最新北师大版七年级下册数学 第二章 相交线与平行线 全章教案Word格式.docx

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.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°

，∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°

＝3x＋30°

，∴3x＋30°

＋x＝90°

，解得x＝15°

，故∠B的度数为15°

.

此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．

【类型二】补角、余角和角平分线的综合计算

如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°

，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．

根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°

.根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°

.根据角平分线的性质，可得∠BOM＝

∠AOB.根据解方程，可得∠AOB的度数．根据角的和差，可得答案．

∵∠AOB与∠COM互补，∴∠AOB＋∠COM＝180°

，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°

.∵∠COB＝90°

，∴∠AOB＋∠BOM＝90°

.∵OM是∠AOB的平分线，∴∠BOM＝

∠AOB，即∠AOB＋

∠AOB＝90°

，解得∠AOB＝60°

，∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°

＋60°

＝150°

.∵ON平分∠AOC得∠AON＝

∠AOC＝

×

150°

＝75°

.由角的和差，∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°

－60°

＝15°

本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．

【类型三】补角和余角的性质

如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？

并简述理由；

（2）如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？

（3）在

（2）的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？

并简述理由．

（1）首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°

，∠ECB＝90°

.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；

（2）∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；

（3）根据角的和差关系进行等量代换即可．

（1）CD是∠ECB的角平分线．理由如下：

∵∠ACD＝90°

，CE是∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝45°

.∵∠ECB＝90°

，∴∠DCB＝90°

－45°

＝45°

，∴∠ECD＝∠DCB，∴CD是∠ECB的角平分线；

（2）∠ACE＝∠DCB.理由如下：

，∠BCE＝90°

，∠ECD＝α，∴∠ACE＝90°

－α，∠DCB＝90°

－α，∴∠ACE＝∠DCB；

（3）∠ECD＋∠ACB＝180°

.理由如下：

∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝∠ACD＋∠ECB＝90°

＋90°

＝180°

此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．

三、板书设计

1．对顶角相等；

2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．

本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步

第2课时　垂　线

1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；

2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．（重点，难点）　　　　　　　　　　　　　　　

如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？

这样的两条边所在的直线有什么位置关系？

垂　线

【类型一】运用垂线的概念求角度

如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°

，求∠AOM和∠NOC的度数．

要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20°

，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；

要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．

∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×

20°

＝40°

，∴∠NOC＝180°

－∠BON＝180°

＝140°

，∠MOC＝∠BON＝40°

.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°

，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°

＝50°

，∴∠NOC＝140°

，∠AOM＝50°

（1）由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°

；

（2）在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．

【类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直

如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD.试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．

由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°

，即∠AOB＋∠BOC＝90°

.又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°

，即∠BOD＝90°

.再根据垂直的定义，得出OB⊥OD.

OB⊥OD.理由如下：

因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°

.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°

，所以∠BOD＝90°

，所以OB⊥OD.

由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°

垂线的性质（垂线段最短）

如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？

画出线路图，并说明理由．

连接AB，过点B作BC⊥MN即可．

连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．

与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．

探究点三：

点到直线的距离

如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.

（1）试说出点A到直线BC的距离；

点B到直线AC的距离；

（2）点C到直线AB的距离是多少？

（1）点A到直线BC的距离就是线段AC的长；

点B到直线AC的距离就是线段BC的长；

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．

（1）点A到直线BC的距离是3；

点B到直线AC的距离是4；

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D.S△ABC＝

BC·

AC＝

AB·

CD，所以5CD＝3×

4，所以CD＝

.所以点C到直线AB的距离为

点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．

1．垂线的概念：

两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

2．垂线的作法

3．垂线的性质：

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆

2．2　探索直线平行的条件

第1课时　利用同位角判定两条直线平行

1．理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数；

2．能够运用同位角相等判定两直线平行；

（重点，难点）

3．理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题．

数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？

以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容．

同位角

【类型一】判断同位角

下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）

选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同位角，即在图中可找到形如“F”的模型；

选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角．故选C.

判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法：

①把两个角在图中“描画”出来；

②找到两个角的公共直线；

③观察所描的角，判断所属“字母”类型是否为“F”型．

【类型二】数同位角的个数

如图，直线l1，l2被l3所截，则同位角共有（　　）

A．1对B．2对

C．3对D．4对

图中同位角有：

∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8共4对．故选D.

数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数．

利用同位角判定两直线平行

如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°

，∠2＝70°

，试说明：

AB∥CD.

要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，这由∠2的对顶角容易证出．

因为∠2＝∠EHD（对顶角相等），又因为∠2＝70°

，所以∠EHD＝70°

.因为∠1＝70°

，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

本题考查的是平行线的判定，熟知“同位角相等，两直线平行”是解答此题的关键．

平行公理及其推论

【类型一】应用平行公理及其推论进行判断

有下列四种说法：

（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；

（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；

（4）平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

根据平行公理、垂线的性质进行判断．

（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；

（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；

（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；

（4）平行于同一条直线的两条直线平行，正确．正确的有4个．故答案为D.

平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．

【类型二】应用平行公理进行推论论证

四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么直线a，d的位置关系为________．

由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案为a∥d.

平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．

【类型三】平行公理推论的实际应用

将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？

根据平行公理的推论得出答案即可．

∵CD∥EF，EF∥AB，∴CD∥AB.

利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证两条直线都平行的第三条直线进行说明．

1．同位角的概念

2．运用同位角判定两条直线平行：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

3．平行公理及其推论：

过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

平行于同一条直线的两条直线平行．

解决几何题时，重在分析，应结合图形熟识题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生对同位角的识别，对同位角个数的计算，应多加强练习，在不断纠错中提高

第2课时　利用内错角、同旁内角判定两条直线平行

1．理解并掌握内错角和同旁内角的概念，能够识别内错角和同旁内角；

2．能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．（重点，难点）

观察下列图形：

猜想其中任意两条直线的位置关系，想想如何证明你的猜想．

内错角与同旁内角

【类型一】判断内错角、同旁内角

如图，下列说法错误的是（　　）

A．∠A与∠B是同旁内角

B．∠3与∠1是同旁内角

C．∠2与∠3是内错角

D．∠1与∠2是同位角

根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成“U”型，是同旁内角；

B中∠3与∠1形成“U”型，是同旁内角；

C中∠2与∠3形成“Z”型，是内错角；

D中∠1与∠2是邻补角，该选项说法错误．故选D.

在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．

【类型二】一个角的内错角、同旁内角不唯一的图形问题

如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是________，∠8的同旁内角是________．

直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是∠4和∠7，∠8的同旁内角是∠1和∠O.故答案为∠4和∠7，∠1和∠O.

易错点拨：

找某角的内错角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数．

利用内错角、同旁内角判定两条直线平行

【类型一】内错角相等，两直线平行

如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？

要判定CE∥DF，需满足∠ECB＝∠FDA，利用“内错角相等，两直线平行”即可判定．

CE∥DF.理由如下：

因为∠ACE＝∠BDF，又因为∠ACE＋∠ECB＝180°

，∠BDF＋∠FDA＝180°

，所以∠ECB＝∠FDA（等角的补角相等），所以CE∥DF（内错角相等，两直线平行）．

综合运用补角的性质及等量代换，将已知条件转换为内错角相等来判定两条直线平行，充分运用转化思想．

【类型二】同旁内角互补，两直线平行

如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°

，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

先根据三角形内角和定理得出∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°

.再由∠DEC＝90°

得出∠EDC＋∠ECD＝90°

.由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，可知∠ADC＋∠BCD＝2（∠EDC＋∠ECD）＝180°

，由此可得出结论．

AD∥BC.理由如下：

∵∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°

，∠DEC＝90°

，∴∠EDC＋∠ECD＝90°

.∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC＋∠BCD＝2（∠EDC＋∠ECD）＝180°

，∴AD∥BC.

本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．

【类型三】灵活运用判定方法判定平行

如图，有以下四个条件：

①∠B＋∠BCD＝180°

，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝5.其中能判定AB∥CD的条件有（　　）

根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．

①∵∠B＋∠BCD＝180°

，∴AB∥CD；

②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；

③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；

④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.

要判定两直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定方法．

【类型四】平行线的判定的应用

一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（　　）

A．第一次右拐60°

，第二次右拐120°

B．第一次右拐60°

，第二次右拐60°

C．第一次右拐60°

，第二次左拐120°

D．第一次右拐60°

，第二次左拐60°

汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明这前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二次应左拐，两次拐的方向是相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不变．故选D.

利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学问题，即画出示意图或列式表示等，然后再解决数学问题，最后回归实际．

1．内错角和同旁内角的概念

2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平行线的性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础，在整个初中几何中占有非常重要的作用，是本章的重难点之一，更在整个初中教学的数学学习中占有举足轻重的作用．学生已经学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直线平行的条件的基础，但学生在文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡

2．3　平行线的性质

1．理解平行线的性质；

（重点）

2．能运用平行线的性质进行推理证明．（重点、难点）

窗户的内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？

探究点：

平行线的性质

【类型一】两直线平行，同位角相等

如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°

，则∠4的度数是（　　）

A．35°

B．70°

C．90°

D．110°

由∠1＝∠2，可根据“同位角相等，两直线平行”判断出a∥b，可得∠3＝∠5.再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠3＝∠5.∵∠3＝70°

，∴∠5＝70°

，∴∠4＝180°

－70°

＝110°

.故选D.

此题主要考查了平行线的判定方法与性质1，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

【类型二】两直线平行，内错角相等

如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°

，那么∠C为（　　）

A．40°

B．20°

C．60°

D．70°

∵∠A＝∠D，∴AB∥CD.∵AB∥CD，∠B＝20°

，∴∠C＝∠B＝20°

.故选B.

【类型三】两直线平行，同旁内角互补

如图，已知∠1＝85°

，∠2＝95°

，∠4＝125°

，则∠3的度数为（　　）

A．95°

B．85°

C．70°

D．55°

根据“对顶角相等”得到∠5＝∠1＝85°

，再由“同旁内角互补，两直线平行”得到a∥b，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到结论．如图，∵∠5＝∠1＝85°

，∴∠5＋∠2＝85°

＋95°

，∴a∥b，∴∠3＋∠4＝180°

.∵∠4＝125°

，∴∠3＝55°

【类型四】平行线性质的实际应用

一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．

过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE.根据平行线的性质即可求解．过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD＋∠1＝180°

.又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°

，∴∠ABC＋∠BCD＝90°

＋180°

＝270°

.故答案为270.

【类型五】平行线性质与判定中的探究型问题

如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.

（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；

（2）求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．

平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．

（1）∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：

过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；

（2）同

（1）可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.∵∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，∴∠BAE＋∠CDE＝

∠BAF＋

∠CDF，∴∠AED＝

∠AFD.

无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．

平行线的性质：

性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；

性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学

2．4　用尺规作角

1．理解并掌握尺规作图的相关概念及作法；

2．能够运用尺规作角，并运用其解决问题．（难点）　　　　　　　　　　　　　　

怎样用尺规作一个角等于已知角？

用尺规作角

【类型一】尺规作图的判断

下列作图属于尺规作图的是（　　）

A．画线段MN＝3cm

B．用量角器画出∠AOB的平分线

C．用三角尺作过点A垂直于直