r（AB）
r（A）+r（B）-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.
下的矩阵分别为A,B,则
的秩=r（AB）,
的秩=r（A）,
的秩=r（B）.由chap4.补10.r（AB）
r（A）+r（B）-n,得证.
注意到
的秩=dim
可用定理11.
由定理11和补9,秩（AB）=dim
=dim
-dim（
dim（
dim
故秩（
-dim
=秩
-（n-秩
）=r（A）+r（B）-n.
例21设
W是
子空间,若
可逆,证明:
W也是
-子空间.
注在证
时,有人认为
可逆,从而是一一对应,故既单（
={0},
={0}）又满（
）,从而
不必考虑有限维,这是错误的:
间一一对应,不是在
间一一对应.
反例:
V=P[x]=L（1,x,x2,x3,…）,W={f（x2）x2|f（x）
}=L（x2,x4,x3,…）
显然
可逆（因是一一对应）,
但
如
另
间单,dimW有限,因而
间满.
例22.设V是复数域上n维线性空间,
1）.如果
的一个特征值,那麽
的不变子空间;
2）.
至少有一个公共特征向量.
1）.
子空间,
所以,
2）.因为V是C上的线性空间,
至少有一个特征值,设
为
的特征值,由1）,
有特征值,设为
则存在0
的公共特征向量.
注7.8.2此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.
例23设
1）.W是
子空间,
则W=V;
2）.{0}
子空间,则
或
1）.由题意,
W为
子空间,有
令
故
又由
得
如此继续,
中第一个非零的为
得
3）.若
但
例24
可逆的
为上三角阵.
A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.
存在可逆
为若当形矩阵,故（
）’=
是上三角阵,即A相似于一个上三角阵
第一次月考检测语文试题
总分120分时间90分钟
第一部分
积累运用（30分）
一、（12分，每小题2分）
1.下列句子，字形全都正确的一项是（
A.后来发生了分岐：
母亲要走大路，儿子要走小路。
B.我绝没有想到那竟是永远的决别。
C.这样贵重的东西不像一块点心一盒糖，怎么能自作主张呢？
D.那朵红莲，被那繁密的雨点，打得左右歧斜。
2.依次填入下列句子横线处的词语，最恰当的一项是（）
①这是我这辈子笑得最
、最舒畅、最厉害的一次。
②她爱诗，
爱用歌唱的音调教我们读书。
③我的母亲虽然高大，然而很瘦，
不算重。
A.忘乎其形
而且
可是
B.忘乎其形
并且
自然
C.得意忘形
D.得意忘形
3.下列各句，标点符号使用正确是一项是（
A.我们在田野散步：
我，我的母亲，我的妻子和儿子。
B.“放在哪儿了，拿来我看看？
”妈妈说。
C.妈妈着急的角度：
“你到哪里去了，你这坏孩子”？
D.蔡老师写了一封信劝慰我，说我是“心清如水的学生。
”
4.下列各组词语，感情色彩不同的一项是（
A.聪明
纯真
见利忘义
舍生取义
B.愚蠢
池塘
鄙视
自知之明
C.发动
保护
结果
害怕
D.请示
温柔
怂恿
不见天日
5.下列关于修辞手法的分析不正确的一项是（
A.那一朵白莲已经谢了，白瓣儿小船般散飘在水面。
（冰心《荷叶母亲》）运用比喻修辞。
B.据说有好些古怪性格的池塘在这个高岸之后。
（泰戈尔《对岸》）运用拟人修辞。
C.花朵一串挨着一串，一朵接着一朵，彼此推着挤着，好不活泼热闹！
（宗璞《紫藤萝瀑布》）运用比喻手法赋予花以人的特征。
D.“春色恼人眠不得”，燕语呢喃落花飞絮，徘徊庭前篱下。
（丁颖《三分春色一分愁》）是引用修辞。
6.从文学常识的角度分析，不正确的一项是（
A.《论语》儒家经典著作，是记录孔子及其弟子言行的一部书。
共20篇。
B.《世说新语》中的谢太傅即谢安，晋朝陈郡人。
成语“东山再起”就是与他有关的典故。
C.《西游记》中的“齐天大圣”师从菩提老祖。
推倒人参果树时，孙悟空曾去找师傅求救。
D.《龟虽寿》的作者是曹操，西汉末年政治家、军事家、诗人。
《龟虽寿》是曹操的乐府诗《步出夏门行》四章中的最后一章。
二、7.填写下面名篇名句中的空缺成分。
（11分）
（1）承认寿命有限这一客观事实的前提下，强调发挥人的主观作用的句子：
，。
（《龟虽寿》）
（2）《题破山寺后禅院》诗的最后两句隐含的一个成语是，由这两句，我们很容易
想起与此有异曲同工之妙的王维的诗句：
，。
（3）《论语述而》中论述君子对富贵的正确态度是，。
（4）《夜雨寄北》中描写思归而不得的诗句：
，。
（5）《过故人庄》一诗中，描绘优美田园风光的句子：
三、8.综合性学习（5分）
近年来，智能手机等触控式智能设备迅速进入人们的生活，并获得每个年龄段人的青莱————中国已迎来“触屏时代”。
据报载，2014年全国约1.2亿未成年人使用手机上网。
学校拟开展“触屏时代，我们如何应对”的综合性实践活动。
请你阅读下面材料，完成相关任务。
材料一：
中小学生网络使用情况调查表
上网时间、年龄
上网目的
调查项目
每天都上网的学生
平均每天上网2小时
10岁以前“触网”
聊天交友
看动漫、电影下载音乐
玩网络游戏
学习、写日记博客
所占比例
82.9%
70.4%
61%
29.1%
49.8%
40%
58.3%
另据报道，去年10月，我国某地未成年人劳动教养管理所公开一条数据，该所里的未成年劳教人员中，有80%曾沉迷于网络游戏。
材料二：
国庆佳节，中学生乐乐和家人一起吃饭看电视，期间她一直低头玩着手机，兴奋时还笑出声来，旁若无人。
母亲责怪她没和家人聊聊自己在学校的近况，埋怨道：
“现在的孩子，一个个都是手机不离手，到哪里一坐下来就开始玩手机，也不知道在玩什么。
”父亲也感叹道：
“唉，怪不得网上流行这样一句话——‘世界上最遥远的距离莫过于我们坐在一起，你却在玩手机。
’”
（以上材料引自互联网）
（1）用简洁的语言概括材料一表格所包含的三条信息。
（3分）
（2）结合上述二则材料，请你在正确理解材料二画线句子的基础上，以乐乐好友的身份，写一段劝说乐乐的话。
（2分）
四、9.下面文字有二处语病，请找出两处并修改（2分）
①雷锋以其平凡的人生实践，矗立起了人生价值的最高坐标。
②但市场经济大潮下滋生的个人主义、享乐之风不仅使助人为乐、奉献他人的价值观念遭受了极大冲击，③而且加重了当下伦理失范、道德滑坡，④以至于看见跌倒老人不扶，成为当下中国道德选择的难题！
（1）修改：
。
⑵修改：
。
第二部分阅读（40分）
五、（13分）
（一）阅读下面的诗歌，完成10——12题（5分）
辋川六言（其五）
王维
山下孤烟远村，天边独树高原。
一瓢颜回陋巷，五柳先生对门。
【注释】①辋川：
地名。
10.《论语》中孔子是怎样赞美颜回的？
（1分）
11.任选一、二两句诗中的一句，发挥想象描绘你读到的画面。
12．细读全诗，说说诗人向往怎样的生活。
（二）阅读下面的文言文，完成13——17题（8分）
《咏雪》
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