平移和旋转几何动态文档格式.docx
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全等三角形的判定与性质;
线段垂直平分线的性质;
勾股定理;
平移的性质;
旋转的性质。
专题:
代数几何综合题。
分析:
(1)运动一,停止时,EC=4cm,用时为:
41=4秒;
运动二,停止时,DQ=2cm,用时为:
2=2秒;
运动三,点C与点F重合时,CF=4cm,用时为:
综上,总用时为:
4+2+4=10(秒);
(2)运动一,RT△ABC与RT△DEF的重叠部分为直角△QCE的面积,表示出即可;
运动二,连接CD,可得E=CDQ,ECP=ECQ,EC=DC,所以△ECP≌△DCQ,RT△ABC与RT△DEF的重叠部分不变:
y=8(4<t<6);
运动三,四边形QDPC为矩形,CF=4﹣(t﹣6)=t﹣2,EC=4+t﹣6=t﹣2,所以,S矩形QDPC=(t﹣2)(10﹣t)=t2+6t﹣10;
(3)点Q在线段AB的中垂线上,连接BQ,可得AQ=QB,所以,AC﹣CQ=,又AC=16cm,BC=12cm,得,CQ=3.5cm,又由DEF=45,所以,EC=3.5cm,解答出即可.解答:
解:
(1)根据题意得,运动一:
∵△DEF是等腰三角形,ACB=90,EF=8cm,EC=4cm,运动一所用时间为:
41=4(秒),运动二:
∵当QCDF时暂停旋转,∵CD=CF,DQ=QF=2cm运动二所用时间为:
2=2(秒),运动三:
∵CF=4cm,运动三所用的时间为:
41=4(秒),整个过程共耗时4+2+4=10(秒);
故答案为:
10;
(2)运动一:
如图2,设EC为tcm,则CQ为tcm,S△ECQ=tt,S与t之间的函数关系式为:
y=t2(0t4),运动二:
如图3,连接CD,E=CDQ,ECP=ECQ,EC=DC,△ECP≌△DCQ,S与t之间的函数关系式为:
y=8(4<t<6),运动三:
如图4,四边形QDPC为矩形,CF=4﹣(t﹣6)=t﹣2,EC=4+t﹣6=t﹣2,S矩形QDPC=(t﹣2)(10﹣t),=t2+6t﹣10;
S与t之间的函数关系式为:
y=t2+6t﹣10(6t10);
(3)如图5,存在点Q,理由如下:
∵点Q在线段AB的中垂线上,连接BQ,AQ=QB,AC﹣CQ=,又∵AC=16cm,BC=12cm,解得,CQ=3.5cm,∵DEF=45,EC=3.5cm,此时,t为:
3.51=3.5秒.点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等,要注意的是
(2)中,要根据P点的不同位置进行分类求解;
(3)中要确定点Q的位置,是解答的关键.练习:
1、已知,RtABC和RtADE中,90ABCADE==,30CAB=,60DAE=,AD=3,AB=63,且AB,AD在同一直线上,把图1中的ADE沿射线AB平移,记平移中的ADE为备用图图2图1‘ADE(如图2),且当点D与点B重合时停止运动,设平移的距离为x.
(1)当顶点E恰好移动到边AC上时,求此时对应的x值;
(2)在平移过程中,设’ADE与RtABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围;
(3)过点C作CF//AE交AB的延长线于点F,点M为直线BC上一动点,连接FM,得到MCF,将MCF绕点C逆时针旋转60,得到’‘MCF(M的对应点为’M,F的对应点为’F),问’FMM的面积能否等于3?
若能,请求’AM的长度,若不能,请说明理由.解:
(1)333312x=+=
(2)03x,238Sx=ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’363x,23333242Sxx=+6312x,21331113(183)242Sxx=++12633x+,239931822Sxx=+(3)①设’CMCMx==‘‘‘FCMFMMFCMMCMSSSS==211343233224xxx=化简得:
2440xx+=2x=‘12210AM==②设’CMCMx==‘‘‘FCMFMMMCMFCMSSSS=+=213123433242xxx+=化简得:
2440xx=222x=(舍负)222x=+‘12(222)1022AM=+=③设’CMCMx==‘‘‘FCMFMMMCMFCMSSSS=+=231143233422xxx+=化简得:
2440xx+=222x=(舍负)222x=+‘12(222)1022AM=++=+‘AM的值为10或1022或1022+12分2、如图①,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点,5,25,OABACE==、F、G、H分别为菱形的四边中点,顺次连接E、F、G、H四点得矩形EFGH。
(1)求矩形EFGH的边EF、EH的长;
(2)如图②,固定菱形ABCD,将矩形EFGH沿OD方向向右平移,直至点D落在EF上时停止运动。
设平移距离为x,记矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围;
(3)如图③,固定菱形ABCD,将矩形EFGH绕点O旋转,使边EH的中垂线OM交线段AD于点M,射线OH交线段CD于点N,连接MN。
当MDN为直线三角形时,请直接写出AM的长。
图形翻折:
例题:
如图,四边形OABC为正方形,点A在x轴上,点C在y轴上,点B(8,8),点P在边OC上,点M在边AB上.把四边形OAMP沿PM对折,PM为折痕,使点O落在BC边上的点Q处.动点E从点O出发,沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,运动时间为t,同时动点F从点O出发,沿OC边以相同的速度向终点C运动,当点E到达点A时,E、F同时停止运动.
(1)若点Q为线段BC边中点,直接写出点P、点M的坐标;
(2)在
(1)的条件下,设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)在
(1)的条件下,在正方形OABC边上,是否存在点H,使△PMH为等腰三角形,若存在,求出点H的坐标,若不存在,请说明理由;
(4)若点Q为线段BC上任一点(不与点B、C重合),△BNQ的周长是否发生变化,若不发生变化,求出其值,若发生变化,请说明理由.考点:
根据实际问题列二次函数关系式;
等腰三角形的性质;
正方形的性质。
动点型。
(1)本题根据图形,知道点Q为线段BC边中点,有知道点B的坐标,所以可以求出P、M的坐标.
(2)本题需先根据
(1)的条件,可以分两种情况进行解答,第一种情况当0t5时,可以求出S的值,第二种情况当5t8时,设EF与PM交点为R,作RIy轴,MSy轴,可以证出RI=FI,有根据FI=2PI可以证出FP=PI,PI=2PF,PF=t﹣5,RI=2(t﹣5)最后解出结果.(3)本题需先根据
(1)的条件,可以分三种情况进行讨论,第一种情况先作PM的中垂线交正方形的边为点H1,H2,则PH1=MH1,PH2=MH2,所以点H1,H2即为所求点,分别求出H1、H2的坐标;
第二种情况当PM=PH3时的情况,分别求出PM、MH3、OH3的值,最后求出H3的坐标.第三种情况当PM=MH4时,分别求出PM、MH4BH4的值,即可求出H4的坐标.(4)本题需先根据所给的条件证出△CPQ∽△BQN,再设CQ=m,根据三角形的性质即可求出△BQN的周长.解答:
(1)∵点Q为线段BC边中点,B(8,8),P(0,5),M(8,1);
(2)①当0t5时,S=②当5t8时,如图,设EF与PM交点为R,作RIy轴,MSy轴,∵EO=FO,RI=FI,又∵,RI=2PI,FI=2PI,FP=PI,PI=2PF,PF=t﹣5,RI=2(t﹣5),S=S△OEF﹣S△PRF,=,=;
(3)①如图作PM的中垂线交正方形的边为点H1,H2,则PH1=MH1,PH2=MH2,点H1,H2即为所求点,设OH1=x,∵PH1=MH1,x2+52=(8﹣x)2+12,H1(),同理,设CH2=y,∵PH2=MH2,32+y2=(8﹣y)2+72,H2(),②当PM=PH3时,∵,,,,③当PM=MH4时,∵,,,,综上,一共存在四个点,H1(),H2(),,;
(4)∵PQN=90,CQP=BQN=90,又∵CQP+CPQ=90,CPQ=BQN,又∵C=B=90,△CPQ∽△BQN,设CQ=m,则在Rt△CPQ中,∵m2+CP2=(8﹣CP)2,,,又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m,△BQN的周长==16.△BQN的周长不发生变化,其值为16.点评:
本题主要考查了相似三角形判定和的性质,在解题时要注意要根据点的不同位置进行分类讨论。
练习:
1、如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原速沿AO返回;
点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为t秒(t>0).
(1)试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式;
(2)在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折,使得点A恰好落在AB边的点D处,如图①.求出此时△APQ的面积.(3)在点P从O向A运动的过程中,在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形?
若存在,求出点E的坐标;
若不存在,请说明理由.(4)伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB﹣BO﹣OP于点F.当DF经过原点O时,请直接写出t的值.考点:
平行线分线段成比例;
等腰梯形的性质;
解直角三角形。
应用题;
分段函数。
过Q作QHAP于H点,构造直角三角形APQ.
(1)在Rt△AOB中,利用勾股定理求得AB;
①P由O向A运动时,OP=AQ=t,AP=4﹣t.根据平行线截线段成比例的性质求得QH,然后求△APQ的面积;
②P由A向O运动时,AP=t﹣4,AQ=t,由直角三角形ABO中的锐角的正弦求得QH=,然后求△APQ的面积;
(2)根据翻折的性质知△APQ≌△DPQ,AQP=90.在直角三角形AOB与直角三角形APQ中通过A的余弦值求得cosA===.①当0<t4时,求得t值;
②当4<t5时,求得t值;
然后将其代入
(1)中的函数解析式;
(3)①若PE∥BQ,则梯形PQBE是等腰梯形.过E、P分分别作EMAB于M,PNAB于N.构造矩形PNME.则有BM=QN,由PE∥BQ,得,从而求得MB的值;
在直角三角形APN中根据AP求得QN的值,然后由BM=QN,求得t,所以点E的坐标就迎刃而解了;
②若PQ∥BE,则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQOA于P点.由OP+AP=OA求得t值;
(4)①当P由O向A运动时,OQ=OP=AQ=t.再有边角关系求得BQ=AQ=AE,解得t值;
②②当P由A向O运动时,OQ=OP=8﹣t.在Rt△OGQ中,利用勾股定理得OQ2=QG2+OG2,列出关于t的方程,解方程即可.解答:
(1)在Rt△AOB中,OA=4,OB=3AB=①P由O向A运动时,OP=AQ=t,AP=4﹣t过Q作QHAP于H点.由QH∥BO,得即(0<t4)②当4<t5时,即P由A向O运动时,AP=t﹣4AQ=tsinBAO=QH=,=;
(2)由题意知,此时△APQ≌△DPQ,AQP=90,cosA===,当0<t4即当4<t5时,=,t=﹣16(舍去);
(3)存在,有以下两种情况①若PE∥BQ,则等腰梯形PQBE中PQ=BE过E、P分分别作EMAB于M,PNAB于N.则有BM=QN,由PE∥BQ,得,;
又∵AP=4﹣t,AN=,,由BM=QN,得,;
②若PQ∥BE,则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQOA于P点由题意知∵OP+AP=OA,t=,OE=,点E(0,﹣)由①②得E点坐标为(0,)或(0,﹣).(4)①当P由O向A运动时,OQ=OP=AQ=t.可得QOA=QAOQOB=QBOOQ=BQ=tBQ=AQ=AE;
②当P由A向O运动时,OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t,在Rt△OGQ中,OQ2=QG2+OG2即(8﹣t)2=t=5点评:
本题主要考查了解直角三角形的应用,相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用,弄清相关线段的大小和比例关系是解题的关键.例题:
如图1,在Rt△AOB中,AOB=90,AO=,ABO=30.动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动,设运动时间为t秒.在直线OB上取两点M、N作等边△PMN.
(1)求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值.
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0t2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.(4)在(3)中,设PN与EC的交点为R,是否存在点R,使△ODR是等腰三角形?
若存在,求出对应的t的值;
二次函数综合题;
三角形的面积;
等边三角形的性质;
含30度角的直角三角形;
相似三角形的判定与性质。
几何综合题;
分类讨论。
(1)利用直角三角形中30所对的边是斜边的一半即可求出AP,进而求出t的值;
(2)利用△BPH∽△BAO,得出PH的长,再利用解直角三角形求出PN的长;
(3)根据当0t1时以及当t=1时和当t=2时,分别求出S的值;
(4)根据当D为顶点,OD=OR1=6时,当R2为顶点,OR2=DR2时,③当O为等腰△的顶点时,分别得出即可.解答:
(1)∵△PMN是等边三角形,P1M1N1=60;
∵在Rt△AOB中,AOB=90,ABO=30,AP10=90,在Rt△AP1O中,AP1=AO=2,t=,即t=2;
(2)∵△BPH∽△BAO,,PH=,∵cos30=,PN===8﹣t,(3)当0t1时,S1=S四边形EONF,作GHOB于H,∵GNH=60,GH=2,HN=2,∵PN=NB=8﹣t,ON=OB﹣NB,ON=12﹣(8﹣t)=4+t,OH=4+t﹣2=2+t,S1=(2+t+4+t)2=2t+6,∵2>0,S随t增大而增大,当t=1时,S最大=8,当1<t<2时,S2=S五边形IFONG,作GHOB于H,∵AP2=tAF=2t,OF=4﹣2t,EF=2﹣(4﹣t)=2t﹣2,EI=2t﹣2,S2=S梯形EONG﹣S△EFI=2t+6﹣(2t﹣2)(2t﹣2)=﹣2t2+6t+4,∵﹣2<0,当t=﹣=时S2最大=,当t=2时,MP=MN=6,N与D重合,S3=S梯形IMNG,=36﹣4,=8,,S最大=,(4)∵△ODH是等腰三角形,①当D为顶点,OD=OR1=6时,OR1=6﹣2>2(不合题意舍去),当D为顶点时,R1不存在,此时R1不存在,使△ODR是等腰三角形,②当R2为顶点,OR2=DR2时,ER2=P2R2=3,CP2=3,AP2=4﹣3=,t2==1,③当O为等腰△的顶点时,CR3=6﹣2,CP3=2=6﹣6,AP3=4﹣(6﹣6),=6﹣2,t3==2﹣2.点评:
此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识,(3)(4)小题中,都用到了分类讨论的数学思想,难点在于考虑问题要全面,做到不重不漏.练习:
1、如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;
另一动点F从P点发发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t0).
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?
若不存在,请说明理由.是等腰三角形?
矩形的性质;
代数几何综合题;
动点型;
(1)当边FG恰好经过点C时,CFB=60,BF=3﹣t,在Rt△CBF中,解直角三角形可求t的值;
(2)按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点,分为0t<1,1t<3,3t<4,4t<6四种情况,分别写出函数关系式;
(3)存在.当△AOH是等腰三角形时,分为AH=AO=3,HA=HO,OH=OA三种情况,分别画出图形,根据特殊三角形的性质,列方程求t的值.解答:
(1)当边FG恰好经过点C时,CFB=60,BF=3﹣t,在Rt△CBF中,BC=2,tanCFB=,即tan60=,解得BF=2,即3﹣t=2,t=1,当边FG恰好经过点C时,t=1;
(2)当0t<1时,S=2t+4;
当1t<3时,S=﹣t2+3t+;
当3t<4时,S=﹣4t+20;
当4t<6时,S=t2﹣12t+36;
(3)存在.理由如下:
在Rt△ABC中,tanCAB==,CAB=30,又∵HEO=60,HAE=AHE=30,AE=HE=3﹣t或t﹣3,1)当AH=AO=3时,(如图②),过点E作EMAH于M,则AM=AH=,在Rt△AME中,cosMAE=,即cos30=,AE=,即3﹣t=或t﹣3=,t=3﹣或t=3+,2)当HA=HO时,(如图③)则HOA=HAO=30,又∵HEO=60,EHO=90,EO=2HE=2AE,又∵AE+EO=3,AE+2AE=3,AE=1,即3﹣t=1或t﹣3=1,t=2或t=4;
3)当OH=OA时,(如图④),则OHA=OAH=30,HOB=60=HEB,点E和点O重合,AE=3,即3﹣t=3或t﹣3=3,t=6(