第二章 完全信息静态博弈(博弈论-中南财经政法大学 罗捍东)(课件).pptx

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第二章完全信息静态博弈,1基本分析思路和方法一、上策均衡假设一个博弈有n个博弈方，博弈方i的策略集（又称策略空间）为Si（i=1,2,n），用sijSi表示博弈方i的第j个策略；若siSi（i=1,2,n）,称s=（s1,s2,sn）为一个策略组合；若用s-i=（s1,s2,si-1,si+1,sn）,则s=（si,s-i）。

12/15/2019,1,用ui（s）=ui（s1,s2,sn）（i=1,2,n）表示博弈方i在策略组合s=（s1,s2,sn）的得益,ui是策略集S1S2Sn上的多元函数。

定义1：

若一个博弈的策略空间为Si,得益函数为：

ui（s）=ui（s1,s2,sn）（i=1,2,n）,则该博弈表示为：

G=S1,S2,Sn；u1,u2,un。

定义2：

一个博弈G,若对博弈方i及所用si都有ui（si,s-i）ui（si,s-i），则称si是si的严格上策，si是si的严格下策。

12/15/2019,2,*,12/15/2019,3,定义3：

若在博弈G中对每个博弈方i都存在策略si是其它所有策略的严格上策,则称策,略组合s*=（s1,s2,sn）是G的上策均衡。

*在第一章的“囚徒困境”博弈中，其中（坦白，坦白）就是一个上策均衡。

而其它例子都没有上策均衡。

上策均衡反映了所有博弈方的绝对偏好，因此非常稳定，根据上策均衡可以对博弈结果作出最肯定的预测。

二、严格下策反复消去法,12/15/2019,4,在博弈G中博弈方的严格下策当然是博弈方实际上不愿选择的策略，因此可以从博弈方的策略集中去掉。

定义：

若博弈G中每个博弈方都反复去掉严格下策后剩下唯一策略组合s*=（s1,s2,sn），*,12n,则称s*=（s*,s*,s*）为G的反复消去严格下,策均衡。

例1：

博弈G如右图：

博弈方左中右,12/15/2019,5,求解反复消去严格下策均衡的方法成为严格下策反复消去法。

显然第一章的“智猪博弈”中大猪“按”、小猪“等待”是一个反复消去严格下策均衡。

左,中,1,0,1,3,12/15/2019,6,左,中,上,解：

博弈方的策略“右”是策略“中”的严格下策，消去策略“右”后为：

博弈方的策略“下”是策略“上”的严格下策，消去策略“下”后为：

博弈方的策略“左”是策略“中”的严格下策，消去策略“左”后为可知（上，中）就是该博弈反复消去严,格下策均衡。

严格下策反复消去法中每次消去的必须是严格上策，否则会出现一些意想不到的结果。

例2：

博弈G如下图：

博弈方,12/15/2019,7,L,解：

1）博弈方的策略“L”和“M”都是策略“R”的下策（不是严格下策），消去策略“L”和“M”后为：

R1,80,80,9,12/15/2019,8,博弈方的策略“S”和“D”都是策略“U”的严格下策，消去策略“S”和“D”后剩下唯一策略组合（U,R）。

LMR2,81,61,8,2）博弈方的策略“S”和“D”都是策略“U”的下策（不是严格下策），消去策略“S”和“D”后为:

U,博弈方的策略“M”和“R”都是策略“L”的下策（不是严格下策），消去策略“M”和“L”后剩下唯一策略组合（U,L）。

2,81,61,80,80,60,80,81,50,9,12/15/2019,9,2纳什均衡,12/15/2019,10,一、纳什均衡的定义定义4：

博弈G=S1,S2,Sn；u1,u2,un,12n,中，若存在策略组合s*=（s*,s*,s*），任,一博弈方i的策略s*都是对其余博弈方策略组合,i*（s*,s*,s*,s*,s*）最佳对策，s-i12i-1i+1n即ui（si,s-i）ui（si,s-i）对任意siSi都成*,12n,立，则称s*=（s*,s*,s*）是G的一个纳什,均衡。

二、纳什均衡的求解方法,12/15/2019,11,1、划线法对其他博弈方的任一策略组合，找出博弈方i的最佳策略，并在其得益值下划线。

若存在一个策略组合，使得所有博弈方的得益值下都划了线，则该策略组合就是一个纳什均衡。

例1：

博弈G如右图：

左,博弈方中,右,解：

该博弈的纳什均衡为（上，中）。

12/15/2019,12,L,例2：

博弈G如下图：

博弈方M,R,解：

该博弈有两个纳什均衡（U,L）和（U,R）。

12/15/2019,13,2、箭头法考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益。

如能，则从所分析的策略组合对应的得益数组引一箭头，到改变策略后策略组合对应的得益数组。

若存在一策略组合，其得益数组只有进来的箭头而没有出去的箭头，则该策略组合就是纳什均衡。

12/15/2019,14,例3：

博弈G如右图：

博弈方中,纳什均衡为（上，中）。

12/15/2019,15,斗鸡B,进攻,退却,例4：

斗鸡博弈,（进，退）和（退，进）是两个纳什均衡。

12/15/2019,16,二、纳什均衡的一致预测性,12/15/2019,17,一致预测性是指这样一种性质：

如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的结果。

一致预测性是纳什均衡的本质属性，纳什均衡是稳定的和自我强制的.,三、纳什均衡与严格下策反复消去法,12/15/2019,18,上策均衡肯定是纳什均衡，但反过来纳什均衡不一定是上策均衡，因此上策均衡是比纳什均衡更强、稳定性更高的均衡概念。

只是，上策均衡在博弈问题中的普遍性比纳什均衡要差得多。

命题1：

在n个博弈方的博弈G=S1,S2,12/15/2019,19,12,Sn；u1,u2,un中，如果s*=（s*,s*,s*）是G的一个纳什均衡，那么严格下策反复,n消去法一定不会将它消去。

12,证：

用反证法：

设策略组合（s*,s*,n,s*）是博弈G的一个纳什均衡，且博弈方i的策略,s*，是该策略组合中第一个由于相对于该博弈,*,i方的其他策略是严格下策而被消去的策略（也许是在其他某些策略被消去以后）。

则必然存在博弈方i的某个策略si，该si在si被消去的时候还没,i,有被消去，并且是相对于s*的严格上策，即满,足：

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（1）,12/15/2019,20,对任意由其他博弈方此时尚未消去的所有策略构成的策略组合s-i=（s1,si-1,si+1,sn）都成立。

*,i12n,*,由于假设s是纳什均衡（s,s,s）的,各方策略中第一个被消去的，因此其他博弈方的策略s1,si-1,si+1,sn，在si被消去的时候都还没有被消去，于是对s-i=（s1,si-1,si+1,sn）也必须成立即:

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（2）*,12n,12/15/2019,21,这显然与（s*,s*,s*）是纳什均衡策略,组合的假设相矛盾，因为不等式

（2）表明si不是博弈方i对其他博弈方的策略组合的最佳反应。

该矛盾证明了开头所作的：

纳什均衡被严格下策反复消去法消去的假设是不可能成立的，这样命题1就得到了证明。

命题2：

在n个博弈方的博弈G中，如果严格下策反复消去法排除了除s*=（s1,s2,sn）之外的所有策略组合，那*么s*一定是该博弈惟一的纳什均衡。

证：

命题2的后半部分即惟一性可由命题1的结论得到证明。

下面用反证法证明前半部分：

12/15/2019,22,设严格下策反复消去法已经消去除了,12/15/2019,23,s*=（s1,s2,sn）以外的所有策略组合。

*但s*却不是一个纳什均衡。

就是说，至少存在某个博弈方i的某个策略si使得：

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（1）*但由于s*是经过严格下策反复消去法以后留下的惟一策略组合，因此si必然是被严格下策反复消去法消去的策略。

也就是说，在严格下策反复消去过程中的某个阶段，必然存在某个当时还没有被消去的策略si使得：

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（2）,12/15/2019,24,对由此时尚未被消去的，其他博弈方的策略构成的所有策略组合s-i都成立。

由于s*是本博弈经过严格下策反复消去法以后惟一留下的策略组合，因此策略s1,si-1,si+1,sn始终不会被消去，因此也应该满足

（2）式，即:

ui（si/,s-i）ui（si,s-i）（3）*,/,12/15/2019,25,*,iiii,如果s就是s,即s是相对于s的严格,上策，则（3）式和

（1）式相矛盾，从而s*不是纳什均衡的假设不能成立。

这就证明了命题。

/,*,iii,如果s与s不同，则s/在严格下策反复,消去的过程中也必须被消去（要不然s*就不会是留下的惟一的策略组合）。

进一步推定在某阶段存在si/是相对于si/的严格上策，用si/和si/分别代替si/和si时，,12/15/2019,26,/,ii,*,

（2）式和（3）式仍然必须成立，如果s就是s，则与上相同也证明了命题。

否则用si/代替si/重复上述过程。

这样，,ii,总会找到某个s（k）就是s*,从而证明在前述,假设下必然导致

（1）式和（3）式的矛盾，否定前述假设成立的可能性，由此证实命题2。

3无限策略博弈分析和反应函数,12/15/2019,27,根据上一节的分析已经明白，分析完全信息静态博弈的关键是找出其中的纳什均衡。

但前面所讨论都是可通过策略之间的两两比较进行分析的有限策略博弈模型。

在无限策略、连续策略空间的博弈中，纳什均衡的概念同样适用。

我们通过具体模型来说明这种博弈的纳什均衡分析方法。

一、古诺（Cournot）模型古诺模型是研究寡头垄断市场的经典模型，在古诺模型中,假设一个市场有两家生产同一种产品厂商。

如果厂商1的产量为q1，厂商2的产量为q2，则市场总产量为Qq1十q2。

设市场出清价格P（即可以将产品全部卖出去的价格）是市场总产量的函数（即逆需求函数）P=P（Q）=Q=（q1q2）。

再设两厂商有相同的单位生产成本c1=c2=c,且都没有固定成本，则该博弈中两博弈方的得益（即两厂商各目的利润）分别为:

12/15/2019,28,和虽然本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略，但根据纳什均衡的定义我们知道，纳什均衡就是具有相互是最优对策性质的各博弈方策略组成的策略组合。

12/15/2019,29,12,12/15/2019,30,因此，如果假设策略组合（q*,q*）是本,12,博弈的纳什均衡，则（q*,q*）必须是使得两,博弈方的得益达到最大值,即满足:

要求上式的最大值,只需

（1）、

（2）两式分别对q1、q2求偏导并令两个偏导数都等于,零,由此可得q*,q*应满足方程组:

12,12/15/2019,31,解之得该方程组唯的一组解:

均衡总产量为：

两博弈方的均衡得益（利润）分别为:

具体地,若设:

则:

12/15/2019,32,如果想对上述博弈结果作效率评价，可以再从两厂商总体利益最大化的角度作一次产量选择，根据向场条件求实现总得益（总利润）最大的总产量。

设总产量为Q，则总得益为UP（Q）cQQ（8Q）2Q6QQ2。

很容易求得使总得益最大的总产量Q*3，最大总得益U*9。

12/15/2019,33,将此结果与两厂商独立决策，追求自身而不是共同利益最大化时的博弈结果相比，不难发现此时总产量较小，而总利润却较高。

因此从两厂商的总体来看，根据总体利益最大化确定产量效率更高。

换句话说，如果两厂商更多考虑合作，联合起来决定产量，先定出使总利益最大的产量后各自生产一半（1.5,1.5单位），则各自可分享到的利益为4.5，比只考虑自身利益的独立决策行为得到的利益要高。

12/15/2019,34,当然，在独立决策、缺乏协调机制的两个企业之间，上述合作的结果并不容易实现，即使实现了也往往是不稳定的。

合作难以实现或维持的原因主要是。

各生产一半实现最大总利润产量的产量组合