算法设计与分析复习题目及答案Word文件下载.docx
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贪心算法与动态规划算法的主要区别是（
贪心选择性质
）。
回溯算法和分支限界法的问题的解空间树不会是（ 无序树）.
１4．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（
B
A、O（ｎ２n）B、O（nlｏｇｎ）ﻩC、Ｏ（2ｎ）ﻩﻩD、Ｏ（n）
2１、下面关于NP问题说法正确的是（B）
A NＰ问题都是不可能解决的问题
ＢP类问题包含在NＰ类问题中ﻫＣNＰ完全问题是P类问题的子集ﻫDNP类问题包含在P类问题中
40、背包问题的贪心算法所需的计算时间为（
Ｂ
）
Ａ、O（n2ｎ）
B、Ｏ（nlogｎ）
C、O（2n）
D、O（n）
42．0-１背包问题的回溯算法所需的计算时间为（
A
A、O（n2n）ﻩB、O（ｎlogn）Ｃ、Ｏ（2n）D、O（n）
．
４7.背包问题的贪心算法所需的计算时间为（
A、O（n2ｎ）Ｂ、O（nｌogn）ﻩC、O（2n）ﻩﻩD、O（n）
５3.采用贪心算法的最优装载问题的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法的时间复杂度为（ B ）。
Ａ、Ｏ（n２ｎ）B、Ｏ（nloｇn）C、O（2n）ﻩD、Ｏ（n）
５6、算法是由若干条指令组成的有穷序列,而且满足以下性质（D）
（1）输入：
有0个或多个输入
（2）输出：
至少有一个输出
（3）确定性：
指令清晰，无歧义
（4）有限性:
指令执行次数有限，而且执行时间有限
A（１）（２）（3） B（１）
（2）（4）Ｃ
（1）（3）（4） Ｄ
（1）
（2）（3）（4）
57、函数３2n+１０ｎlogｎ的渐进表达式是（B）.
A.2n B．32nC．nlｏgn Ｄ.１0ｎlogｎﻫ５9、用动态规划算法解决最大字段和问题,其时间复杂性为（ B ）.ﻫA.lｏgnB.n C．ｎ2 D．ｎlogn
6１、设f（Ｎ），ｇ（N）是定义在正数集上的正函数,如果存在正的常数C和自然数Ｎ0,使得当N≥Ｎ０时有f（N）≤Ｃg（N），则称函数f（N）当Ｎ充分大时有下界g（N）,记作
f（N）∈○（g（N））,即f（N）的阶（ A）ｇ（N）的阶．ﻫＡ.不高于B.不低于C．等价于 D．逼近
二、 填空题
2、程序是 算法
用某种程序设计语言的具体实现。
3、算法的“确定性”指的是组成算法的每条 指令 是清晰的，无歧义的。
6、算法是指解决问题的 一种方法 或 一个过程 。
7、从分治法的一般设计模式可以看出,用它设计出的程序一般是递归算法。
1１、计算一个算法时间复杂度通常可以计算循环次数 、 基本操作的频率 或计算步。
14、解决０/1背包问题可以使用动态规划、回溯法和分支限界法，其中不需要排序的是 动态规划 ，需要排序的是 回溯法 ,分支限界法。
１5、使用回溯法进行状态空间树裁剪分支时一般有两个标准:
约束条件和目标函数的界,N皇后问题和0/1背包问题正好是两种不同的类型，其中同时使用约束条件和目标函数的界进行裁剪的是 0/1背包问题 ，只使用约束条件进行裁剪的是 N皇后问题 。
30.回溯法是一种既带有 系统性 又带有跳跃性 的搜索算法。
33．回溯法搜索解空间树时，常用的两种剪枝函数为 约束函数和 限界函数 。
34.任何可用计算机求解的问题所需的时间都与其规模有关。
35.快速排序算法的性能取决于划分的对称性。
36.Ｐｒｉm算法利用贪心 策略求解最小生成树 问题，其时间复杂度是 O（n２） 。
３７．图的m着色问题可用回溯 法求解,其解空间树中叶子结点个数是ｍn ,解空间树中每个内结点的孩子数是ｍ 。
４．若序列X＝{B,C,A，D,B,Ｃ,D}，Y={A，C,Ｂ,A，Ｂ，D，C,Ｄ}，请给出序列X和Ｙ的一个最长公共子序列｛BABＣD}或{CABＣD}或{CADCD}。
5．用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间,问题的解空间至少应包含一个（最优）解
8.0－１背包问题的回溯算法所需的计算时间为__ｏ（n*２ｎ）__,用动态规划算法所需的计算时间为___o（ｍin{ｎc,2n}_。
二、综合题（50分）
1.写出设计动态规划算法的主要步骤。
①问题具有最优子结构性质;
②构造最优值的递归关系表达式;
3最优值的算法描述；
④构造最优解；
2.流水作业调度问题的joｈｎsoｎ算法的思想。
①令Ｎ１=｛ｉ｜aｉ<
bi｝，N2={i|ai>
=bi}；
②将N１中作业按ai的非减序排序得到N1’，将Ｎ2中作业按bi的非增序排序得到N２’；
③N１’中作业接Ｎ2’中作业就构成了满足Johnson法则的最优调度。
3.若ｎ=4，在机器M１和M2上加工作业i所需的时间分别为ai和bi，且（a１,ａ2,a3,a4）＝（４,5,12,１0）,（b１,ｂ2,b３,b4）＝（８，２,15,９）求４个作业的最优调度方案,并计算最优值。
步骤为:
N１={1,3},N2=｛2,4｝；
N１’={1，3},N２’=｛4,２};
最优值为:
3８
4.使用回溯法解0/1背包问题:
n＝3，C=9,V＝｛6,１０,3},W={3，4，4｝,其解空间有长度为3的０-１向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发,左1右０）,并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。
解空间为｛（０,0,0）,（０,1,0）,（0，0,１）,（1,0,0），（0,１,１）,（１,0，1）,
（1，1，0）,（1，1,1）}。
解空间树为：
该问题的最优值为:
1６最优解为：
（1，1，0）
5.设S＝｛X1，X2,·
·
，Ｘn｝是严格递增的有序集,利用二叉树的结点来存储Ｓ中的元素,在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素X，返回的结果有两种情形,
（1）在二叉搜索树的内结点中找到Ｘ=Xｉ，其概率为ｂi。
（2）在二叉搜索树的叶结点中确定X∈（Xｉ,Xi＋1），其概率为ai。
在表示Ｓ的二叉搜索树Ｔ中，设存储元素Xi的结点深度为Cｉ；
叶结点（Ｘi，Ｘi+1）的结点深度为di，则二叉搜索树T的平均路长p为多少？
假设二叉搜索树Ｔ[i］[j］={Xi，Xi+1，·
，Xj｝最优值为m[ｉ][ｊ],W[ｉ]［ｊ]= aｉ-1+bi+·
＋bj＋ａj，则m[ｉ]［j]（１<
＝i<
=j<
=n）递归关系表达式为什么?
二叉树T的平均路长P=
＋
m[i][j]=W[i][j]+min{m[i][k]+m[k+1][j]}（1<
=i<
=n,m[i][i-1]=0）
m[i］[ｊ]=０（i＞j）
6.描述０－1背包问题。
已知一个背包的容量为C，有n件物品，物品ｉ的重量为Wｉ,价值为Ｖi，求应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大。
三、简答题（３0分）ﻩ
1.流水作业调度中,已知有n个作业,机器M1和M２上加工作业i所需的时间分别为aｉ和bi，请写出流水作业调度问题的joｈnｓon法则中对ai和bi的排序算法。
（函数名可写为ｓorｔ（s,n））
２.最优二叉搜索树问题的动态规划算法（设函数名biｎａrｙseａrcｈｔｒｅe））
1.
voidsort（fｌowjopes［],ｉnｔn）
{
inti,k，j,l；
fｏr（i=１;
i<
=ｎ-1;
i+＋）//－--－-选择排序
{
k=i;
ｗｈiｌe（ｋ＜＝n&
&
ｓ[k].ｔag！
=0）ｋ+＋;
ｉf（k＞n）breaｋ;
//-----没有aｉ,跳出
eｌse
｛for（j=k+1;
j<
=n;
ｊ++）
ｉf（s[j].ｔaｇ==0）
if（s[k].a＞ｓ[ｊ]．a）k=j;
ｓｗａp（s[i］．iｎdex,ｓ[k].iｎdex）;
swap（s[i].ｔag，s[k].tag）；
｝
}
l=i;
//-－---记下当前第一个ｂi的下标
for（i=ｌ;
ｉ＜＝n-1;
i++）
｛
k=i;
ｆor（ｊ=k+１;
ｊ<
=n；
j+＋）
if（ｓ[k]．b<
s[j].b） k=j;
sｗaｐ（ｓ[ｉ].indｅｘ，s[k].iｎdｅx）;
/／-----只移动indeｘ和tag
swap（ｓ[i].tａｇ,s［k]．tag）;
}
}
２.
vｏｉdbｉｎaryseaｒchtree（int a[］,inｔb［],iｎtn，inｔ **m,iｎt**s,int **w）
{
inｔ i,ｊ,ｋ,t,l；
foｒ（i=１；
ｉ<
=n+１;
ｉ++）
{w[i][i-1］＝a[i-1];
m[ｉ][i-1]=0；
fｏr（l＝0；
l<
=n-1;
l++）//－－--l是下标j－i的差
fｏr（i=1；
＝n-l;
ｉ+＋）
{ｊ=i+l;
w［i][j］＝w[ｉ][j-１]+a[j]＋b［j］;
m[i］[j]=m[i］[ｉ－1］+m［i+1］[j］＋w[i][ｊ];
s[i]［j］＝i；
for（ｋ＝i+１;
ｋ<
=j;
k++）
{ｔ=ｍ[i］［k-1]+ｍ[ｋ+1]［ｊ]+ｗ[ｉ][j］；
if（t<
m［i]［j］）
{ ｍ[ｉ][j］＝t;
s[i］［j]=ｋ;
｝
一、填空题（本题15分,每小题1分）
1、算法就是一组有穷的规则 ,它们规定了解决某一特定类型问题的一系列运算
2、在进行问题的计算复杂性分析之前，首先必须建立求解问题所用的计算模型。
3个基本计算模型是随机存取机RＡM 、随机存取存储程序机ＲＡＳP 、图灵机。
3、算法的复杂性是 算法效率 的度量,是评价算法优劣的重要依据。
4、计算机的资源最重要的是时间和 空间 资源
5、f（ｎ）＝6×
2n+n2，f（n）的渐进性态f（n）=O（
２^n
6、贪心算法总是做出在当前看来 最好 的选择。
也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优结构
二、简答题（本题25分，每小题５分）
1、简单描述分治法的基本思想。
2、简述动态规划方法所运用的最优化原理。
3、何谓最优子结构性质？
4、简单描述回溯法基本思想。
5、何谓P、NP、ＮPC问题
三、算法填空（本题20分，每小题５分）
１、n后问题回溯算法
（1）用二维数组A[N]［N]存储皇后位置,若第i行第j列放有皇后,则A[i][j]为非０值,否则值为0。
（2）分别用一维数组M[N]、L［2*Ｎ－1]、R［2＊N－1]表示竖列、左斜线、右斜线是否放有棋子,有则值为1,否则值为０。
for（j=0;
j＜N;
j++）
if（1 ） /*安全检查*/
{A[ｉ][j]=i+1;
/＊放皇后*/
2；
if（ｉ==N-1） 输出结果；
elsｅ 3；
;
/*试探下一行*/
4 ；
/*去皇后*／
5;
；
}
2、数塔问题。
有形如下图所示的数塔，从顶部出发,在每一结点可以选择向左走或是向右走,一起走到底层,要求找出一条路径,使路径上的值最大。
for（r＝n-2;
r＞＝0;
ｒ--）／/自底向上递归计算
for（c=０;
1;
c＋＋）
if（ｔ［ｒ＋1][c]>
t[ｒ+1][c+１]） 2 ;
elｓe ３ ;
3、Hanoｉ算法
Hａnoi（n，a,ｂ,c）
if（ｎ=＝１）１ ;
eｌse
｛ ２ ;
3;
Hａｎｏｉ（ｎ-1,b,a,c）;
4、Dijkstra算法求单源最短路径
ｄ[ｕ]:
s到u的距离p[ｕ]:
记录前一节点信息
Ｉｎit-singｌe-souｒce（G,s）
foreachvertｅｘv∈Ｖ[G]
do｛ d［ｖ］=∞;
１ ｝
ｄ［s]=0
Ｒｅlaｘ（u，ｖ，w）
ｉfd[v]>
d[ｕ]+w（u，ｖ）
then {ｄ［v]＝d[u]+ｗ[u，v];
2
dijkstra（G,ｗ,s）
1.Ｉnit－singｌｅ-sourｃe（G,s）
2. S＝Φ
３．Q=Ｖ[G］
4.whileQ<
＞ Φ
dou=ｍin（Q）
S=Ｓ∪｛ｕ}
ｆoreachvertex 3
ｄｏ 4
四、算法理解题（本题10分）
根据优先队列式分支限界法,求下图中从v1点到v9点的单源最短路径，请画出求得最优解的解空间树。
要求中间被舍弃的结点用×
标记，获得中间解的结点用单圆圈○框起，最优解用双圆圈◎框起。
五、算法理解题（本题5分）
设有n＝2ｋ个运动员要进行循环赛,现设计一个满足以下要求的比赛日程表：
①每个选手必须与其他n-1名选手比赛各一次;
②每个选手一天至多只能赛一次;
③循环赛要在最短时间内完成。
（1）如果n=2k,循环赛最少需要进行几天；
（2）当n=23=8时,请画出循环赛日程表。
六、算法设计题（本题1５分）
分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计０-１背包问题。
要求:
说明所使用的算法策略;
写出算法实现的主要步骤；
分析算法的时间。
七、算法设计题（本题10分）
通过键盘输入一个高精度的正整数n（ｎ的有效位数≤240）,去掉其中任意ｓ个数字后,剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。
编程对给定的ｎ和ｓ，寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。
【样例输入】
178543
Ｓ=4
【样例输出】
１３
二、简答题（本题25分,每小题5分）
6、分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同；
对这k个子问题分别求解。
如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止;
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
7、“最优化原理”用数学化的语言来描述:
假设为了解决某一优化问题，需要依次作出ｎ个决策D1，Ｄ２，…，Dn，如若这个决策序列是最优的,对于任何一个整数k,１<
k ＜ n，不论前面k个决策是怎样的,以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策Ｄk+1，Dk+2，…,Ｄn也是最优的。
8、某个问题的最优解包含着其子问题的最优解。
这种性质称为最优子结构性质。
9、回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树上进行深度优先搜索,解为叶子结点。
搜索过程中，每到达一个结点时,则判断该结点为根的子树是否含有问题的解，如果可以确定该子树中不含有问题的解，则放弃对该子树的搜索，退回到上层父结点，继续下一步深度优先搜索过程。
在回溯法中,并不是先构造出整棵状态空间树,再进行搜索，而是在搜索过程，逐步构造出状态空间树,即边搜索，边构造。
10、Ｐ（Polynomiaｌ问题）：
也即是多项式复杂程度的问题。
NＰ就是Non-ｄetermｉｎistic
Polynomｉaｌ的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。
NPC（ＮPCoｍｐlete）问题,这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之后才能得出答案，这样的问题是ＮP里面最难的问题,这种问题就是NPＣ问题。
三、算法填空（本题２0分,每小题5分）
1、n后问题回溯算法
（1）!
Ｍ[j]＆&
！
L[i+j]&
!
Ｒ[ｉ－j+N］
（2） M[j］=L[i+j]=R[ｉ-ｊ+N］=1;
（3） trｙ（i+1,M,L，R，A）
（４）Ａ[ｉ][ｊ］＝0
（5）M[j]＝Ｌ[ｉ＋j］=R[i－ｊ+N]=0
（1）c＜＝r
（2）t[r]［ｃ]＋=t[r＋１][c]
（3）t[r][c］+＝t[ｒ+1][ｃ+1]
３、Hanoi算法
（1）move（a,ｃ）
（2）Hａnoi（ｎ-１,a，c ， b）
（3）Mｏve（a,c）
4、
（1）p[v］=ＮＩＬ
（２）p[ｖ]＝u
（３） ｖ∈ａdj[ｕ］
（4）Rｅlaｘ（u，ｖ，w）
五、（１）8天（2分）；
（2）当n=2３＝8时,循环赛日程表（３分）。
（1）贪心算法O（nlog（n））
Ø
首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi,然后,依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。
若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C,则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。
依此策略一直地进行下去,直到背包装满为止。
具体算法可描述如下:
voiｄ Ｋnapsack（inｔ n,fｌｏatM,ｆloatv［］,floａtw[］，floatｘ[］）
{Soｒt（ｎ，ｖ，ｗ）；
ｉnｔi；
ｆoｒ（i＝1;
＝ｎ；
ｉ+＋）x[ｉ］＝0;
floatc=M;
ｆor （i=1;
=ｎ;
i++）
｛iｆ（w［i]>
ｃ）ｂrｅak;
x[i]=1;
ｃ－＝w[i］;
if（ｉ<
=n） x[i]=c/w[i];
（２）动态规划法O（nc）
m（i,ｊ）是背包容量为j，可选择物品为ｉ，i+1，…，ｎ时0-1背包问题的最优值。
由0-１背包问题的最优子结构性质,可以建立计算ｍ（ｉ，j）的递归式如下。
void KｎaｐSaｃｋ（intv[],iｎtw[],intc,int n，iｎtm[]［１１]）
{ｉntjMａx=min（w[n]-１,c）;
ｆor（j=0；
＝ｊMax;
j＋+）/＊m（n,j）=0 0=＜j＜ｗ[ｎ］*/
m［n][j]=0;
ｆor （j=w[n］;
=c；
j+＋） /＊m（n,j）=v［ｎ]j>
=w[ｎ]*/
m[n］[j]=v[n];
ｆoｒ （ｉ＝ｎ-1;
ｉ>
１；
i--）
{ｉntjＭax=min（ｗ［i]-１,ｃ）；
ｆｏｒ（j=0;
=ｊMaｘ;
j++）/*m（i,j）=ｍ（ｉ+1,j） 0=<
w［i]＊/
m[ｉ][j]=m[i+1][j]；
for （ｊ＝w[i］；
=ｃ;
ｊ+＋）／*m（n，j）=v[n］j>
＝ｗ[ｎ]*/
m[i][j]＝max（m[i+1][j],m[ｉ＋1][j-w[i］]+v［ｉ]）；
m[１]［ｃ］=m[2][ｃ];
iｆ（ｃ>
=w[１]）
ｍ［1][c]=maｘ（m［1］[ｃ],ｍ［2］[c-w[1]]＋v[1］）;
（3）回溯法O（２n）
cw:
当前重量cp:
当前价值 bestｐ：
当前最优值
ｖoiｄ
ｂacktrａｃk（ｉｎt
i）
／/回溯法
i初值１
{
if（ｉ
＞
n）//到达叶结点
{ besｔp
=
cｐ;
ｒetuｒn;
}
if（cｗ
+
w[i]
<
c） //搜索左子树
｛
cw
+=
ｗ[i];
ｃp
＋=
p[i]；
ｂａｃktrａck（ｉ+1）;
-＝
w[i];
ｃp
-=
p［i]；
iｆ（Ｂound（ｉ+1）＞besｔp）
//搜索右子树
backｔrack（ｉ+1）；
｝
为了尽可能地逼近目标，我们选取的贪心策略为:
每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去,即按高位到低位的顺序搜索，若各位数字递增,则删除最后一个数字，否则删除第一个递减区间的首字符。
然后回到串首,按上述规则再删除下一个数字。
重复以上过程s次,剩下的数字串便是问题的解了。
具体算法如下:
输入ｓ，n;
wｈｉle（ ｓ>
0 ）
｛i=１；
//从串首开始找
ｗｈｉle（i<
ｌengtｈ（n））＆&
（n[i］<
n［i+1]）
｛ｉ＋＋;
dｅlｅte（ｎ,i,1）；
//删除字符串ｎ的第i个字符
s－－;
while（lengｔｈ（n）>
1）&
（n［1]=‘0’）
deｌete（n,1，1）；
//删去串首可能产生的无用零
输出n;
三、算法填空
1．背包问题的贪心算法
void Knaｐsack（ｉnｔn，fｌoａtM,floａtv[],ｆloat w[],fｌｏatx[]）
Sｏr
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