弹性力学习题新Word格式.docx

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y=l坐标面，应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同。

f9片必=凡=_尸血閃

分析：

1、与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平

=0

2、在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精确满足时，可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化。

应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者方向一致时去正号，反之取负号。

2-8试列出题2-8图（a）,题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。

在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

图（a）

图（b）

1、对于图（a）的问题

在主要边界x=上,应精确满足下列边界条件:

9入°

^-pgy.OUi=0；

@）说=-pgy.=0・

在小边界（次要边界）上，能精确满足下列边界条件:

円二-劲；

（认）=0.

在小边界（次要边界），=%上，有位移边界条件：

（叽=0,（%恕=0.

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，

当板厚5=1时，

［（勺力吨6&

二-pg、h\+焉冷

仏必=严"

2、对于图（b）所示问题

9几吆二0，〔乙）尸疔-处阿）尸吆=-q，（空）尸一％=0-

在次要边界/=°

上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚$=1时，

”2\丸2、川二

在小边界（次要边界）％'

上，有位移边界条件：

@）口=0,（叽r=0・

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件

来代替，

2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F,如题2・17所示，体力可以不计。

根据材料力学公式，写出弯应力6和切应力By的表达式，并取挤压应力Gy=O,然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。

0J

M=-Fx

A

£

1、矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程为，横

咕^2=_乎弓^（x）=_F

，剪应力

;

该截面上的剪力为

2、经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡

各些+心

I&

ax

vdav©

j

」+」+九=°

・

也能满足相容方程

a2v、一门a审八一

泰+硕）紅+^）=7+族忘+苏戶0

条件:

能满足。

%=0

在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件:

/2

Jd訶二0.

满足应力边界条件。

jy—/

在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：

rft/2rfi/2\2F

［刖2（6山心=［加2亍/炖"

冈2『加212F□

［吧（6山炖二L门戸妙肉一矶

rft/2「防26Fk20

［讥（唧“厂.臣匸—了）勿=-只

满足应力条件。

因此，它们是该问题的正确解答。

例3-1如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数

^=Ax3y3+Bxy5^Cx^y+Dxy2+Ex2+Fxy

求简支梁的应力分量（体力不计）。

r.

1

护0珈珈

Sr4dx20y2dyA

代入应力函数，得:

72Axy十120Bxy=0

山此得

于是应力函数可改写为

°

二—y+3+丑戈+Fxy

2、应力分量表达式

6==_10凤分+20Bxy3+6Dxy

劭2

ci=—%—-1OJBxy‘+6Cxy+6Ex

"

dx

w=\5Bx2y2-5By4-3Cx2-3时-F

3、考察边界条件：

确定应力分量中的各系数

（丐）尸_和2=-号■局得—-3C7?

+6E=-芋;

（a）

厲）尸一加2=0,得（3C-#册2）戈2+^4+_^2+片）=0；

（方）

（巧）円口=0,得-—Bl/-3C力+6E=0;

（c）

155¥

@丿円口=0,得（3C--Bh2）x2+（订刃沪+才刀/+尸）=0;

0）

若式（b〉恒成立，必须满足

3C-—5A2=0；

（e）

4

丄加+三亦+F=0・（f）

164

联立求解以上各式，得

仏=-卑迟=兽《=生卫=-鱼.

3磧5h3i4hl12i

再根据简支梁的端面条件确定常数D,FoIII圣维南原理得

打2©

入胁乂

q一丑+型；

—吐+业

可得10hl3加'

再带入式⑷得4h80/

4、应力分量表达式

耆剳3"

+八涉）

<

务=卑心纽-4b—/）”2h3i

如=卑（4才_/）g〒_齐—尸+兰）

即4肝z丿2（/

例3-2图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1,右端固定、左端自由，荷载分布在自右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量。

这是一个平面应力问题，釆用半逆解法求解。

（1）选取应力函数。

由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M

（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力乂与该点的坐标y成正比，因此可设

式中叫的为待定常数。

将式（&

）对y积分两次，得

式中的fl（X）,f2（X）为X的待定函数，可由相容方程确定。

将式（b）代入相

容方程

a3x

」2

f2（x）=a6x+a7x+agx+a9

式中^2_0[9为待定的积分常数。

将“仪），（2（X）代入式（b）,得应力函数为

J3/32\

=+la2X+a3x+a4x+S丿y+fa6x3+a?

x2+ayx+aj

（2）

（c）

应力分量的表达式

r\=a]XyCy=6（oc2y+ajx+2（ot3y+a7）

[122

Txy=--30C2X-2a3X-tt4

（3）考察应力边界条件：

以确定各系数，自由端无水平力；

上、下部无荷载；

自由端的剪力之和为P，得边界条件

（o）=0

xx=0,自然满足；

a.h

12

0--3a2x-2a3x-a4=0

，得2；

a』

rr=rr=（1一~o—a力=0上式对X的任何值均应满足，因此得2-u3-u,24

最后得应力分量为

P

nx=--xy,ny=O

Txy=-^h-y2）

0=—xy（3h2-4y2）

3-3试考察应力函数2h能满足相容方程，并求出应力分

量（不计体力），画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示岀面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

（3）

边界条件：

在y=^h/2主要边界上，应精确定满足应力边界条件

在次要边界x=o,X二1上，应用圣维南原理，可列岀三个积分的应力边界条件

（fh/2

J_h/2H=o,^=0

fh/2fh/2

J出臥=°

ydy"

J加』宀

J

h/2

对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，山应力边界条件式

（a）（b）、（c）可知上边、下边无面力；

而左边界上受有铅直力；

右边界上有按

线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。

所以，能解决悬臂在自山端受集中力作用的问题。

3-6如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,h»

b,在两侧上受到均布剪力q的作用，试用函数0==Axy+Bx'

y求解应力分量。

题3-6图

（1）相容条件

将应力函数0代入相容方程V0=O,其中

d40d40340

衣"

，乔寸w=0

很显然满足相容方程。

（2）应力分量表达式

沪0沪05202

S=—7=Oq=—-=6Bxy代=-齐一=-A-3Bx

xdy2ydxxy°

xdy

（3）考察边界条件，在主要边界x=±

b/2上，各有两个应精确满足的边界条

（4）

把各应力分量代入边界条件，得

2q

ax=°

Qy,2

12qq

应力分量为

3-7设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l»

h

233

如题3-7图所示，试用应力函数0=Axy+By+Cy'

+Dxy'

求解应力分量。

解

（1）相容条件

将0=Axy+By2+Cy3+Dxy］弋入相容方程，显然满足。

a20

Cxy-0x0y

x

520a20

=—-=2B+6Cy+6Dxy,o=—-

Oy/yax2

=-（A+3Dy2）

（3）考察边界条件，在主要边界『=±

1^/2上，各有两个应精确满足的边界条

在次要边界x二0±

只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。

注意x二0是负x面，山此得

吹FN

讪⑴“抄二讥，得吐访h/2/、2M

-h/J—ydyi，得—卞

/h/21

（b）

_h>

y）x=ody=-F^Ah+4Dh3=F

由式（a）（b）解岀

最后一个次要边界条件（X二1上），在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。

代入应力公式，得

fn12M12Fs

3-9设题3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为P,试用教材§

3-4中的应力函数（e）求解应力分量，并画岀截面上的应力分布图。

11111!

1

▼y

解

（1）应力函数为

x\22xz32、A5B4

=J（Ax+By+Cy+D）+x（Ey+Fy+Gy）-—y°

--y

+Hy+Ky（a）

（2）应力分量的表达式

Qx

2

X32

=j（6Ay+2B）+x（6Ey+2F）-2Ay-2By+6Hy

+2K（b）

§

=Ay3+By2+Cy+D-pgy（c）

Txy=-x（3Ay2+2By+C）-（3Ey2+2Fy+G）（d）

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能够选择适当的常数A,B,…，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式（b）,（c）,（d）就是正确的解答。

（3）考虑对称性。

因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。

这样是°

x和°

y是x的偶函数，而Sy是x的奇函数，于是由式

（b）和（d）可见

e=f=g=o

（4）考察边界条件：

在主要边界y=±

h/2上，应精确满足应力边界条件

将应力分量式（C）和（d）代入，并注意到前面已有E=F=G=O,可见这些边界条件要求

h3h2hpgh

©

A+&

B+㊁C+D一〒=0

一石A+_B-牙C+D+—0

8422

一x^|h2A+hB+C）=0即|h2A+hB+C=0

考虑左右两边的次要边界条件。

曲于问题的对称性，只需考虑其中的一边，例如右边。

梁的右边没有水平面力，X"

时，不论y取任何值

（-h/25y5h/2）,都有5=由式（f）可见，这是不可能满足的，

除非P，H,K是均为零。

因此，用多项式求解，只能要求°

x在这部分边界上合成

的主矢量和主矩均为零，也就是要求

/

h/2

（J）x_]dy=0（i）

-h/2x-L

（Qx）x_jydy=o（i）-h/2x-L

将式（f）代入式（i）,得

积分以后得

K=0

将式（f）代入式（j）,得

卩/2/6pg2

Jxy+

J-h/2\hzn

将K,H的值代入式（f）,得

6pg2丄4pg3（11\

。

严戸y+^y+6pg詁司y（k）

另一方面，梁右边的切应力*xy应当合成为反力pglh

注意梁截面的宽度取为一个单位，可见惯性矩是12,静矩是

.22

L丄

82。

根据材料力学应用截面法求横截面的内力，可求得梁任意截面上

M（x）=pgh—-—,F（x）=-pghx.

的弯矩方程和剪力方程分别为2。

式

（1）可以写成

X

zr\

M

pgy

pgR

-y

Q

3-10如题3-10图所示的悬臂梁，长度为b拓度为h,l»

h,在上边界受均布

523322

荷载q,试检验应力函数0=Ay"

+BxV+Cy'

+Dx+Exy能否成为此问题的解？

如可以，试求出应力分量。

TTTTTTT

fj

1AZ2.

1.

・IT

纟

V

fT

3-10图

解

（1）相容条件

将0=AyS+Bx2y3+Cy3+Dx2+Ex2y代入相容方程，得

120Ay+24By=0,若满足相容方程，有

A=--B

=20Ay3-30Ax2y+6Cy

矿写―血+2D+2Ey

ydxz

矿02

珂亠丽厂30Axy-2Ex

（3）考察边界条件;

主要边界y二土h/2上，应精确满足应力边界条件

（0y）_h=0,得一yAh3+2D+Eh=0

y=2

（勺）h=0,得晋A『+2D-Eh=-q

y=-2

/、152

（\x）h"

得EpA宀。

y=±

在次要边界上x=0上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理,边界条件代替

（d）

用三个积分的应力

（e）

罷叽刖。

，满足条件

（ay）x°

得学+C『

-h/2yx=0/

/h/2

联立求解式（a）,（b）,（c）,（d）和（e）,得

a

A—B———C——D———E——

51?

h310h'

4'

4h

将各系数代入应力分量表达式，得

y23x2>

Txy

3-12为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15）,而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？

如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15）,将会发生什么问题？

弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。

这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。

将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。

如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。

教材中式（2-13）,就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。

3-15试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？

弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。

简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，儿何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得岀的解答是比较精确的。

而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。

例如，材料力学中引用了平面假设而简化了儿何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。

所以，严格来说，不成立。

侧4・2图

求应力分量。

【解】

（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q、

P、&

0其中q的量纲为NL=与应力的量纲相同。

因此，各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而K是以卩表示的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现P,再由=—知，应力函数①应是卩的函数乘以可设

^=p2f（（p）

将式（a）代入双调和方程

夕*16十1夕、dp2+pdp+p2dcp1；

得丄［匚竽+4也f

/rLd（pd（p

d4f@）

cl（p4d（p

上式的通解为

j\（p}=Acos2（p+Bshy2<

p+C（p+D,

将上式代入式（a）,得应力函数为

①=p1（Acos2（p+Bsua2（p+C（p+D）o

（2）应力表达式为

1&

D1罗①

=1—；

=2（—Acos2°

—3sin2（p+Cp+D）,

pdpp・Bp

.—夕①

c.

dp1

16①1罗①

t贰=—；

=2Asin2©

—23cos2°

—Co

0d（ppdpd（p

（3）应力边界条件

（。

）十0,得_2B-C=0,

联立求解式（d）-（g）,得各系数

将系数代入（C）,得应力分量

应力函数表达式（a）中不出现这是因为f（0）中包含了&

角（在应用应力边界条件时，0=&

处（b®

）ga=0,（%a=0中体

现）。

4・3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基木方程，并证明

up=Ap+—=0可以满足此基本方程。

（1）设up=u/p）,%=0,代入几何方程，教材中式（4-2）

得形变分量

中，平衡方程为

式（C）中的第二式自然满足，第一式为

上式即为求作的基本方程。

⑵将…"

中『。

将代入式（d）,

很显然满足方程。

4-7实心圆盘在q=,•的周界上受有均布压力q的作用，试导出其解

答。

【解】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中式

（4-11）,即

厂b=—-+B（1+2Inp）+2C.

SO-=-—+B（3+21np）+2C（a）

TPQ=T9P

首先，在圆盘的周界（P=/■）上，有边界条件（bp）g=-q,由此得

—+B（l+2Ind+2C=-g,（b）

厂

其次，在圆盘的圆心，当QTO时式（a）中勺,（7。

的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。

按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。

），当0=0时，必须有

A=B=0o

把上述条件代入（b）式中，得

c=_%

所以，得应力的解答为

6=6=—今，j=o

①=Q2（Bsin20+C0）求解应力分量,如题4-9图所

不O

（1）相容条件：

将应力函数①代入相容方程Vp）=o,显然满足。

（2）由①求应力分量表达式

=-2Bsin2（p+2C（py

=23sin2（p+2C（p,

tg=-2Bcos20-C

（3）考虑边界条件：

注意本题有两个7而，即歼土彳，分别为*

面，在±

0而上，应力符号以正面正向、负面负向为正。

因此，有

（%）°

=±

%=0，得0=。

（%）厂±

%=-4得—-壬将各系数代入应力分量表达式，得

bp=qsin2（p.b”=-gsin2®

%=geos20

4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如题4-12图所示，试求其应力分量。

（1）应用应力函数①二/?

:

（Acos2^+Bsin2（p+C（p+D）,进行求

由应力函数①得应力分量

同式

得

2Acos0+2Bsin0+C0+2D=0;

2Asin0-2Bcos0-C=q\

（D

2Acos0-2Bsin°

-C©

+2D=0;

（g）

_2Asin0_2Bcos0_C=-q;

（h）

式（e）.⑴、（g）、（h）联立求解,得

A=—-—=C=0.D=cotcr2sina2

将以上各系数代入应力分量，得

cos2（p

=_q―—

Isina

sin20

=q

sina

4-14设有一刚体，具有半径为R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒，圆筒受内压力为q,试求圆筒的应力。

【解】本题为轴对称问题，故环向位移叫,=0,另外还要考虑位移的单值条件。

（1）应力分量

引用轴对称应力解答，教材中式（4-11）,取圆筒解答中的系数为A,B