《植树问题》专题研究Word文档格式.docx
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答:
共可以种树6棵.
例2:
公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离.
分析:
这是在一段不封闭的直线上电杆间隔问题,如同植树问题。
首先应先求出公路全长为40×
(121-1),再根据其数量关系:
根数=总长÷
根距+1,变换为:
根距=全长÷
(根数-1),然后就可以求出两根相邻水泥杆之间的距离。
解
公路的全长为多少米?
40×
(121-1)=4800
两根相邻水泥杆之间的距离是多少米?
4800÷
(51-1)=96
答:
两根相邻水泥杆之间的距离是96米。
练习:
1、从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路,在小路的两侧,从头到尾每隔15米栽1棵树,需要多少棵数?
2、甲村到乙村,原计划栽树175棵,相邻两棵树距离8米,后决定改为栽树117棵,问相邻两树应相距多少米?
②在直线或两端不封闭的的曲线上植树,两端都不植树。
棵树=总长÷
棵距-1;
段数-1
例3:
在相隔50米的两座楼房之间种桃树,每隔5米种一棵,共可以种树多少棵?
这是在一段不封闭的直线上种树,两端因为有楼,所以都不种。
这样,共种树的棵树,应当比段数少1。
即在直线或两端不封闭的的曲线上植树,两端都不植树。
解:
①50米中包含了多少段?
50÷
5=10(段)
10-1=9(棵)
共可以种树9棵.
例4:
下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。
它的长度是多少?
十个这样的铁环连在一起有多长?
分析:
如上图所示。
此题类似于两端都不植树的问题,关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。
根据其数量关系知,五个连在一起的“环扣”数为5-1=4(个),然后求出重叠部分的长,接着就可以求出五个铁环连在一起的长。
同理,十个铁环连在一起的长度。
五个连在一起的“环扣”数是多少?
5-1=4(个)
重叠部分的长为多少?
6×
(5-1)=24(毫米)
五个铁环连在一起的长是多少?
4厘米=40毫米
5-24=176(毫米)
十个铁环连在一起的长度是多少?
10-24=346(毫米)
答:
五个铁环连在一起的长度为176毫米。
十个铁环连在一起的长度为346毫米。
3、有12名小学生站成一排,要求在每两名小学生中间放2盆花,需要摆放几盆?
4、一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆,每辆车长4米,前后两车相隔5米,问这列车队共长多少米?
③在封闭线路上植树。
棵距。
棵树=段数
例5:
人民公园环湖路长6900米,沿湖边每隔15米种一棵树,每3棵树之间安放一条长椅供游人休息。
求共要种树多少棵?
安放椅子多少条?
这是在封闭曲线上植树可直接用公式:
“棵树=总长÷
棵距”求解。
而“每3棵树之间安放一条长椅”,正好是每隔一段棵距放一条椅子,椅子数正好是棵树的一半。
①共要种树多少棵?
6900÷
15=460(棵)
②安放椅子多少条?
460÷
2=230(条)
共要种树460棵,安放椅子230条。
例6:
一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵?
沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,首先可以求出四周共可以种多少棵柳树,再求出相邻柳树间,每隔3米种杨树,每段可种杨树的棵树。
最后可求出共种的杨树棵树。
四周可种多少棵柳树?
2430÷
9=270(棵)
相邻柳树间,每隔3米种杨树,每段可种杨树多少棵?
9÷
3-1=2(棵)
总共可种杨树多少棵?
2×
270=540(棵)
水库四周要种杨树540棵.
5、公园的一个湖的周长是1800米,在这个湖的周围每隔20米种一棵柳树.然后在每两棵柳树之间每隔4米种一棵迎春花,需要柳树多少棵、迎春花多少棵?
6、明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:
湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?
在方正形路上植树:
如果每个顶点都要植树,数量关系式是:
棵数=(每边棵数-1)×
边数,由此可以推出在此种路径下等距离植树的数量关系为:
棵树=边长÷
棵距+1。
例7:
一个正方形鱼塘的周长是1200米,在4个角上都种上树后,每条边上都有16棵树,求每棵树之间相距多少米?
沿正方形的四周种树,看似在封闭线路上植树。
但由于四个角上都种上了树,,是每边都种了16棵树,实际上是等同于在不封闭直线上种树,每边实际分成了(16-1)段。
这样就可以用“边长÷
(16-1)”求出棵距。
当然,也可以用:
“周长÷
(16×
4-4)”求出棵距。
解1:
1200÷
4÷
(16-1)=20(米)
解2:
4-4)=20(米)
每棵树之间相距20米。
7、有一个正方形池塘,在它四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都有5棵,问池塘四周共种树多少棵?
2、在面状区域上的植树问题
在一个平面区域里等距离,等株距植树的问题,一般是先算出每一棵树所占的面积:
行距×
株距,就可以求出植树的棵树,其数量关系是:
棵树=总面积÷
(行距×
株距)。
例8:
长方形场地:
一个长84米,宽54米的长方形苹果园中,苹果树的株距是2米,行距是3米.这个苹果园共种苹果树多少棵?
这道题就是一个在平面区域里等行距、等株距植树的问题。
根据题意,可以先算出长方形地的面积,再求出一共能种多少棵树。
还有一种方法,先算出一行能种多少棵树,在算出能种苹果树多少行,最后这块地共种苹果树多少棵。
解法一:
①一行能种多少棵?
84÷
2=42(棵).
②这块地能种苹果树多少行?
54÷
3=18(行).
③这块地共种苹果树多少棵?
42×
18=756(棵).
如果株距、行距的方向互换,结果相同:
(84÷
3)×
(54÷
2)=28×
27=756(棵).
解法二:
①这块地的面积是多少平方米?
84×
54=4536(平方米).
②一棵苹果树占地多少平方米?
3=6(平方米).
③这块地能种苹果树多少棵?
4536÷
6=756(棵).
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时,可用上述两种方法中的任意一种来解;
当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时,就只能用第二种方法。
练习8、在一块长方形地里种植,这块地长150米,宽120米,按行距3米,株距2.5米种植,如果成活率为96%,这块地里成活多少棵树苗?
3、锯木头问题
锯木头问题也属于植树问题,可得到:
木头锯成的段数=锯的次数+1,由此可以得出其数量关系为:
锯完所需时间=次数×
每锯一次的时间;
每段木头的长度=木头原来的总长÷
段数。
例9:
一个木工锯一根长19米的木料,他先把一头损坏部分锯下1米,然后锯了5次,锯成同样长的短木条,每根短木条多少米?
这是植树问题的同类问题——锯木头问题。
这道题实际上是将一根长18米的木料锯了5次,锯成了6段,求每段木头的长度,可用总长÷
锯的次数。
解、
实际上锯的总长度是多少?
19-1=18(米)
共锯成了多少段?
5+1=6(米)
每段短木条的长度多少米?
18÷
6=3(米)
每段短木条的长度3米.
例10:
有一个工人把12米的圆钢锯成3米长的小段,锯断一次要5分钟,共需要多少分钟?
这道题首先可以求出共锯了多少段,要锯多少次,然后再求需要多少分钟,根据锯完所需时间=次数×
锯一次所需的时间。
共锯了多少段?
12÷
3=4(段)
要锯多少次?
4-1=3(次)
共需要多少分钟?
3×
5=15(分)
共需要15分钟。
练习9、有一根圆钢长22米,先锯下2米,剩下的锯成每根都是4米的小段,又锯了几次?
10、有2根木料,打算把每根锯成3段,每段锯开一处需要3分钟,全部锯完需要几分钟?
4、敲钟问题
敲钟问题是植树问题的应用,同样可以用植树问题的解法来解,可得到:
敲钟次数=间隔数+1.由此也克得到其数量关系为:
总时间÷
间隔数=每个间隔数。
其与“在不封闭直线上的植树”情况相似。
例11:
有一个报时钟,每敲响一下,声音可持续3秒。
如果敲响6下,从敲响第一下到最后一下持续声音结束,一共需要43秒。
现在要敲12下,那么,从敲响第一下到最后一下持续声音结束,一共需要多少秒?
这是植树问题的应用,可以看作是在不封闭直线上的“种树”。
首先,需要求出两响之间的间隔;
然后,再求需要的时间。
(43-3)是“敲响第一下到最后一下”的总时间,(6-1)是“敲响第一下到最后一下”的间隔数,总时间÷
间隔数=每个间隔数(即两响之间的间隔)。
然后,按照“在不封闭直线上的种树”的公式,求出一共需要多少秒?
①两响之间的间隔是多少秒?
(43-3)÷
(6-1)=8(秒)
②敲响12下,一共需要多少秒?
8×
(12-1)+3=91(秒)
敲响12下,一共需要91秒。
练习11、时钟4点钟敲4下,6秒钟敲完,那么12点钟敲12下,多少秒敲完?
5、爬楼梯问题
爬楼梯问题也是植树问题的一个延伸。
根据植树问题的解题方法可得到:
间隔数=终点楼层-起点楼层。
由此也可得出其数量关系为:
所需时间=走每段楼梯所用的时间×
例12:
父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡,父亲每步上3个台阶,儿子每步上2个台阶。
从起点处开始,父子俩走完这段路共踏了多少个台阶?
(重复踏的台阶只算一个)。
因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过,根据已知条件,可先算出儿子踏过的台阶数和父亲踏过的台阶数。
由于2×
3=6,所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶,再算出共重复踏了的台阶数。
最后求得父子俩共踏了台阶个数。
①儿子踏过的台阶数为多少个?
300÷
2=150(个),
②父亲踏过的台阶数为多少个?
3=100(个)
③重复踏了的台阶数为多少个?
(2×
3)=50(个)
父子俩共踏了台阶个数为多少个?
150+100-50=200(个)
父子俩共踏了200个台阶。
练习12:
小明要到高层建筑的11层,他走到5层用了100秒,照此速度计算,他还需走多少秒?
解植树问题时要记住:
在牢记公式的基础上,根据实际灵活运用;
注意线段图的运用,这样,可以更形象的发现数量间的变化。
卖炭翁白居易(唐)字乐天号香山居士
卖炭翁,伐薪烧炭南山中。
满面尘灰烟火色,两鬓苍苍十指黑。
卖炭得钱何所营?
身上衣裳口中食。
可怜身上衣正单,心忧炭贱愿天寒。
夜来城外一尺雪,晓驾炭车碾冰辙。
牛困人饥日以高,市南门外泥中歇。
翩翩两骑(jì
)来是谁?
黄衣使者白衫儿。
手把文书口称敕,回车叱牛牵向北。
一车炭,千余斤,宫使驱将(jiāng)惜不得。
半匹红绡一丈绫,系(jì
)向牛头充炭直(值)。