02常用逻辑用语复习指导高考数学考点讲解一docxWord文档下载推荐.docx

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③若△=—4m刁0,所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；

④由AQB=B,得BUA,所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题.故选D

点评：

（1）在判断四种命题之间的关系吋，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性.

（2）判断命题真假的关键：

一是识别命题的构成形式；

二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断.要判断一个命题是假命题，只需举出反例.

2.全（特）称命题的否定

全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；

特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，将把结论否定.

例2已知命题p：

日心>

2使得（xo・2）In（xo-1）>

0,则p：

_0x>

2都有（x・2）In（x・1）WO.

【分析】直接利用特称命题的是全称命题写出结果即可.

因为特称命题的否走是全称命题，所以，命題P：

3xo>

2使得（刈-2）In（刈-1）>

0,则Vx

2者B有（x-2）In（x-1）切.

故答案为：

Vx>

2都有（x-2）In（x-1）<

0・

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系.含有量词的命题的否定，不仅要将结论

否定，而且要把量词进行改换.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：

一是准确掌握含有全称

量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；

二是要掌握判断全称命题与存在性命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在性命题为真.

3.充要条件的判断与应用：

例3.已知p：

x2-8x-20^0,q：

|x・11Wm（m>

0）,若「p是「q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.

【分析】先求出命题P，q的等价条件，然后利用「P是「q的充分而不必要条件，建立条件关系即可求出m的取值范I韦1・

p：

-8x-20W0,得■2WxW10,

q：

由|x-lWm（m>

0）得1-mWxW1+m,

若「P是「q的充分而不必要条件，则q是P的充分而不必要条件，

ITI>

即<

3，即0<

mW3.

（in>

贝9<

1__2,

J+irKlO

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p,q的等价条件是解决本题的关键.

例4.“沪1”是函数f（x）=1-2sin2（ax+—）在区间（匹，2L）上为减函数“的（）

4126

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

分析：

先根据二倍角公式，化简，根据函数的单调性求出a的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定

义即可判断.

f（x）=1-2sin2（ax+—）=cos（2ax+—）=-sin2ax,

・・•函数f（x）=1-2sin2（ax+—）在区间（匹，—）上为减函数，

可得a>

0,且2a-—>

-2L,2a-—V匹由此求得a<

^,即实数a的取值范围为（0,卫）.

1226222

・・・“a二1”是函数f（x）二1・2sir?

（ax+—）在区间（匹，—）上为减函数“的充分不必要条件，故选：

在判断充分、必要条件时需要注意：

（1）确定条件是什么、结论是什么；

（2）尝试从条件推导结论，从结论推导条件；

（3）确定条件是结论的什么条件.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题.

例5.（2015秋•张家口期末）已知命题p：

x+yH6,命题q：

xH2或yH4,则命题p是命题q的（）

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性判断「q是「P的条件关系即可.解析：

命题P：

x+y拓〉命題q：

xh2或丫工4,

命题「p：

x+y=6^命題「q：

x=2且y=4,

当x=l、y=5时，满足x+y=6,但x=2且y=4不成立、

当x=2且y=4时，x+y=6成立，

即「q是「P的充分不必要条件〉

则根据逆否命题的等价性可得命题P是命题q的充分不必要条件，

故选：

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性转换为判断「q是「P的条件关系是解决本题的关键.

4.含逻辑联结词的命题应用

例6已知命题p：

Vae[1,2],m'

_10iti+19W命题q：

函数f（x）=3x2+2mx+m+6有两个零点.求

使“pA「q”为真命题是实数m的収值范围.

【分析】分别解出关于命题P，q的m的范围，根据“pA「q”为真命题，得到不等式组，解出即可.

对于命题p：

：

V[1,2],n?

-10m+19W寸巳2*8；

Am2-10m+19^3,解得：

2WmW8；

命题q：

函数f（x）=3x2+2mx+m+6有两个零点，

・•・△二4i『・12（m+6）>

0,B|J：

m2・3m・18>

解得：

6或m<

-3,

要使为真命题,

2WmW6.

【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质以及函数恒成立问题，是一道基础题.

5.考题再现

（2018年北京）设a,〃均为单位向量,则“丨旷3引=|3尹引”是“a_Lb”的（）

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】：

【解析］V\&

-2>

b\=\?

a^b\/.平方得|a|2+9|A|2-6a*ZF9|a|2+|i|2+6a*A,即1+9-6$•戻9+l+6$・b,即12a*ZfO,则a-ZFO,即a丄b,则“|旷3方|二|3計方|”是“日丄方”的充要条件.故选C.

2.（2018年天津）设xWR,则"

|x-||<

是“/VI”的（）

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由诘1<

扌可得#*共5

解得0<

1,由*1,解得*：

1,故嗚|今是F<

匸的充分不必

要条件•故选A.

3.（2018年浙江）已知平面a,直线伽刀满足皿a,门uci,则“仍〃刀”是“刃〃a”的（）

【解析】T加a,nua,.••当m//n时，m//a成立，即充分性成立，当m//a时，m//n不一定成立，即必要性不成立，则“/〃〃〃”是“/〃〃。

”的充分不必要条件.故选A.

六综合测试题

一.选择题

7T1

1.“G=—”是“cos©

=-”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

17Tjr7T1

【解析】由coscr=—,得a=—+2k兀或4=——+2k7r.kgZ,所以“”是“cosflf=—”的充

23332

分不必要条件，选B,

2.有以下命题：

①“若xy=l,则x,y互为倒数”的逆命题；

3“若mWl,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题；

4“若AAB=B,则ACB”的逆否命题.

其中正确的命题为（）

A.①②B.②③C.④D.①②③

【答案】D

【解析h,y互为倒数，则巧=1”是真命题:

②“面积不相等的三角形一定不全等”，是真命题;

③若mWl,△=4-仙刁0,所以原命题为頁命题，故其逆否命题也是真命题；

④由AQB=B,得BUA,所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题.故选D.

3.如果命题“「（p或q）”为假命题，则

A.p,q均为真命题B.p,q均为假命题

C.p,q中至少有一个为真命题D.p,q中至多有一个为真命题

【答案】C

【解析】命题“「（P或q）”为假命题，则P或q为真命题，所以P，q屮至少有一个为真命题，选C.

4.已知命题p：

【答案】A

【解析】T命题P：

xH2或yH4,・°

・命题~'

x+y=6,命题~*q：

x=2且y=4,当x=l,y二5时,满足x+y二6,但x=2且y=4不成立，当x=2且y=4时,x+y=6成立，

即「q是「P的充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性可得命题P是命题q的充分不必要条件，故选：

A.若a2^b,则yfb或aW_丘B.若a2^b,则a>

y/b或aV-

C.若a\fb或aW->

Jb,则a空bD.若a>

JF或a<

Jb,则a空b

【解析】原命题的形式为喏P则则逆否命题的形式为喏「q则「PJ故逆否命题为：

若吐丽或吐-丽，则aSb,故选：

6.下列四个结论中正确的个数是（）

*2>

0”是“x>

l”的充分不必要条件

2命题:

VxGR,sinxWl"

的否定是“mxoWR,sinx°

l”・

3“若X二一，则tanx=l,”的逆命题为真命题；

4若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0.

A.1B.2C.3D.4

【解析】：

对于①，x2+x-2>

0,解得x<

・2或x>

l,故“x>

l”的必要不充分条件，故错误，

对于②，命题：

“0xWR,sinxWl”的否定是“3xo^R,sinxo>

l”，故正确，

7T7T、冗

对于③，若X=—,则ta.nx=l,"

的逆命题为“若tanx=l,则x=—,x还nJ以等于一，故错误，

444

对于④，f（X）是只上的奇函数，则f（・X）=-f（x）,Vlog：

i2=—!

—,・\log32与log?

3不是互为相反log23

数，故错误.故选：

7.下列命题的逆命题为真命题的是（）

A.若x>

2,贝I」（x-2）（x+1）>

0B.若x?

+y空4,则xy二2

C.若x+y二2,则xyWlD.若a^b,则ac2^bc2

【解析】选项A,“若x>

2,则（x-2）（x+1）>

0”的逆命题为“若（x-2）（x+1）>

0,贝I]x>

2”

因为（x-2）（x+1）>

0得到x>

2或x<

-1,所以是假命题，

选项B,“若x2+y2>

4,则xy二2”的逆命题为“若xy二2,贝ljx'

+f^xy二4”是真命题，

选项C,“若x+y二2,则xyWl”的逆命题为“若xyWl,则x+y二2”,

因为x=2,y丄，满足xyWl,但不满足x+y二2,所以是假命题，

选项D,“若a>

b,则acGbc"

的逆命题为“若ac2>

bc2,则aNb”,

因为若c二0,沪1,b二2,满足ac2^bc2,但不满足a^b,所以是假命题.

己知命题p：

Vxe（0,+oo）,3X>

2X,命题q：

3xG（-co,0）,3x>

2x,则下列命题为真命题的是

（）

A.pAqB.pA（~*q）C.（~'

p）AqD.（~'

p）A（~'

q）

【解析】由題意可知命題P：

VxE（0,7,3X>

2S为真命題;

而命题q：

3xe（-=?

3x>

2x>

为假命題〉即为真命題〉由复合命题的真假可知P人（「Q为真命题，

故选E

中的真命题是（）

故命题P是假命题;

实数a的収值范围是（）

B.a^l

C-aWOD-a^O

【解析】当X!

E［1、3］时，由f（x）=4得，根据对勾函数的性质得

—x+—

Af（x）在2］单调递减，在⑵3］递増〉

・・工⑵=4是函数的最小值，

当x26［2,3］时，g（x）=2*r为増函数，

・・・g

（2）二a+4是函数的最小值，又・・・Vx£

［丄,3］,都3x2e［2,3］,使得f（xi）2g（x2）,

可得f（x）在xiW［丄，3］的最小值不小于g（x）在X2丘［2,3］的最小值，

即4Na+4,解得：

aWO,故选：

11・“a二1”是函数f（x）二1-2si『Qx+—）在区I'

可（一，一）上为减函数“的（）

f（x）=1-2sin'

（ax+龙）二cos（2ax+龙）=-sin2ax,

JTJT

・・•函数f（x）=1-2sin2（ax+-）在区间（一，一）上为减函数，

7T7T717133

0,且2a-—>

・一，2a--V—由此求得a<

-,即实数a的取值范围为（0,-）.

・・・“a二1”是函数f（X）二1・2si『（ax+-）在区间（兰，兰）上为减函数“的充分不必要条件，故选:

12.已知AABC为锐角三角形，命题p：

不等式log如竺△>

0恒成立，命题q：

不等式logcosc^^->

0sinBcosB

恒成立，则复合命题pVq>

pAq>

「p中，真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】由锐角三角形ABC,可得1>

cosC>

0,0<

心0<

力^-<

A+B<

te,

222

.0<

—-A<

—/.sinB>

siii（—-A）=cosA>

0^.'

.1>

COS^>

0^.■.logCOsC^^>

222sin层sin£

故命题P是真命题，命题q是假命题；

则复合命题pVqMx卩㈣假、「P假，真命题的个数是1个；

二.填空题

13.已知命题p：

mxo>

2使得（xo-2）In（x0-1）>

0,则「p：

【答案】Vx>

2都有（x-2）1n（x-1）WO.

【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：

2使得（xo-2）In（xo-1）>

Vx>

2都有（x-2）In（x-1）WO.

Vx>

2都有（x・2）In（x・1）WO

14.已知命题p：

若x2-l>

0,则x>

l,命题q：

若x2-1>

0,贝l]x<

・l,写出命题pVq为.

【答案】若x2-1>

0,贝】Jx>

l或x<

-1.

【解析】由命题P：

若x2-l>

0,贝i]x>

1,命题q：

0,则x<

-b

则命題pVq为：

喏x2-1>

0^则x>

r或喏x2-1>

一即喏壬-1>

-1”〉

若Q-1>

-1.

15•下面是关于公差d>

0的等差数列｛%｝的四个命题：

P1：

数列｛色｝是递增数列；

P2：

数列｛血」是递增数列；

P3：

数列｛牛｝是递增数列；

P.：

数列｛an+3nd]是递增数列；

其屮的真命题为_-

【答案】Pl,Pl

【解析1Vd>

0,Ad=an*i-an>

0,/.anH>

an,数列｛aj是递增数列,pi是真命题.

P2是假命题，如a尸n-9是公差*1>

0的等差数列，但｛n%｝不是递增数列.同理可证

P：

也是假命题.对于山是真命题，・・・[亦+3（n+1）d]・｛色+3加｝二4止・・・数列｛色+3加｝是递增数列.故答案应为：

P1,p,

16.已知函数f（x）=x2-2x,g（x）=ax-2（a>

0）,若V[-1,2],恒有f（x）>

g（x）成立，则a

的取值范围是；

若VX1e[・1,2],3x2e[・1,2],使得3）=g3）,贝ij实数a的取值范围是.

【答案】0<

—2;

aW—；

aN—.

【解析】①根据题意,当VxE[-b2]时，恒有f（x）>

g（x）成立,即VxE[-b2],

h（x）=f（x）-g（x）>

0恒成立〉

又a>

0时〉h（x）=（x2-2x）-（ax-2）=x2-（2-a）x-2的对称轴是x=l+—>

所以，当1+詩，即圧2时，h<

x）在xe[-l,2]上的最小值是h（l+-）=（1+-）2-（2+a）（U-）-2=-（l+-）2-2>

0,解得0<

2血一2；

2222

当1+->

2,即a>

2时，h（x）在xw[・l,2]上是减函数，最小值是

（2）二4・2（2+a）+2>

0,解得a<

l,不满足题意，舍去；

综上，实数a的取值范围是0<

gv20—2；

②由①知，Vxie[・1,2]时，f（xi）=[・1,3]；

又VxiE[-1,2],都3x2^[-L2],使得f（xi）=g（X2）,

・••当x2-1,2]时，a>

0,g（x）=ax-2是增函数，

g（x2）的值域为[g（-1）,g

（2）],且满足[g（-1）,g

（2）]o[-1,3]；

f-/7-2<

-l55

即一，解得a$—；

・・・实数a的収值范围是a>

[2a-2>

322

三.解答题

17.

（1）写岀命题“若/・3x+2二0,贝心二1或x=2”的逆命题、否命题及逆否命题；

（2）写出命题Tx°

WR,使得xJ+xo-lVO”的否定形式.

17.解：

（1）命题"

若x2-3x+2=0,贝!

Jx二1或x=2”的逆命题为：

若x=l或x=2,则x2-3x+2=0；

否命题为：

若x2-3x+2#=0,则xHl且xH2；

逆否命题；

若xHl且xH2,则x?

・3x+2H0；

（2）命题的否定：

VxWR,使得x2+x-1^0.

18.已知命题p：

VaE[1,2],-10m+19WJa1+8;

命题q：

函数f（x）二3x2+2mx+m+6有两个零点.求

使为真命题是实数m的取值范围.

1$解析：

对于命题P：

Va£

[b2],m2-10m-19<

j2+85/.m2-10m+19<

3,解得：

函数f（x）=3x2-2mx-Htn-6有两个雾点〉

.A=4m2-12（m+6）>

即：

m2-3m-18>

6或mV-3,

f2<

要使中八一^为真命题，只需{-—解得：

6・

—3<

ZK<

19.已知p：

x2-8x-20^0,q：

|x・1Wm（m>

0）,若「p是「q的充分而不必要条件，求实数m的取值

范围.

19解析：

・8x・20W0,得・2WxW10,

由|x-1Wm（m>

0）得1-mWxWl+m,

若「P是「q的充分而不必要条件，则q是P的充分而不必要条件,

3,即0VmW3・

20•己知命题:

a3xe{x|-1<

1},使等式

x2-x-m=0成立"

是真命题,

（1）求实数m的取值集合\h

（2）设不等式（x-a）（x+a-2）<

0的解集为N,若xUN是x

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