数学分析定义定理推理一览表.docx
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数学分析定义定理推理一览表
定义1给定两个非负实数
^ao.a1.a2n∣aj∣∣,y=b∙b∙bllnb∣
其中a0,b0为非负整数，ak,bkk=1,2,∣）∣为整数，若有
OEak乞9,0Ebk乞9.
则称X与y相等，记为X=y.
若a0■b0或存在非负实数丨,使得
ak=bkk=0,1,2,∣l（l而a∣1■b∣1,
则称X大于y或y小于X,分别记为X∙y或y：
：
：
x.
定义2
设X=a0.a1a2∣∣（an川为非负实数.称有理数
X=a°.a1a2∣l（an
为实数X的n位不足近似，而有理数
1
称为X的n位过剩近似，n=0,1,2,11（.
实数的一些主要性质
1.实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数.
2.实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系
之一：
ab,a=b,a：
：
b.
3实数的大小关系具有传递性，即若ab,bc,则有ac.
4.实数具有阿基米德性，即对任何abR,若b>a>0,则存在正整数
n，使得na>b.
5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.
6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着对应关系.
定义3
aa>0
实数a的绝对值定义为a=《a,a一0,
[-a,a£0.
从数轴上看，数a的绝对值a就是a到原点的距离
绝对值得一些性质
1.a∣=|—a∣≥0;当且仅当a=0时有a=0.
2.—a≤a≤a
3.a∣ch=-hcach;a∣兰hu—h≤a≤h（h>0）.
4.对于任何a、b∙R∙有如下三角形不等式：
a—b≤∣a±b≤∣a+∣b.
定义4
区间和邻域
定义5有界的定义
设S为R中的一个数集•若存在M（L）,使得对一切x∙S,都
有X乞M（X_L）,则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）•
简记：
SQR,EM>ORxESn∣x≤M,称S有界•
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集•若S不是有界集,则称为无界集•
定义6确界的定义
1设SR.若数满足：
iX三S,有X-,即是S的上界；
ii-「：
：
：
，-X0∙S,使得x0八J即又是S的最小上界，
则称为数集S的上确界，记作
=SUPS.
2.设SR.若数■满足：
i-xS,有X_■,即■是S的下界;
ii-一：
∙,Xo∙S,使得Xo:
:
：
二即•又是S的最大下界，
则称•为数集S的下确界，记作
=infS
定理1
设数集S有上确界•
i）=SUPSS==maxS.
ii）=infSS==minS.
定理一确界原理
设S为非空数集•若S有上界，则必有上确界；
若S有下界，则S必有下确界•
定理2
设AB为非空数集，满足：
对一切XA和y∙B有x_y・数集A有上确界，数集B有下确界，且SUPAminfB・推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）
函数的概念
定义1
给定两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个X,都有唯一的一个数yM与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:
D>M,
Xy.
数集D称为函数f的定义域，X所对应的数y,称为f在点X的函数值,常记为f（X）.全体函数值的集合f（D）Jy∣y=f（x）,x∙D“M）称为函数f的值域.
函数的四则运算
给定两个函数f,x∙D1和g,x∙D2,记D=DInD2,并设D
定义f与g在D上的和、差、积运算如下：
F（x）=f（x）g（x）,xD,
G（X）=f（χ）-g（χ）,χD,
H（X）=f（x）g（x）,xD.
若在D中剔除g（x）=O的X值，即令
D=DIrhXlg（X）=0,xD25I,
则除法如下
L（X）^f（X）/g（x）,xD*.
初等函数
常量函数科=C（C为常数）；幕函数y=x>（>为实数）；
指数函数y=ax（a0,a-1）;
对数函数y=logax（a∙0,a=1）;
三角函数y=sinX,y=cosx,y=tanx,y=cotx;
反三角函数
y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.
定义2
给定实数a∙0,a=1设X为我们规定
SUPLar|r为有理数｝,当a∙1时,
ar|r为有理数｝,当0：
：
a：
：
：
1时.
几个重要的等式（不等式）
1.SinX
SinX
2•由4n
n（n-1）
n
n
n
2n-1
3.1n
2n2n
4.算术平均数
5.几何平均数
a
6.调和平均数
a∣
a∣
1
n
11
a1a2
7.nn1
n
1
1
数列极限
定义1
n
a2a1a2I
an
竺当a^Ha
吕
an时，“=”
成立
设Ean护数列，a为定数.若对任给的正数関总存在正整数N,使得当n^^时有则称数列斗葩攵敛于a,定数a称为数列Rn｝的极限，并记作Im^nPa,或anda（n若数列BnD殳有极限，则称
定义1'任给s!
>0，若在UlE^l之外数列Faj-中的项至多只有有限个,则称数列KaI收敛于极限a.
定义2若Iiman=0,则称Iarl为无穷小数列.
定理2.1数列Ran0收敛于a的充要条件是：
Ran-a｝为无穷小数列.
收敛数列的性质
定义1设i.an'为数列，Inkf为正整数集N+的无限子集，且n1：
：
：
n2:
：
：
|1|:
：
：
入：
：
：
|）|,则数列θn1,an2JILankJ11称为数列Ianf的一个子列，简记为：
an*平凡子列：
数列订」本身以及去掉有限项后得到的子列•非平凡子列：
不是平凡子列的子列.
数列^an［与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列⅛n?
收敛的充要条件是：
IanI的任何非平凡子列都收敛•定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理三（柯西CaUCh收敛准则）数列0?
收敛的充要条件是:
对任给的a0,存在正整数N，使得当n,m>N时有a1-am*j
函数极限
定义
1设f为定义在a上的函数，a为定数•若对人给的；0,存在正数M（Aa,使得当XAM时有f（x）-A]"则称函数
f当X趋于时以A为极限，记作IimfX=A或fx：
—；Ax—；.
X-Ji-Xl
2设函数f在点X）的某个空心邻域J。
X0S内有定义，A为定数若对任给的；0,存在正数（Vj），使得当0<：
XOl:
｛时有f（x）_A|"则称函数f当X趋于X0时以A为极限，记作
IimfX=A或fXrAx—X0.
XX
3设函数f在U。
x0p'）（或U_（x0p'）内有定义，A为定数.
若对任给的；•0,存在正数（<），使得当X^Xo
（或X0-6CXCX0时有f（x）-A^名,则称数A为函数f当X趋于
X0或X7的右（左）极限，记作IimfX=AIimfX=A
^XoV^XrJ
或fXAx—XOfXLAx—Xf.
右极限与左极限统称为单侧极限
f在点X0的右（左）极限记为（x0+0）=Iiqf（X）〕f（x0-0）=Iimf（X）
定理3.1Iimf（X）=A=IimJ（X）=Iimf（x）=A
函数极限的性质
无穷小量阶的比较（定义见下页末）
1若XimDgfp则称当Xf时f为g的高阶无穷小量
记作fX=OgXx—Xo•
2.若存在正数K和L,使得在某UoX0上有K<
则称f与g为当X—X0时的同阶无穷小量•特别的当
IimfX=C=O时，f与g必为同阶无穷小量.
XS（OgX
3若IimfX=1,则称f与g为当x—X0时的等价无穷小量•X）XOgX
记作fX~gXx-∙Xo.
函数极限存在的条件
定理3.8（归结原则Or海涅定理）设f在UoX0;:
'内有定义.limfX存在的充要条件是：
对任何含
Xjχo
于uoX0]'且以X0为极限的数列IxJ,极限limfXn都存在且相等
简述：
limfX=Au对任何Xnrx0（,）有limfXn=A.
^^0#JXo
设函数f在点χ0的某空心右邻域ULiX0有定义.IimJ（X]=A的
^⅛x0*^
定理3.9充要条件是：
对任何以x0为极限的递减数列H幽U働XOR
定理3.10设f为定义在U聯O）上的单调有界函数，贝U右极限Iim丄圖X）存在.定理3.11（柯西CaUChy准则）
设函数f在Uox0;、；’内有定义.limfX存在的充要条件是：
任给；.0,
XJXD
存在正数輕二,使得对任何x',x'UoX0;:
有fx'-fx"IV.
"设函数f在Uog0;F内有定义.limf*）不存在的充要条件是：
存在L>0,对任意正数总可找到x',xpUo[x0;包）使得層'斗wx'‰l0."
两个重要极限
lim
X>0
SinX
X
lim
X-:
:
Zl1
1-
IX丿
设f在某Uo（x0内有定义，若limf（x）=0,
无穷小量：
f
则称f为当XTX0时的无穷小量.
有界量：
若函数g在某UoX0内有界，则称g为当X—x0时的有界量
无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.
无穷小量与有界量的积为无穷小量
常见的几个等价无穷小量
X
1.e-1~XX，0
2.1X-1〜IXX、0
2
X
3.1-CoSXX、0
2
自赖性：
α（X）~。
（X）（X
TX。
）
对称性：
G（X）~B（X）=
0（X）~α（X）（χτX0）
传递性：
C（（X）~P（X）,
P（X）~了（X）=C（（X）~了（X）（χτX0）
定理3.12（等价无穷小量在极限问题中的作用）
设函数f,g,h在UoX0内有定义，且有
fX~gXX）Xo.
⑴若IimfXhX=A,则IimgXhX=A;
XTXoIXo
ii若Iim
XTXo
则Iim
X>×o
无穷大量
设函数f在某UoX0内有定义.若对任给的G■0,存在、：
•0,使得当X∙Uox0"I二Uox0j时有fXj-G,则称函数f当Xrx0时有非常极限：
：
，记作IimfX-：
：
.
‰^X）*F
对于自变量X趋于某种趋向或-,时，所有以，+：
：
或:
为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.
定理3.13
（i）设f在UoX0内有定义且不等于0.若f为X—x0
1
时的无穷小量，则为X>X0时的无穷大量.
函数的连续
函数在点的连续
1.设函数f在某UoXo内有定义.若IimfX=fx0,
J⅛x0
则称f在点X0连续；也可表述为：
若对任给的；0,存在6>0,使得当∣X-Xo∣Cδ时有f（X）—f（X0jy,则称f在点X0连续.
2.设函数f在某UoX0UoX0内有定义.若
（）
lim*f（X）=f（x^Iimf（x）=f（冷），
Ix0IXTxerJ
则称f在点X0右（左）连续.
定理4.1
函数f在点X0连续的充要条件是：
f在点X0即是右连续，又是左连续.
间断点及其分类
3.设函数f在某UoX0内有定义.若f在点X0无定义，
或f在点X0有定义不连续，则称X0为函数f的间断点或不连续点.
4.可去间断点
5.跳跃间断点
若IimfX=A,f在点X0无定义，或有定义XrX0
但fX。
=A,则称X0为函数f的可去间断点.
若函数f在点X0的左右极限都存在，但
IimfXpIimfX，则称x0为函数f的
X」x0X>x0
跳跃间断点.
6以上两种间断点统称为第一类间断点，其他所有形式的间断点统称为第二类间断点.
区间上的连续函数
若函数f在区间I上的每一点都连续，则称f为I上的连续函数。
对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上的连续是指左连续或右连续•
若函数f在区间∣a,b］上仅有有限个第一类间断点，则称f在la,b1上分段连续•
连续函数的性质
定理4.2（局部有界性）若函数f在点X0连续，则f在某Ux0内有界.若函数f在点X0连续，且f（x0）>O（或£0）,则定理4.（局部保号性）对任何正数^f（X^X或r£-f（Xo））,存在某
U（XO））使得对一切XEU（XOJ有f（x）>r（f（x）<-r）.定理4.（四则运算）两个函数连续，则他们加减乘除之后依旧连续.
定理4.5若函数f在点Xo连续，g在点Uo连续，Uo=fXo,则复合函数g0f在点X0连续.
设f为定义在数集D上的函数.若存在X0ED,使得对一定义1.切χ^D,有f（X0戶f（xχf（x0戶f（x）），则称f在D上
有最大（最小值），并称f（x0为f在D上有最大（最小值）.
定理4.6最大、最小值定理
若函数f在闭区间la,b］上连续，则
，称f在la,b］上有最大值与最小值.
推论（有界性定理門数f在驚肛］上连续，则
f在［a,b］上有界.
设函数f在闭区间∣.a,b1上连续，且farfb,
定理4.7介值性定理
若」为介于fa与fb之间的任何实数
fa：
：
：
・「：
：
fb或fa^fb,则至少
存在一点χ0∙a,b,使得fx0=*
设函数f在闭区间la,b】上连续，且f（a）与f（b）异号,
推论（根的存在定理〕则至少存在一点x0^（a,b）,使得f（x0）=0，即方程
f（x）=0在（a,b内至少有一个根.
若函数f在闭区间［a,b］上严格单调并连续,
定理4.8则反函数f」在其定义域一f（a）,f（b或
［f（b）f（a）J上连续.
定义2.一致连续
设函数f为定义在I上的函数.若对任给的；•0,
存在5=社（名）>0,使得对任何X,x=I,只要X-X<δ,就
有fX-fx''：
：
：
；,则称函数f在区间I上一致连续.
定理三一致连续性定理
若函数f在闭区间la,b1上连续,则f在∣a,b上一致连续.
初等函数的连续性
定理4.10设a>0,α*为任意实数，则有==
定理4.11指数函数axa0在R上是连续的.
定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.
定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.
导数和微分
设函数y=f（x）⅛点x0的某邻域内有定义，若极限
定义1导数：
Iim存在，则称函数f在点x0处可导，
Ix>X-X0
并称该极限为函数f在点X0处的导数，记作f'（x0）.
设fX在点Xo可导，那么；=—^-fXo是当
Z
有限增量公式:
X—0时的无穷小量，于是；-x=oX,即
今=fX0二X∙Olx.该式即为有限增量公式
定理5.1若函数f在点x0可导，则f在点X0连续.
定义2单侧导数
设函数y=fX在点X0的某右邻域∣χ0,χ0亠3］上有定义，若右极限Iim卫=Iimf&"XAOm、.存在
⅛→o+Z
则称该极限值为f在点X0的右导数，记作f'X0.
类似的可定义左导数
Iim^=limf沧八fxoO—:
.
-J0_.；：
X.J0_.:
X
左导数和右导数统称为单侧导数•
若函数y=f（X）在点X0的某右邻域上有定义，则
定理5.2f（χ0）存在的充要条件是fx0）和L（x0J都存在，
且仃X。
）=f_（X°）•
导函数
若函数在区间I上每一点都可导对区间端点，仅考虑单侧极限，
则称f为I上的可导函数。
此时对每一个χ∙I,都有f的一个导数
f'X或单侧导数与之对应.称f在I上的导函数，也简称为导数.
记作f',y',或dy，即dy=IimLAX•I.
导数的几何意义
fX在点X=X0的切线斜率k,正是割线斜率在X—X0时的极限，
JA由导数的定义，k=f'X,所以曲线y=fX
dXdX艮0也X
即k=Iim
XTX）X-X0
在点x0,y0的切线方程是y-y0=f'x0χ-χ0.这就是说：
函数f在点X0的导数f'χ0是曲线y=fX在点χ0,y0处的切线斜率.
若函数f在点X0的某邻域UX0内对一切XUX0有
定义3
fX0-fXfX0定理5.3（费马定理1
设函数f在点X0的某邻域内定义，且在点X0可导.
若点x0为f的极值点，贝y必有f'x0=o.
满足方程f'XOi=O的稳定点驻点.取得极值的点是驻点或不可导点，但驻点不一定是极值点.
若函数f在la,b］上可导，且fja严f］（b）,k为
宀钿、十左介于f+（a）,f'（bJ之间任一实数，则至少存在
疋理5.4（达布DarboUX1」厂，
点EE（a,bJ使得f（匕）=k.
又称导函数的介值定理.
求导法则
［卜［四则运算
若函数UX和：
X在点X0可导，则函数fX=UXV-I：
X在点X0也可导，且
III
f（XO）=U（Xo）±U（Xo）.
若函数U（X）和u（X）在点（X0）可导，则函数f（X）=U（X）巩X）在点（X0）也可导，且f'（X。
产U（XO户（X。
）+u（X°0（X0）.
若函数UX在点X0可导，C为常数,
I
I
CUX0=CUX0.
定理5.5
定理5.6
推理
定理5.7
若函数UX和：
X在点X0可导，且：
X=O,
则函数fXI=UJX在点X0也可导，且
、Ud（X。
）-U（XO）U（Xq）
τx0—2.
（U（X））
反函数的导数
定理5.8
设y=fX为X=y的反函数，若Y在点y0的某邻域内连续，严格单调且：
:
’y0-0,则fX在点x0
XO=：
yo可导，且f'Xo二一1
yo
复合函数的导数
f（X）在点x0可导的充要条件是：
在x0的某邻域U（XO内,引理J存在一个在点X0连续的函数H（X）使得
f（^f（XO尸H（X）（X—X0）从而f'（X3）=H（X0）.
设U=W（X）在点X0可导，y=f（U在点U0=护（x0可导，定理5.8则复合函数H申在点XD可导，且
[_（f0φ）（Xo）=f'（Uo）°（Xo）=f'（φ（Xo）P（Xo）•
基本求导法则
1.uv=UV
2.UV=UVUV,CU=CU
3.U
V
!
!
'
uv-uvi‘1Xll
—丨=
V
4反函数导数dy=丄.
dxdx
dU
dx
dy
5复合函数导数dy=∙dy
dxdU
基本初等函数导数公式
1.（C）=O——2.（x°）"χQ—
3.（sinX）=cosx,（cosx）=—sinx,tanx=SeCx,cotx=-csc2x,
SeCXi=SeCXtanx,cscx=-CSCXCOtX
1'1
5.ax=axlna,ex=ex,logax,lnx,
xlnaX
1C
x0I
（InX）=＜：
=-•
1CX
X,x0
1'—1
6.arcsinx,arccosx,
≠-X2^-X2
arctanx=
1+x
1'_1
2,arccotX厂
1+x
参变量函数的导数
平面曲线C一般的表达形式是
、∖χ=^（t∖
参变量方程，〉_t_:
表示.
[T（t）'J
设t=t0对应曲线C上的点P.
如果在点P有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设在点to可导，
且Xt0=0.若t0It对应C上的点Q（右图），割线PQ的斜率
卫=」t乞，于是曲线C在点P的切线斜率是
XtortLpto
Y（to+∆t）-屮（to）'
t疔l∙3蚂∆tψ（to）
itmoτr;;to—to=P
.tot
若，■在匕，门上都存在连续的导函数，且'2=O,
这时称C为光滑曲线•
高阶导数
定义略
微分
定义1
设函数y=fX定义在点x0的邻域UX0内•当给X0一个增量.x,x0∙Aχ∙UX0时，相应地得到函数的增量为
Cy=fX0亠；X-fX0•如果存在常数A，使得Cy能表示成y=AXo[X,则称函数f在点X0可微，并称A∙>x为f在点X0的微分，记作dyχzxθ=AAx或df（x）X=XO=AAx.
定理5.10
函数f在点X0可微的充要条件是函数f在点X0可导，
而且二y=A^xo^X式中的A等于f'X0.
可微函数
若函数在定义区间上每一点都可微，则称函
数为可微函数.
微分的运算法则
1.d_uX-VX=duX-dvX
2.duXVy=VXdUXUXdVX
「u（x八VXdUX-UX）dv（X）
3.dL2
IV（X）丿V2（X）
4.dHIgX=fXgXdXJ^gX.
高阶微分
dny=ddn1y=df「Yxdχn'=PIiXdχn.dny
d4=fnχ,高阶导数•
dx
微分中值定理
罗尔中值定理若函数f满足如下条件：
if在闭区间∣a,b上连续；
iif在开区间a,b内可导；
iiifa=fb,
则在a,b内
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