二次函数基础讲义docxWord文件下载.docx
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y=ax2
当a＞0吋开口向上当aV0时开口向下
x=0（y轴）
（0,0）
y=ax^+k
（0,k）
y=a{x-ltf
x=h
0,0）
y=a（x-/?
）2+k
（h,k）
y=ax2+hx+c
h
x=
2a
（b4ac-b2）2a'
4a
1.抛物线=ax2+加+c中的系数a,b,c
（1）Q决定开口方向：
几个不同的二次函数，如果二次项系数g相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当。
＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
当。
＜0吋，抛物线开口向下，顶点为其最高点.
（2）b和。
共同决定抛物线对称轴的位置：
当b=0时，对称轴为y轴；
当°
、
b同号吋，对称轴在y轴左侧；
当a、b异号时，对称轴在y轴右侧.
（3）c决定抛物线与y轴交点位置：
当c=0时，抛物线经过原点；
当c〉0时,
相交于y轴的正半轴；
当c<
0吋,则相交于y轴的负半轴.
2.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：
y=加+c=°
L+_L[+4dc—庆,顶点是（丄,4心"
）,
I2d丿4a2a4a
对称轴是直线X=~—・
（2）配方法：
运用配方的方法，将抛物线y=ax2^bx^c的解析式化为
y=a（x-h）2^k的形式，得到顶点为（h,k）,对称轴是宜线x=h•其中
“丄，“如土.
2a4a
（3）运用抛物线的对称性：
抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点・・
3.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：
y=ax2+bx-\-c.B知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择一
般式.
（2）顶点式：
y=a（x-l^^k.L1知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）两点式：
已知图像与x轴的交点坐标坷、x2,通常选用交点式:
y=a（x-x,X兀—兀2）・
4.抛物线与兀轴的交点
设二次函数y=ax2+bx+c的图像与兀轴的两个交点的横坐标州、x2,是对
应一元二次方程ax2-^bx+c=0的两个实数根•抛物线与兀轴的交点情况可以由
对应的一元二次方程的根的判别式来判定：
（1）b2-4ac>
0o抛物线与兀轴有两个交点；
（2）h2-4ac=0o抛物线与兀轴冇一个交点（顶点在兀轴上）;
（3）b2-4ac<
0o抛物线与x轴没有交点.
典型例题y=ax2+bx+c的性质
例1.已知二次函数y=kx2-lx-1与x轴有交点，则1＜的取值范围是
例2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则直线y=ax+be的图象不经过第
例3.二次函数y=ax2^-bx+c的图象如图，试判断a、b、c和A的符号。
巩固练习
4•二次函数y=ax2^bx+c的图象如图，下列结论（l）cVO；
（2）b>
0；
（3）4a+2b+c>
（4）（a+c）2<
0,其屮正确的是：
（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.
二次函数ym'
+bx+c的图象如图，那么obc、2a+b、a+b卜c、a-b+c这四个代数式屮，值为正数的有（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.己知直线）处+b的图象经过笫一、二、三象限，那么y=ax2+bx+1的图象为（）
7.
A.x<
1
x的取值范围是（
-x-4,当函数值y随x的增大而减小时,
B.x>
l
C.x>
—2
D.-2<
x<
4
典型例题——函数图象综合
1、（2011ill东德州6,3分）已知函数y=（x-a）（x-b）（其中a>
b）的图象如下面图所
示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是
3、（2011山东聊城，9,3分）下列四个函数图象中，当x〈0吋，函数值y随自变量x的增
大而减小的是（）
典型例题^答题
例1张大爷要围成i个矩形花1甫|.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.
（2）当x为何值时,S有最大值?
并求出最大值.
（1）求S与xZ间的函数关系式（不要求写出白变量x的取值范围）.
A
花圃
B
1、用一个长为6分米的铁比丝做成一个一条边长为x分米的矩形，设矩形面积是y平方分
米，求①y关于x的函数关系式②当边长为多少时这个矩表面积最大?
2、.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）己知砖墙在地面上占地总长度160m,问分隔墙在地面上的长度x为多少小时所围场地总面积授大？
并求这个授大面积。
典型例题y=ax2+bx+c的最值
例1：
心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x（单位：
分）之间大体满足函数关系式：
y=-0.2+2.6兀+43（0WxW30）。
y的值越大，表示接受能力越强。
试根据关系式回答：
（1）若提出概念用10分钟，学牛的接受能力是多少？
（2）概念提出多少时间时？
学牛•的接受能力达到最强？
例2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池屮央垂頁于水面安装一个尼形柱T0A,°
恰在水血中心，安宜在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状和同的抛物线路径落下，口在过0A的任一平而上，抛物线形状如图
（1）所示。
图
（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）Z间的关系是y=+#。
请回答下列问题:
（1）柱子0A的高度是多少米?
（2）
喷出的水流距水平血的最大高度是多少米?
（2008-巴中中考）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，克飞行路线满足抛物线y=-l?
+-x,K中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
・55•
球洞的水平距离述有2m.
（1）请耳出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴•
（2）请求出球飞行的最人水平距离.
（3）若土强再一次从此处击球，要想止球飞行的最人高度不变且球刚好进洞，则球飞
行路线应满足怎样的抛物线，求出英解析式.
P（m）
典型例题——函数解析式的求法⑴
1.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：
（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有儿米？
（粹确到0.01米）
2.根据下列条件求抛物线的解析式：
（1）图象过点（-1,-6）、（1,-2）和（2,3）；
（2）图象的顶点坐标为（-1,-1）,且与y轴交点的纵坐标为-3；
（3）图彖过点（1,-5）,对称轴是直线x=l,H图象与x轴的两个交点之间的距离为4。
作业
一、1•下列关系式中，属于二次函数的是仪为自变量）（）
B.八庐71C”？
D.严兴
2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是（）
A.（1,-4）2）C.（1,2）D.（0,3）
3・抛物线y=2（x・3）2的顶点在（）
A.第一象限B.第二象限C.x轴上D・y轴上
y=-—4
4.抛物线*的对称轴是（）
A.x=-2B.x=2C.x=-4D・x=4
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（
y
A>
ab>
（）,c>
0ab>
0,c<
0C・abvO,c>
D.ab<
6•二次函数y=ax?
+bx+c的图象如图所示,
（）
A・一B•二C・三D・四
7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的图象的顶点P
的横坐标是4,图象交x轴于点A（m,0）和点B,且m>
4,那么
AB的长是（）
A.4+mm
&
若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（）
9.已知抛物线和直线？
在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-l,Pi（xi，y）P2（x2,y2）是抛物线上的点,Psgy3）是直线/上的点,且-l<
xi<
x2,x3<
-l,则刃，y2,y3的大小关系是（）A・yivy2<
y3B.y2<
y3<
yiC.y3<
yi<
y2D.y2<
y310•把抛物线八的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）
人丿=-2（定-D*+6by=-2（x—I）3-6
C尸=—+6°
才=力—6
11.二次函数y=x2-2x+l的对称轴方程是・
12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=（x-h）2+k的形式，则y=・
13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为.
14.抛物线y=x2+bx+c,经过A（・l,0）,B（3,0）两点，则这条抛物线的解析
式为.
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