北师大版九年级数学下册练习24 二次函数的应用Word文档下载推荐.docx
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C.64m2
D.66m2
7.某农场拟建三间长方形养牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）.已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形养牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.
8.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2.
9.如图，有两面夹角为45°
的墙体（∠ABC＝45°
），且墙AB＝3
m，墙BC＝10m，小张利用8m长的篱笆围成一个四边形菜园，如图，四边形BDEF，DE∥BC，∠E＝90°
（靠墙部分不使用篱笆），设EF＝xm，四边形BDEF的面积为Sm2.
（1）用含x的代数式表示BD，DE的长；
（2）求出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）求S的最大值.
（1）过点D作DG⊥BC于点G.
∵DE∥BC，∠E＝90°
，∴∠EFG＝90°
.
∴四边形DEFG是矩形.
∴DG＝EF＝x，
∵∠ABC＝45°
，∴BG＝x，BD＝
x.
则DE＝8－x.
（2）S＝
＝－
x2＋8x，
∵
x≤3
，
∴0＜x≤3.
（3）∵S＝－
x2＋8x＝－
（x－8）2＋32.
当x＜8时，S随x的增大而增大，
∵0＜x≤3，
∴当x＝3时，S取得最大值，最大值为
10.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm.
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
（1）∵AB＝xm，则BC＝（28－x）m，
∴x（28－x）＝192.
解得x1＝12，x2＝16.
答：
x的值为12或16.
（2）由题意，得S＝x（28－x）＝－x2＋28x＝－（x－14）2＋196.
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∴
解得6≤x≤13.
∴当x＝13时，S取最大值为S＝－（13－14）2＋196＝195.
花园面积S的最大值为195m2.
易错点 求实际问题中的二次函数最值未考虑取值范围
11.用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，那么a的值不可能为（D）
A.20B.40
C.100D.120
类型3 利用二次函数解决动态几何面积的最值问题
12.如图，在△ABC中，∠B＝90°
，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合）.动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过3s，△PBQ的面积最大.
综合题
13.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？
最大值是多少？
（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍.∴AE＝2BE.设BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋2x＝80.∴a＝－
x＋10.
∴3a＝－
x＋30.
∴y＝（－
x＋30）x＝－
x2＋30x.
∵a＝－
x＋10＞0，∴x＜40.
则y＝－
x2＋30x（0＜x＜40）.
（2）∵y＝－
x2＋30x＝－
（x－20）2＋300（0＜x＜40），且二次项系数为－
＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米.
第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
类型1 拱桥（隧道）问题
1.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－
（x－80）2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且AC⊥x轴.若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（B）
A.16
米B.
米C.16
米D.
米
2.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线.以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－
（x－6）2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－
（x＋6）2＋4.
3.（2019·
绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加（4
－4）m.
类型2 其他建筑物问题
4.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：
米）的一部分，则水喷出的最大高度是（A）
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
5.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是3m.
6.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点与地面的距离为0.5米.
7.（2019·
德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在水池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
（2）求出水柱的最大高度为多少？
（1）如图所示：
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋h，
代入（0，2）和（3，0），得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－
（x－1）2＋
即y＝－
x2＋
x＋2（0≤x≤3）.
（0≤x≤3），
∴当x＝1时，y最大＝
水柱的最大高度为
m.
类型3 物体运动类问题
8.标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度h（单位：
m）与标枪被掷出后经过的时间t（单位：
s）之间的关系如下表：
t
1
2
3
4
5
6
7
…
h
8
14
18
20
下列结论：
①标枪距离地面的最大高度大于20m；
②标枪飞行路线的对称轴是直线t＝
；
③标枪被掷出9s时落地；
④标枪被掷出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确的结论有（C）
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.（2019·
滨州）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：
m）与飞行时间x（单位：
s）之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？
最大高度是多少？
（1）当y＝15时，15＝－5x2＋20x，
解得x1＝1，x2＝3.
在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s.
（2）当y＝0时，0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4，
∵4－0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s.
（3）y＝－5x2＋20x＝－5（x－2）2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20.
在飞行过程中，第2s时小球飞行高度最大，最大高度是20m.
10.（教材P48习题T3变式）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－
x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为
（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（1）由题意得：
点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，
），代入表达式，得
∴该抛物线的函数表达式为y＝－
x2＋2x＋4.
∵y＝－
x2＋2x＋4＝－
（x－6）2＋10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10m.
（2）抛物线的对称轴为直线x＝6，汽车宽4m，
当x＝6＋4＝10时，y＝－
×
102＋2×
10＋4＝
>
6，
∴这辆货车能安全通过.
（3）当y＝8时，－
x2＋2x＋4＝8，
即x2－12x＋24＝0，
解得x1＝6＋2
，x2＝6－2
∴两排灯的水平距离的最小值为6＋2
－（6－2
）＝4
（m）.
第3课时 利用二次函数解决利润问题
类型1 简单销售问题中的最大利润
1.某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是（D）
A.y＝x2＋aB.y＝a（x－1）2
C.y＝a（1－x）2D.y＝a（1＋x）2
2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元，可卖出（350－10x）件商品，则商品所获利润y元与售价x元之间的函数关系为（B）
A.y＝－10x2－560x＋7350
B.y＝－10x2＋560x－7350
C.y＝－10x2＋350x
D.y＝－10x2＋350x－7350
3.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是（C）
A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月
C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月
4.我市某镇的一种特产由于运输原因，只能长期在当地销售.当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：
每投入x万元，可获得利润P＝－
（x－60）2＋41（万元）.每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是205万元.
5.某种商品每件进价为20元，调查表明：
在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为25元.
类型2 每……每……问题
6.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数表达式为（A）
A.y＝－10x2＋100x＋2000
B.y＝10x2＋100x＋2000
C.y＝－10x2＋200x
D.y＝－10x2－100x＋2000
7.一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（B）
A.3.6元B.5元
C.10元D.12元
8.某水果店销售一批水果，每箱进价为40元，售价为60元，每天可卖50箱，则一天的销售利润为1__000元.由于积压时间不能太长，所以该店决定降价售出，若每降价5元，则每天可多售出10箱.若现在售价为x元（40＜x＜60），则现在每天可多卖出（120－2x）箱，每天共卖出（170－2x）箱，每箱的利润为（x－40）元，即每天的总利润为（x－40）（170－2x）元.
9.（教材P50习题T2变式）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多.
10.（2019·
衡阳）一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少？
（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
将（10，30），（16，24）代入，得
∴y与x的函数关系式为y＝－x＋40（10≤x≤16）.
（2）根据题意知，W＝（x－10）y
＝（x－10）（－x＋40）
＝－x2＋50x－400
＝－（x－25）2＋225.
∵a＝－1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144.
当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元.
11.（2019·
安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；
每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：
元）.
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50＋x）盆，花卉[100－（50＋x）]＝（50－x）盆，由题意，得
W1＝（50＋x）（160－2x）＝－2x2＋60x＋8000，
W2＝19（50－x）＝－19x＋950.
（2）W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8000＋（－19x＋950）＝－2x2＋41x＋8950.
∵－2＜0，－
＝10.25，x为整数，
∴当x＝10时，W最大，
W最大＝－2×
102＋41×
10＋8950＝9160（元）.
12.某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1所示（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数表达式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示.
（1）求y2的表达式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？
（1）由题意可得，函数y2的图象经过两点（3，6），（7，7），
∴y2的表达式为y2＝
x2－x＋
（1≤x≤12）.
（2）设y1＝kx＋b.
∵函数y1的图象过（4，11），（8，10）两点，
∴y1的表达式为y1＝－
x＋12（1≤x≤12）.
设这种水果每千克所获得的利润为w元.
则w＝y1－y2
＝（－
x＋12）－（
）
x＋
∴w＝－
（x－3）2＋
∴当x＝3时，w取最大值
第3月销售这种水果，每千克所获得的利润最大，最大利润是
元/千克.
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