版高考数学一轮复习第九章平面解析几何993圆锥曲线与其他知识的交汇问题练习苏教版.docx

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版高考数学一轮复习第九章平面解析几何993圆锥曲线与其他知识的交汇问题练习苏教版

9.9.3圆锥曲线与其他知识的交汇问题

考点一　圆锥曲线与数列交汇 

【典例】（2020·重庆模拟）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.

（1）求椭圆的方程.

（2）过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A,B,过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C,D,与l3:

x=4交于P,求证:

直线PA,PF,PB的斜率kPA,kPF,kPB成等差数列.

【解题导思】

序号

题目拆解

（1）

求椭圆方程

根据离心率以及直线与圆的位置关系列出a,b的方程组求解

（2）

①求A、B两点坐标关系

研究直线和圆锥曲线的基本过程——联立方程组,根与系数的关系

②求点P的坐标

联立两直线方程求解

③求直线斜率,验证所证

利用两点坐标表示斜率,化所证为等式关系进行验证

【解析】

（1）由题意知e==,所以=,

即a2=b2,

又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,所以圆心到直线的距离d==b=,所以a2=4,b2=3,

故椭圆的方程为+=1.

（2）当直线l1的斜率不存在时,

A（1,）,B（1,-）,C（2,0）,D（-2,0）,F（1,0）,

P（4,0）.所以kPA=-,kPB=,kPF=0,

所以2kPF=kPA+kPB.

当直线l1的斜率存在时,

设直线l1的方程为y=k,由

得x2-8k2x+4k2-12=0.

设点A（x1,y1）,B,

利用根与系数的关系得x1+x2=,

x1x2=,

由题意知直线l2的斜率为-,

则直线l2的方程为y=-,

令x=4,得P点的坐标,

kPA+kPB=+=++

=k×+×

=k×+×

=k×+×=-=2kPF,

即kPA+kPB=2kPF,综上得,kPA,kPF,kPB成等差数列.

　圆锥曲线与数列的结合

圆锥曲线与数列的结合点比较多,如圆锥曲线中的相关线段长度或参数成等差、等比数列等,解决此类问题的关键是利用数列的知识,将条件等价转化为相关数量之间的关系即可,其实质就是相关的数量之间的等式关系的一种外在表现.

（2019·成都模拟）设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1（-2,0）且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.

（1）求+的值.

（2）设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列（其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率）.若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】

（1）因为圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,所以=且F1E∥CF2,

所以∠F2DC=∠F2CD=∠EF1D,

所以=,

所以+=|ED|+=,

又因为圆F2的半径为8,即=8,

所以+=8.

（2）由

（1）知,曲线E1是以F1,F2为焦点的椭圆,且长轴长为8,所以曲线E1的方程为+=1（y≠0）,

由题意,设直线l的方程为y=k（x+2）,

代入椭圆方程化简得x2+16k2x+16k2-48=0,

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,N（x0,y0）,

则x1+x2=-,x1x2=,

所以k1+k2=+=

=,

因为k1,k3,k2成等差数列,所以2k3=k1+k2,

因为k3=,所以2×=,

化简得24k3-24k2y0

+24k-24y0=0,

对任意的k该等式恒成立,所以x0=-2,此时y0=±3.

所以存在点N（-2,±3）使得k1,k3,k2成等差数列.

考点二　圆锥曲线与向量交汇 

【典例】（2020·福州模拟）已知椭圆+=1（a>b>0）的左焦点为F,A,B是椭圆上关于原点O对称的两个动点,当点A的坐标为时,△ABF的周长恰为7.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点F作直线l交椭圆于C,D两点,且=λ（λ∈R）,求△ACD面积的取值范围.

【解题导思】

序号

题目拆解

（1）

利用椭圆的定义和对称性以及点A的坐标求a,b

（2）

①求|CD|

将直线方程与椭圆方程联立,建立C、D两点坐标之间的关系,利用弦长公式求解

②求△ACD

面积

求出点A到CD的距离,根据三角形面积计算公式建立目标函数

③求范围

根据目标函数解析式的特征,采用相应的方法,转化为函数的值域问题

【解析】

（1）当点A的坐标为时,

==,所以|AB|=3.

由对称性,+=2a,

所以2a=7-3=4,得a=2,

将点代入椭圆方程+=1中,解得b2=4,

所以椭圆方程为+=1.

（2）当直线AB的斜率不存在时,=2,

此时S△ACD=×2×2=2.

当直线AB的斜率存在时,

设直线CD的方程为y=k（x+2）（k≠0）.

由消去y整理得:

（1+2k2）x2+8k2x+8k2-8=0.显然Δ>0,

设C,D,则

故=·

=·

=·=.

因为=λ（λ∈R）,所以CD∥AB,

所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=,

所以S△ACD=××d=×

==4

=2=2,

因为1+2k2>1,所以0<<1,

所以0

　处理圆锥曲线中向量问题的基本策略就是坐标化,结合点主要有两个方面

一是向量的共线,转化为两向量所在的直线重合或平行,并且两向量模之间存在倍数关系;

二是向量数量积,直接利用坐标运算转化为点的坐标所满足的条件进行求解.

已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的离心率为,短轴为MN（M为上顶点）.点P（4,0）满足·=15.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设O为坐标原点,过点P的动直线l与椭圆交于点A、B,是否存在常数λ使得·+λ·为定值?

若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

【解析】

（1）·=（-4,b）·（-4,-b）=16-b2=15,

所以b=1,

又e=,所以=,a2=4,

从而C的方程为+y2=1.

（2）当l不为x轴时,

设l:

x=my+4,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

联立l与C的方程可得（m2+4）y2+8my+12=0,

所以y1+y2=-,y1y2=,

·+λ·=x1x2+y1y2+λ[（x1-4）（x2-4）+y1y2]

=（1+λ）（1+m2）y1y2+4m（y1+y2）+16

=+16.

因为·+λ·为定值,

所以=,

解得λ=,此时定值为.

当l为x轴时,A（-2,0）,B（2,0）,·+λ·=-4+×12=.

综上,存在λ=使得·+λ·为定值.

考点三　圆锥曲线与导数交汇 

【典例】（2020·西安模拟）设定点F（0,1）,动点E满足:

以EF为直径的圆与x轴相切.

（1）求动点E的轨迹C的方程.

（2）设A,B是曲线C上两点,若曲线C在点A,B处的切线互相垂直,求证:

A,F,B三点共线.

【解题导思】

序号

题目拆解

（1）

直接法

将已知条件转化为点E的坐标所满足的条件,然后化简即可

（2）

①求A、B两点处的切线斜率

导数的几何意义求切线斜率

②建立两点坐标关系

根据切线相互垂直建立坐标之间的关系

③证明三点共线

利用有公共点的两直线斜率相等证明三点共线

【解析】

（1）设E,则EF的中点为M,依题意知M到点F的距离与它到x轴的距离相等,可得=,

化简得x2=4y,即为动点E的轨迹C的方程.

（2）设A,B,

则由y=得y′=,知曲线C在点A,B处的切线的斜率分别是,,依题意·=-1,

即x1x2=-4,可得B,

所以kAF==-,kBF==-,

所以kAF=kBF,知A,F,B三点共线.

　导数与圆锥曲线的结合点主要有两个方面

（1）利用导数的几何意义给出直线方程;

（2）利用导数法求解圆锥曲线中的最值时,若某些目标代数式的形式比较复杂,不能直接根据基本初等函数的性质求解最值,可借助导数研究函数的单调性,进而求解其最值.

（2019·郑州模拟）已知动圆E经过点F（1,0）,且和直线l:

x=-1相切.

（1）求该动圆圆心E的轨迹G的方程.

（2）已知点A（3,0）,若斜率为1的直线l′与线段OA相交（不经过坐标原点O和点A）,且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.

【解析】

（1）由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,所以动点E的轨迹是以F（1,0）为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.

（2）设直线l′的方程为y=x+m,其中-3

联立得方程组

消去y,得x2+（2m-4）x+m2=0,

Δ=（2m-4）2-4m2=16（1-m）>0恒成立.

由根与系数的关系得

x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,所以|CB|=4,

点A到直线l′的距离d=,

所以S△ABC=×4×=2×（3+m）,

令=t,t∈（1,2）,则m=1-t2,

所以S△ABC=2t（4-t2）=8t-2t3,

令f（t）=8t-2t3,所以f′（t）=8-6t2,

令f′（t）=0,得t=（负值舍去）.

易知y=f（t）在上单调递增,在上单调递减.所以y=f（t）在t=,

即m=-时取得最大值为.

所以△ABC面积的最大值为.

【变式备选】

1.已知平面上一动点P到定点C（1,0）的距离与它到直线l:

x=4的距离之比为.

（1）求点P的轨迹方程.

（2）点O是坐标原点,A,B两点在点P的轨迹上,F是点C关于原点的对称点,若=λ,求λ的取值范围.

【解析】

（1）设P（x,y）是所求轨迹上的任意一点,

由动点P到定点C（1,0）的距离与它到直线l:

x=4的距离之比为,

得=,化简得+=1,即点P的轨迹方程为+=1.

（2）由F是点C关于原点的对称点,所以点F的坐标为（-1,0）,

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,因为=λ,

则（x1+1,y1）=λ（-1-x2,-y2）,

可得,

因为+=1,

即+=1　①,

又由+=1,则+=λ2　②,

①-②得:

=1-λ2,

化简得x2=,

因为-2≤x2≤2,所以-2≤≤2,解得≤λ≤3,所以λ的取值范围是.

2.已知椭圆N:

+=1（a>b>0）经过点C（0,1）,且离心率为.

（1）求椭圆N的方程.

（2）直线l:

y=kx-与椭圆N的交点为A,B两点,线段AB的中点为M,是否存在常数λ,使∠AMC=λ·∠ABC恒成立,并说明理由.

【解析】

（1）因为椭圆N:

+=1经过点C,且离心率为,所以b=1,又=,a2-c2=b2,

可解得c=1,a=,焦距为2c=2,

故所求椭圆的方程为+y2=1.

存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.

证明如下:

由

得x2-12kx-16=0,Δ>0,

设A,B,

则x1+x2=,x1x2=,

又因为=,=,

所以·=x1x2+

=x1x2+

=x1x2-k+

=·-k·+=0,

所以⊥,因为线段AB的中点为M,

所以=,所以∠AMC=2∠ABC.

存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.

3.（2020·福州模拟）已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时|RS|=3.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线