精品试题备战中考数学专题训练第12课时 三角形的全等和相似全国通用.docx

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精品试题备战中考数学专题训练第12课时三角形的全等和相似全国通用

第12课时锐角三角函数与解直角三角形的应用考点梳理·达标检测

江苏13市2019年中考真题

命题点1三角形全等的判定及性质

1.（2019年南通中考第21题8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA．连接BC并延长到点E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

【解析】证明：

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC,∴AB=DE．

2.（2019年无锡中考第21题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．

（1）求证：

△DBC≌△ECB；

（2）求证：

OB＝OC．

【解析】

（1）证明：

∵AB=AC，∴∠ECB=∠DBC，

在△DBC与△ECB中，

，

∴△DBC≌△ECB（SAS）；

（2）证明：

由

（1）知△DBC≌△ECB,

∴∠DCB=∠EBC,∴OB=OC.

3.（2019年苏州中考第19题8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

（1）求证：

EF=BC；

（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．

【解析】

（1）证明：

∵∠CAF=∠BAE，∴∠BAC=∠EAF．

∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC=AF．

在△ABC与△AEF中，,

∴△ABC≌△AEF（SAS），

∴EF=BC；

（2）解：

∵AB=AE，∠ABC=65°，

∴∠BAE=180°-65°×2=50°，

∴∠FAG=∠BAE=50°．

∵△ABC≌△AEF，

∴∠F=∠C=28°，

∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．

4.（2019年南京中考第19题7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：

△ADF≌△CEF．

【解析】证明：

∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD＝CE，

∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，

∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．

5.（2019年徐州中考第23题8分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．

求证：

（1）∠ECB＝∠FCG；

（2）△EBC≌△FGC．

【解析】证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，

由折叠可得，∠A＝∠ECG，

∴∠BCD＝∠ECG，

∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，

∴∠ECB＝∠FCG；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D＝∠B，AD＝BC，

由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，

∴∠B＝∠G，BC＝CG，

又∵∠ECB＝∠FCG，

∴△EBC≌△FGC（ASA）．

6.（2019年泰州中考第25题12分）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．

（1）求证：

△AEP≌△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）求△AEF的周长．

【解析】解：

（1）证明：

∵四边形APCD正方形，

∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，

∴△AEP≌△CEP（AAS）；

（2）CF⊥AB，理由如下：

∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，

∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，∴∠AMF+∠PAB＝90°，

∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB；

（3）过点C作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴FC∥BN，∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，

又AP＝CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，

∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，

∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF

＝AB+BF+AF＝2AB＝16．

7.（2019年镇江中考第20题6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．

（1）求证：

△AGE≌△CHF；

（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？

请说明理由．

【解析】

（1）证明：

∵AG⊥EF，CH⊥EF，

∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠BFE，

∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，

∴∠AEG＝∠CFH，

在△AGE和△CHF中，，

∴△AGE≌△CHF（AAS）；

（2）解：

线段GH与AC互相平分，理由如下：

连接AH、CG，如图所示：

由

（1）得：

△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，

∵AG∥CH，

∴四边形AHCG是平行四边形，

∴线段GH与AC互相平分．

命题点2相似三角形的判定与性质

1.（2019年常州中考第5题2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：

2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）

A．2：

1B．1：

2C．4：

1D．1：

4

【解析】解：

∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：

2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：

2，故选：

B．

2.（2019年常州中考第18题2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．

【解析】解：

作PF⊥MN于F，如图所示：

则∠PFM＝∠PFN＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，

∴AB＝CD＝，BD＝＝10，

∵点P是AD的中点，∴PD＝AD＝，

∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，

∴，即，解得：

PF＝，

∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，

∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴＝2，

∴NF＝2PF＝3，

∴MN＝2NF＝6；

故答案为：

6．

考点过关·课时训练

苏州市5年中考真题

高频考点全等三角形的判定及性质

1.（2019年苏州中考第19题8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

（1）求证：

EF=BC；

（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．

【解析】

（1）证明：

∵∠CAF=∠BAE，∴∠BAC=∠EAF．

∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC=AF．

在△ABC与△AEF中，,

∴△ABC≌△AEF（SAS），

∴EF=BC；

（2）解：

∵AB=AE，∠ABC=65°，

∴∠BAE=180°-65°×2=50°，

∴∠FAG=∠BAE=50°．

∵△ABC≌△AEF，

∴∠F=∠C=28°，

∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．

2.（2019年苏州中考第21题8分）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：

BC∥EF.

【解析】∵AB∥DE，∴∠A=∠D，

∵AF=DC，∴AC=DF，

∴在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．

3.（2019年苏州中考第24题8分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．

（1）求证：

△AEC≌△BED；

（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．

【解析】解：

（1）证明：

∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．

在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．

又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．

在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．

（2）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∠C=∠BDE．

在△EDC中，∵EC=ED，∠1=42°，

∴∠C=∠EDC=69°，∴∠BDE=∠C=69°．

4.（2019年苏州中考第24

（1）题4分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．

求证：

AD平分∠BAC.

【解析】证明：

根据题意得：

BD=CD=BC，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

考点巩固·同步检测

2019苏州市名校中考模拟真题

1.（2019年苏州工业园区一模第22题6分）已知：

如图，点A、D、C在同一条直线上，AB∥DE，AB=AD，AC=DE，求证：

∠C=∠E．

【解析】证明：

∵AB∥DE，∴∠BAC=∠ADE，

在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠C=∠E．

2.（2019年苏州工业园区二模第21题6分）已知：

如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：

△ABC≌△DEF．

【解析】证明：

∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，

∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

3.（2019年苏州立达中学一模第24题8分）已知：

如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，求证：

∠B=∠E．

【解析】证明：

∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，

在△ABC和△CED中，

，

∴△ABC≌△CED（SAS），

∴∠B=∠E．

4.（2019年苏州平江区一模第21题6分）已知：

如图，点A、B、C在一条直线上，BD∥CE，AB=EC，BD=CB．求证：

AD=EB．

【解析】证明：

∵BD∥CE，∴∠ABD=∠C，

在△ABD和△ECB中，

，

∴△ABD≌△ECB，

∴AD=EB．

5.（2019年苏州市区一模第22题6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：

CG=FG．

【解析】证明：

∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF，∴BC=EF，

在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，

∴CG=FG.

6.（2019年苏州姑苏区二模第24题8分）已知：

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．

（1）求证：

△ADE≌△FCE；

（2）若∠DCF=120°，BC=2，求CF的长．

【解析】证明：

（1）∵点E是CD的中点，∴DE=CE，

∵CF∥AB，∴∠DAE=∠F，

在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）.

（2）∵AB∥CF，∠DCF=120°，

∴∠BDC=60°，

又∵点D是斜边AB的中点，

∴BD=CD，

∴△BDC是等边三角形，

∴C