高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形45简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教师用书理Word下载.docx
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6sincos=sin,
∵α∈,∴cos=,
∴sin2α=cos
=2cos2-1=-.
题型二 三角函数的求值
命题点1 给值求值问题
例2
(1)(2017·
盐城、南京联考)已知α,β为锐角,cosα=,sin(α+β)=,则cosβ=.
答案
解析 ∵α为锐角,
∴sinα==.
∵α,β∈(0,),∴0<
α+β<
π.
又∵sin(α+β)<
sinα,∴α+β>
,
∴cos(α+β)=-.
cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-×
+×
==.
(2)(2015·
广东)已知tanα=2.
①求tan(α+)的值;
②求的值.
解 ①tan(α+)=
==-3.
②
===1.
命题点2 给值求角问题
例3
(1)设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为.
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为.
答案
(1)
(2)-
解析
(1)∵α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,
∴cosα=-,sinβ=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=>
0.
又α+β∈(π,2π),∴α+β∈(,2π),
∴α+β=.
(2)∵tanα=tan[(α-β)+β]
==>
0,
∴0<
α<
.
又∵tan2α===>
2α<
∴tan(2α-β)=
==1.
∵tanβ=-<
∴<
β<
π,-π<
2α-β<
∴2α-β=-.
引申探究
本例
(1)中,若α,β为锐角,sinα=,cosβ=,则α+β=.
解析 ∵α,β为锐角,∴cosα=,sinβ=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×
-×
=.
又0<
π,∴α+β=.
思维升华
(1)给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法;
(2)给值求角问题:
先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.
(1)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则2α-β=.
(2)(2016·
南京检测)若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是.
答案
(1)
(2)
解析
(1)由tanα=,得=,
即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,
所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin(-α),
所以sin(α-β)=sin(-α),
又因为α∈(0,),β∈(0,),
所以-<
α-β<
,0<
-α<
因此α-β=-α,所以2α-β=.
(2)因为α∈[,π],sin2α=>
所以2α∈[,π],
所以cos2α=-且α∈[,],
又因为sin(β-α)=>
0,β∈[π,],
所以β-α∈[,π],
所以cos(β-α)=-,
因此sin(α+β)=sin[(β-α)+2α]
=sin(β-α)cos2α+cos(β-α)sin2α
(-)+(-)×
=-,
cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]
=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α
=(-)×
(-)-×
=,
又α+β∈[,2π],所以α+β=.
题型三 三角恒等变换的应用
例4 (2016·
天津)已知函数f(x)=4tanxsin·
cos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解
(1)f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}.
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,则函数y=2sinz的单调递增区间是
,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B={x|-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z},易知A∩B=.
所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
思维升华 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住:
变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;
注意公式的逆用和变形用.
(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
已知函数f(x)=cosx·
sin(x+)-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间[-,]上的最大值和最小值.
解
(1)由已知,有
f(x)=cosx·
(sinx+cosx)-cos2x+
=sinx·
cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x
=sin(2x-).
(2)因为f(x)在区间[-,-]上是减函数,在区间[-,]上是增函数,
f(-)=-,f(-)=-,f()=,
所以函数f(x)在闭区间[-,]上的最大值为,最小值为-.
9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
典例 (14分)(2015·
重庆)已知函数f(x)=sinsinx-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在上的单调性.
思想方法指导
(1)讨论形如y=asinωx+bcosωx型函数的性质,一律化成y=sin(ωx+φ)型的函数.
(2)研究y=Asin(ωx+φ)型函数的最值、单调性,可将ωx+φ视为一个整体,换元后结合y=sinx的图象解决.
规范解答
解
(1)f(x)=sinsinx-cos2x
=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,[5分]
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.[7分]
(2)当x∈时,0≤2x-≤π,[8分]
从而当0≤2x-≤,
即≤x≤时,f(x)单调递增,[10分]
当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.[12分]
综上可知,f(x)在上单调递增;
在上单调递减.[14分]
1.sin15°
+sin75°
的值是.
解析 sin15°
=sin15°
+cos15°
=sin(15°
+45°
)=sin60°
2.(2016·
全国甲卷改编)若cos=,则sin2α=.
答案 -
解析 因为sin2α=cos=2cos2-1,又因为cos=,所以sin2α=2×
-1=-.
3.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=.
解析 (sinα+2cosα)2=,展开得3cos2α+4sinαcosα=,再由二倍角公式得cos2α+2sin2α=0,
故tan2α==-=-.
4.函数f(x)=cos·
(sin-cos)的最小正周期为.
答案 2π
解析 因为f(x)=cos(sin-cos)
=sinx-(cosx+1)
=sin(x-)-,
所以f(x)的最小正周期为2π.
5.(2016·
江苏扬州中学四模)函数y=sinα(sinα-cosα)(α∈[-,0])的最大值为.
答案 +
解析 y=sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα
=-sin2α=-cos2α-sin2α
=-sin(2α+).
∵α∈[-,0],∴-≤2α+≤,
∴当2α+=-时,函数取最大值ymax=+.
6.函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)的图象关于点对称,则f(x)的单调递增区间为.
答案 ,k∈Z
解析 ∵f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)
=2sin,
由题意知2×
+θ+=kπ(k∈Z),
∴θ=kπ-π(k∈Z).
∵|θ|<,∴θ=.
∴f(x)=2sin.
由2kπ-≤2x+π≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-π≤x≤kπ-(k∈Z).
7.若f(x)=2tanx-,则f的值为.
答案 8
解析 ∵f(x)=2tanx+
=2tanx+==,
∴f==8.
8.若锐角α、β满足(1+tanα)(1+tanβ)=4,则α+β=.
解析 由(1+tanα)(1+tanβ)=4,
可得=,即tan(α+β)=.
又α+β∈(0,π),∴α+β=.
9.化简:
答案 -4
解析 原式=
==
===-4.
10.设α∈(0,),β∈(,),且5sinα+5cosα=8,
sinβ+cosβ=2,则cos(α+β)的值为.
解析 由5sinα+5cosα=8,
得sin(α+)=,
∵α∈(0,),∴<
α+<
∴cos(α+)=.
由sinβ+cosβ=2,
得sin(β+)=,∵β∈(,),
β+<
π,∴cos(β+)=-.
∴cos(α+β)=sin[+(α+β)]
=sin[(α+)+(β+)]
=sin(α+)cos(β+)+cos(α+)sin(β+)
=-.
11.已知函数f(x)=sin(x+)+cosx.
(1)求函数f(x)的最大值,并写出当f(x)取得最大值时x的取值集合;
(2)若α∈(0,),f(α+)=,求f(2α)的值.
解
(1)f(x)=sin(x+)+cosx
=sinx+cosx+cosx
=sinx+cosx=sin(x+).
当x+=2kπ+(k∈Z),
即x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值.
此时x的取值集合为{x|x=2kπ+,k∈Z}.
(2)由
(1)知,f(x)=sin(x+),
又f(α+)=,
所以sin(α++)=cosα=,
即cosα=.因为α∈(0,),所以sinα=,
所以sin2α=2sinαcosα=2×
×
cos2α=2cos2α-1=-.
所以f(2α)=sin(2α+)=sin2α+cos2α
12.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R.
(1)求f()的值;
(2)若sinα=,且α∈(,π),求f(+).
解
(1)f()=cos2+sincos
=()2+×
(2)因为f(x)=cos2x+sinxcosx=+sin2x
=+(sin2x+cos2x)=+sin(2x+),
所以f(+)=+sin(α++)
=+sin(α+)=+(sinα+cosα).
又因为sinα=,且α∈(,π),
所以cosα=-,
所以f(+)=+(×
)
13.(2015·
安徽)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解
(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由
(1)的计算结果知,f(x)=sin+1.
当x∈时,2x+∈,
由正弦函数y=sinx在上的图象知,
当2x+=,即x=时,f(x)取最大值+1;
当2x+=,即x=时,f(x)取最小值0.
综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.