概率论与数理统计第三章课后习题答案Word格式文档下载.docx
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1,0NV2}.
【解】
（1）由J；
J；
f（x,y）dxdy=f"
广Ae-（3x"
y）dxdy=£
=1
得A=12
（2）由定义，有
yx
F（x,y）二f（u,v）dudv
y0,x0,
其他
Vyy
0012e^u4v）dudv二（i—ejl-er
0,■0,
⑶P{0兰X<
1,0WY£
2}
二P{0：
X空1,0：
Y<
2}
12
12e〈x4y）dxdy=（1-e'
）（1-e‘）：
0.9499.
5.设随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x，y）
k（6-x-y）,0cx<
2,2cy<
4,
0,其他.
（1）确定常数k；
（2）求P{Xv1,Yv3};
（3）求P{X<
1.5};
（4）求P{X+Y<
4}.
（1）由性质有
:
:
24
!
」.J（x,y）dxdy=：
02k（6-x-y）dydx=8k=1,
_oO-oO
（2）P{X:
1,Y:
3}=13f（x,y）dydx
1313
二028k（Q-x-y）dydx=8
（3）P{X：
1.5}=f（x,y）dxdy如图a11f（x,y）dxdy
xg.5D[
1.54127
dx（6-x-y）dy二
02832
⑷P{X+Y兰4}=”f（x,y）dxdy如图bjjf（x,y）dxdy
X弁媲
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,
0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
峯y0,
fY（y）=F
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）
P{YN}.
yt
（1）因X在（0,0.2）上服从均匀分布，
所以X的密度函数为
所以
f（xyX）丫独立fxxUfYy（）
⑵P（丫兰X）=［ff（x,y）dxdy如图［［25e'
ydxdy
y童D
0.2X5y0.25x
dx°
25eydy（-5e5）dx
-1
=e:
0.3679.
7.
设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
求（X，Y）的联合分布密度.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）
4.8y（2—x）,0乞1,0岂y^x,
求边缘概率密度.
［解］fx（x）=（x,y）dy
0空x乞1,其他.
X.2
=°
4.8y（2—x）dy2.4x2（2—x）,
0,0,
-bo
f
fY（y）=
（x,y）dx
_y4.8y（2-x）dx2.4y（3-4yy2）,=y
0,-
题10图
fY（y）=,；
f（X,y）dX
y212
=-y4xydx
0,
11设随机变量（X，Y）的概率密度为
求条件概率密度fY!
X（yIx）,fx!
Y（x|y）.
题11图
［解］fx（x）=y）dy
-x
.f1dy=2x,0<
xv1,
—■_x
*1
JJdx=1+y,-1<
yc0,
「、：
；
I,1
fY（y）=Lf（x,y）dx=<
Jyldx=1—y,0Eyc1,
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1）求X与Y的联合概率分布；
（2）X与Y是否相互独立？
（1）X与Y的联合分布律如下表
11
C5=i0
22
C5=10
33
于10
10
3—
C510
3=
—10
P{Y*}
（2）因MW：
6才穿才唄=1一3｝，
故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为
Y'
"
X-
5
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布;
（1）X和Y的边缘分布如下表
P{Y=yi}
0.2
P{X=Xj}
0.42
0.38
（2）因P{X=2}LP{Y=0.4}=0.20.8=0.16=0.15=P（X=2,Y=0.4）,故X与Y不独立I
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在
（0,1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，
（3）
试求a有实根的概率.
题14图
（2）方程a22XaY=0有实根的条件是
•:
=（2X）-4Y_0
故
xT,
从而方程有实根的概率为:
/.F1』/2
-odxo2edy
=1一.牙[门⑴—G（0）]
=0.1445.
15.
设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数Fz（z）=P{Z^zHP{；
Xez}
（1）当zWO时，Fz（z）=0
（2）当0<
z<
1时，（这时当x=1000
时,y=罗）（如图a）
yz.“
Z103再血
“106「说严106
Fz（z）2Rxdy=.103dy1
y^xy
Z
_严「103106
=f1037一和丿
题15
（3）当z》l时，（这时当y=10时，x=10z）
（如图b）
106zy106
Fz（z）22dxdy二dy22dx
“xy1010xy
即
i_2~,zxi,
2z
fz（Z）=］；
0<
1,
左，心，
fz（z）={?
0czc1,
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160,202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N
（160,202），
从而
P{min（X1,X2,X3,X4）-180}Xj之间独立P{X^180}JP{X^180}
P{X3_180}LP{X4_180}
二[1_P{Xi:
180}][[1—P{X2:
180}]丄1—P{X3"
80}]」1-P{X4:
180}]
_4
4一“80-160）1
二[1-P{Xj：
180}]4=1-：
fI20丄
44
=[1-门
（1）]=（0.158）=0.00063.
17.设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分
别为
P{X=k}=p（k）,k=0,1,2,…，
P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
P{Z=i}=P（k）q（ik）,i=0,1,2,•••.
k-0
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，
{Z二i}二{XY二i}
={X=0,Y=i}U{X=1,Y=i-1}U…U{X=i,Y=0}
于是
ii
P{Z二i}二'
P{X二k,Y二i-k}X,Y相互独立P{X二k}l_P{Y二i-k}
k=0k=0
FP（k）q（i-k）
k=0
18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从
参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为0,1,2,…，
2n.
k
P{XY=k}二為P{X=i,Y=k—i}
iz0
=、P（X二i）L_P{Y二k-i}
k2n_k
pq
方法二：
设山,M2,•…|Jn；
M'
I,，…W均服
从两点分布（参数为P）,则
X=|+|+・・・+|,
Y=|/+•••■+?
X+Y=|+|+…•+|+|'
"
+'
+…+I
所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.
19.设随机变量（X,Y）的分布律为
Y氷、
012
0.01
0.07
0.09
0.02
0.06
0.08
0.04
（1）求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
（2）求V=max（X,Y）的分布律；
（3）求U=min（X,Y）的分布律；
（4）求W=X+Y的分布律.
（1）P{X=2|丫=2}=空目P{Y=2}
P{X二2,Y=2}
="
5-
'
P{X二i,Y=2}
i=0
P{X=0,Y=3}
~3
P{X=0,Y=j}
j=0
i」i
二'
P{X二i,丫二k}、P{X二k,Y=i},k=0k=0
i=0,1,2,3
所以V的分布律为
V=max（X,Y）
P
0.16
0.28
0.24
（3）P{U二i}二P{min（X,Y）=i}
=P{X=i,Y_i}P{Xi,Y=i}
35
八P{X二i,丫二k}'
P{X二k,丫二i}
k=tk=i1
i=0,1,2,
U=min（
X,Y）
0.25
0.17
（4）类似上述过程，有
W=
X+
Y
7
0.0
0.1
26394925
20.雷达的圆形屏幕半径为R设目标出现点（X,Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1）求P{Y>
0|Y>
X};
（2）设M=max{X,Y}，求P{M>
0}.
题20图
【解】因（X,Y）的联合概率密度为
f（X,y）二二n^2
p,
x2y^R2,
其他.
⑴P"
0|丫"
^^
..f（x,y）d二
yo
^x
..f（x,y）d-
nR1
d—2rdr_-/40R
_5
nRd
4d—2rdr
n4'
0n2
3/83
1/24
（2）P{M0}=P{max（X,Y）0}=1-P{max（X,Y）乞0}
J-P{X乞0,丫乞0}=1-f（x,y）d：
;
=1--=-.
石44
y^o
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X,Y）在区域D上服从均匀分布，求（X,Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
题21图
【解】区域D的面积为So=f」dx=lnx：
=2.（X,Y）
x
的联合密度函数为
121
1_x_e2，。
y,
f（x,y）==2x
0,其他.
（X，Y）关于X的边缘密度函数为
所以fx
（2）三.
22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余
数值填入表中的空白处.
X*
yi
y3
y2
P{X=Xi}=pi
Xi
X2
1/8
Pg}=
Pi
1/6
【解】因P{Y二yj}二Pj八P{X二心丫二yj},
i=1
故P{Y二％}=P{X二捲，丫二力}P{X沁2,丫二yd,从而P{X=捲，丫二力}二1_丄二丄.
6824
而X与Y独立，故P{X=Xj}LP{Y二yj}二P{X=心丫5,从而P{X=捲}1=P{X二知丫=力}=丄.
624
即:
P{X二x,}二丄/丄
2464
又
P{X=x,}=P{X，丫二y,}P{X二九丫“2}P{Xn^Ynys},
即7=7；
8P{XPY"
4248
从而P{XWY十}二.
同理P{X也}
111P{X=x2,Y=y3}=P{Y=y3}_P{X=x1,Y=y3}=；
-牙-.
3124
y1
P{X=x}=P
X1
—
24
12
P{Y=yj}=Pj
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为4?
>
0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<
p<
1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.
（1）P{Y=m|X=n}=Cmpm（1-p）njm,0-m-n,n=0,1,2‘||（.
（2）P{X二n,Y=m}=P{X=n}LP{Y=m|X二n}
=Cmpm（1-n,n^m乞n,n=0,1,2，….
n!
24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~［而Y的概率密度为f（y）,求随
卫.30.7/'
八
机变量U=X+Y的概率密度g（u）.
【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为
G（u）二P{XY^u}=0.3P{XYmu|X=1}0.7P{XY^u|X=2}
=0.3P{Y空u-1|X=1}0.7P{Y乞u-2|X=2}
由于X和Y独立，可见
G（u）=0.3P{YEu—1}0.7P{YEu—2}
=0.3F（u-1）0.7F（u-2）.
由此，得U的概率密度为
g（u）二G（u）=0.3F（u-1）0.7F（u-2）
=0.3f（u-1）0.7f（u-2）.
25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P{max{X,Y}w
1}.
解：
因为随即变量服从［0,3］上的均匀分布,于是有
0,x0,x3;
0乞y乞3,
y0,y3.
因为X，Y相互独立，所以
推得
f（x,y）二9
o.
0_x_3,0_y_3,
x：
0,y：
0,x3,y3.
P{max{X,Y}叮}壮.
9
26.设二维随机变量（X，丫）的概率分布为
a
b
c
其中
a,b,c为常数，且X
的数学期望
E（X）=
0.2,P{YW（X<
0}=0.5记Z=X+Y.求：
（1）
a,b,c的值；
Z的概率分布；
P{X=Z}.
解
（1）由概率分布的性质知，
a+b+c+0.6=1即
a+b+c=0.4.
由E（X）一0.2，可得
-ac--0.1.
再由
P{Y兰0X兰0}』X2Y"
}=a+b+0.1=0.5,P{X兰0}a+b+0.5，
彳得ab=0.3.
解以上关于a,b,c的三个方程得
a=0.2,b二0.1,c二0.1.
⑵Z的可能取值为2,1,0,1,2,
P{Z--2}=P{X--1,Y--1}=0.2,
P{Z--1}=P{X--1,Y=0}P{X=0,Y--1}-0.1,
P{Z=0}二P{X=-1,Y=1}P{X=0,Y=0}P{X=1,Y二-1}=0.3,
P{Z=1}二P{X=1,Y=0}P{X=0,Y=1}=0.3,
P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=0.1,
即Z的概率分布为
0.3
⑶
P{X=Z}=P{Y=0}=0.1b0.2=0.10.10.2=0.4.
习题四
1.设随机变量X的分布律为
1/2
1/4
求E（X）,E（X2）,E（2X+3）.
【解】⑴e（x）十180i182X;
2212121215
E（X）=（-1）-0-1-2;
82844
E（2X3）=2E（X）3=2_3=4
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则
X的分布律为
C
屮=0.583
C100
C10C90-0.340
COC9。
—0.070
C0C90—0.007
C10C90c
C5一0
C00-0
故E（X）=0.58300.34010.07020.
=0.501,
=（0—0.501）20.583（1一0.501）20.340||（（5一0.501）20=0.432.
3.设随机变量X的分布律为
pi
P3
P2
且已知E（X）=0.1,E（X2）=0.9,求Pi,P2,
P3.
【解】因RP2P3=1①,
又E（X）=（—1）R+0LP2+1LP3=F3—P=0.1②,
E（X2）=（-1）2Lp02_P212_巳=PP3=0.9③
由①②③联立解得P^0.4,P2=0.1,P3=0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，贝V
N
P（A）全概率公式7P{A|X二k}LP{X二k}
k=0
Nk1N
P{X二k}kP{X二k}
k卫NNk-0
x）Y
5.设随机变量X的概率密度为
x,0—x:
1,
f（X）=2—x,1沁乞2,
.0,其他.
求E（X）,D（X）.
[解]
-be122
E（X）xf（x）dx=0xdx亠ix（2-x）dx
221322
E（X）二xf（x）dxxdx亠ix（2-x）dx
0-1
故D（X）二E（X2）—[E（X）]2冷
6.设随机变量X,Y,Z相互独立，且E（X）=5,E（Y）=11,E（Z）=8，求下列随机变量的数学
期望•
[解
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