高中数学第一章立体几何初步121平面的基本性质学业分层测评苏教版必修文档格式.docx

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【解析】　如图

（1）

（2）所示，①③④均不正确，只有②正确，如图

（1）中A，B，D不共线．

（1）　　　　　

（2）

【答案】　②

4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

【解析】　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

【答案】　∈

5．如图1－2－10所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．

图1－2－10

①A，M，O三点共线；

②A，M，O，A1四点共面；

③A，O，C，M四点共面；

④B，B1，O，M四点共面．

【解析】　因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知①②③均正确．

【答案】　④

6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．

【解析】　∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，

则α∩β＝直线CD.

∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．

【答案】　共线

7．如图1－2－11所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．（把正确图形的序号都填上）

图1－2－11

【解析】　图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知图形②④中这四点均不共面．③中四点恰是正六边形的四点，故③正确．

【答案】　①③

8．如图1－2－12所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDPQ的交线是__________.

图1－2－12

【解析】　因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；

同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.

【答案】　MN

二、解答题

9.如图1－2－13，点A∉平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：

点K在直线BD上．

图1－2－13

【证明】　∵EH∩FG＝K，

∴K∈EH，K∈FG.

∵E∈AB，H∈AD，

∴EH⊂平面ABD，∴K∈平面ABD.

同理，K∈平面BCD.

又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴K在直线BD上．

10．如图1－2－14，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：

D1，E，F，B共面．

图1－2－14

【证明】　因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．

分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.

又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°

.同理∠CBH＝45°

.又∠ABC＝90°

，所以G，B，H共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．

[能力提升]

1．如图1－2－15，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_______．

图1－2－15

【解析】　因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，

故DE是△ABC与平面α的交线．

又∵P在α内，也在平面ABC内，

故P点在△ABC与平面α的交线DE上．

【答案】　P∈DE

2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，R三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.

【解析】　如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.

又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.

【答案】　直线PR

3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．

【解析】　如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE綊PQ，∴P，Q，E，R共面．

再取BB1，DD1的中点F，G.

∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，

∴截面图形为正六边形．

【答案】　正六边形

4．在棱长是a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

（1）画出交线l；

（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长；

（3）求点D1到l的距离．

【解】　

（1）如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点．连结QN，则直线QN就是两平面的交线l.

（2）∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，

∴A1是QD1的中点．

又∵A1P∥D1N，∴A1P＝

D1N.

∵N是D1C1的中点，∴A1P＝

D1C1＝

，

∴PB1＝A1B1－A1P＝

a.

（3）过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．

∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝

∴QN＝

＝

a，

∴D1H＝

即点D1到l的距离是

2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系学业分层测评苏教版必修

1．下列说法正确的有__________．（填序号）

①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；

②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；

③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；

④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．

【解析】　①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；

②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；

③从反面肯定了两直线的异面；

④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.

2．如图1－2－23，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________.

图1－2－23

【解析】　连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连结EF.由题意知，

∴EF＝

×

6＝9，∴BD＝2EF＝18.

【答案】　18

3．如图1－2－24，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有________．

①　　　　②　　　　③　　　　④

图1－2－24

【解析】　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．

【答案】　②④

4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________.

【解析】　易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°

.

∴∠EFG＝90°

，故四边形EFGH为矩形．

【答案】　矩形

5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．

【解析】　l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．

【答案】　无数

6．如图1－2－25，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．

图1－2－25

【解析】　因四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．

【答案】　∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B

7．如图1－2－26，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．

图1－2－26

①CC1与B1E是异面直线；

②C1C与AE共面；

③AE，B1C1是异面直线；

④AE与B1C1所成的角为60°

【解析】　CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；

AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④错．

8．如图1－2－27，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．

图1－2－27

【解析】　连结AC1（图略），则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；

过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．

【答案】　4

9．如图1－2－28，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：

四边形B1EDF是平行四边形．

图1－2－28

【证明】　如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，

∴EQ綊B1C1（平行公理），∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.

又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．

10．如图1－2－29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.

图1－2－29

【解】　因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°

，故异面直线DE与AB所成的角为45°

1．一个正方体纸盒展开后如图1－2－30，在原正方体纸盒中有下列结论：

图1－2－30

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°

；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD.

以上结论中正确的是________（填序号）．

【解析】　把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

2．如图1－2－31，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是__________．

图1－2－31

【解析】　如图，连结BC1，A1B.

∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．

又∵∠A1BC1为60°

∴直线EF与D1C所成的角为60°

【答案】　60°

3．如图1－2－32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°

，BC＝

，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________．

图1－2－32

【解析】　如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，

∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）．

在Rt△ABC中，BC＝

，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝

AD＝

，∴BE＝

.在Rt△AEF中，AF＝

AC＝

，AE＝

，∴EF＝

在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝

，∴BF＝

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为

【答案】　

4．如图1－2－33所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且

图1－2－33

（1）求证：

A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；

（2）求

的值.

【解】　

（1）证明：

∵AA′∩BB′＝O，且

∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.

（2）∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，

同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，

∴△ABC∽△A′B′C′且

∴

2＝