浙江专用高考数学二轮复习专题一平面向量三角函数与解三角形第四讲大题考法三角函数解Word格式文档下载.docx
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（1）我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求丿=
z4sin@x+°
）或y=Acos@x+°
）（A,co9卩是常数，且A>
0,eHO）的单调区间时一定要注意少的取值情况，若血<
0,则最好用诱导公式将其转化为一血>
0后再去求解，否则极易出错.
（2）对j=Asin（cyx+^）,j=Acos（cyx+^）（A,co,（p是常数,且A>
0,血工0）结合函数图象可观察出如下几点：
1函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的
横坐标都是函数的零点;
2相邻两对称轴（对称中心）间的距离都是半个周期;
3图象上相邻两个最大（小）值点之间的距离恰好等于一
个周期.
［演练冲关］
1•（2017*浙江笊T考）已知函数f（x）=sin2x—cos2x—2诵sinxcosx
（xeR）.
解：
由题意，/（x）=—cos2x—\3sin2x
（2）求/*3）的最小正周期及单调递增区间.
7C
由⑴知f（x）=—2sm|^2x+-J.
贝Jl/3）的最小正周期是兀・由正弦函数的性质
JTJT3兀
令尹2航W2x+評㊁+2EkEL,
JT2兀
解得&
+氐兀三兀£
丁+氐兀，k^Z,
jr2tt
所以/（兀）的单调递增区间是&
+E~^+kn（k^Z）.
1、3
2.
已知函数/（x）=-sincwx+cosft>
x+c（c»
O,x^R,c为常
且相邻两个最低点的距离为兀.
数）的图象经过点整，亨
⑴求函数/3）的解析式；
V/i（x）=|sincyx+^coscyx+c=sincyx+^+c,
且相邻两个最低点的距离为兀，・••少=2,
（、
G,Tt
•\/（x）=sin2x+^
ks丿
⑵将函数/（兀）的图象向右平移;
个单位长度，得到函数gd）的图象，求g（对在［0,兀］的最大值与最小值•
•・•函数金）的图象向右平移扌个单位长度，得到函数g（x）的图象,
3厂3」
•••g（x）=sin2卜_剤+扌+¥
=sin|2x_〒J+
题型
（二）三角形基本量的求解问题
主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小（或三角函数值），且常与三角恒等变换综合考查.
［典例2］在AABC中，内角儿B,C的对边分别是
Aa9b9c9sinA+cosA=l—sin
⑴求sinA的值;
［解］由已知，得2sin；
cos；
+l—2sii?
?
=1—sin各
2'
A
艮卩sin寸2sin
/k
2cos
所以2sin
t-2cos
〜4
则sin2
A）A
j-1J=0,在AABC中，sin尹0,
AYc口n•AA
㊁一1=0,艮卩sin㊁一cos
1
2~29
—2sin?
cosy+cos
"
=£
从而sinA=|.
（2）若c2—az=2b9且sinB=3cosC,求b.
［解］由已知sinB=3cosC,
结合
（1）得sinB=4cosCsinA.
法一：
利用正弦定理和余弦定理得
<
_c）Xa,即b2=2（c2-a2）.
Xc2-a2=2b9:
.b2=4b9在△ABC中，方HO,:
.b=4.法二：
Vc2=a2+b2-2abcosC95.c2-a1=2b9
A2b=b2—2abcosC9
在AABC中，方HO,.\b=2+2acosC,
解得b=4.
［方法技巧］
利用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
r
第一步
选定理
1
第二步
求解
1•
若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用:
余弦定理
若式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用:
正弦定理1
若特征都不明显，则考虑两个定理都有可能用到!
利用正、余弦定理求角、求边、求值
3.在AABC中，内角A,B,Q的对边分别为a,b,c,若b2-\~c2—a2=bc.
⑴求角A的大小；
b2+c2^
由b2+c2—a2=bc及余弦定理，得cosA=页
（2）若。
=书，求BC边上的中线AM的最大值.
3、3
•••在△ABM中，AM2+^-2AM-^--cosZAMB=c2,①
3、/3
在心伽中，AM2+^-2AM^cosZAMC=b\②
又ZAMB=n-ZAMC9
:
.cosZAMB=—cosZAMC,即cosXAMB+cosXAMC=0,
>
2I2乂
则①+②整理得am2=^y~-^
又（1=书,A=扌，Z>
2+c2—3=bc^~^C,
b24-c2393
・••沪+c?
W6,・・・AM2=^——;
詣，即AMW；
3
ABC边上的中线AM的最大值为丁
4.（2018•天漳高考）在ZkABC中，内角A,B,C所对的边分
JI别为a,b,c•已知方sinA=acos
（1）求角B的大小；
在AABC中，
7TTt
又因为bsinA=acos|B—,所以asinB=acosB—&
、3]
即sinB=2cos所以tanB=M・
因为BW（0,n）,所以B=~.
（2）设a=2,c=3,求方和sin（2A-B）的值.
jr解：
在AABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=y
得b2=a2+c2—2accosB=7,故
2因为“Vc，所以cosA=-c.
所以sin（2A—B）=sin2AcosB—cos2AsinB
题型（三）与三角形面积有关的问题
主要考查三角形面积的计算或已知三角形的面积求边
或角，涉及正、余弦定理及三角形面积公式.
［典例3］（2016•浙江高考）在ZkABC中，内角A,B,C所对
的边分别为a,b,c,已知£
+c=2acosB.
⑴证明：
A=2B；
［解］证明：
由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin（A-B）.
又A,BU（0,tt）,故OVA-BVtt,
所以B=n-（A-B）或3=人一8,因此舍去）或A=2B,所以A=2B・
2
⑵若AABC的面积S气,求角A的大小.
2〔2
［解］由S=才得严sinC=计,
故有sinBsinC=gsinA=£
sin2B=sinBcosB.因为sinBHO,所以sinC=cosB.
JI
又B,CG（0,n）f所以C=^±
B・当B+C=号时，A=p当C—B号时，A=l，
综上，A号或
求解与三角形面积有关问题的步骤
i根据条件，利用三角变换公式化简已知条件i
!
等式，再利用正、余弦定理化边或化角1
'
I
根据条件选择面积公式，多用三角形的面积•:
公式S二寺absinC=*acsinB=寺bcsinA；
［若求最值，注意根据条件利用基本不等式求;
!
最值；
若求值，可根据条件直接求出1
5.（2019届高三•浙江新离考调研卷）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c・已知?
=芈'
A+3C=n.
⑴求cosC的值；
•・・A+B+C=7t,A+3C=tt,
・B=2C.
_由务烈,得響二型炉,化简得-C普
（2）若方=书，求AABC的面积.
解:
VCe（O,n）,AsinC=A/l-cos2C=
.sinB=|.・・・A+B+C=7t,
42a/5
/.sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=~X—+
|x^=普.•・*=¥
bY'
・・・c=%
6.在锐角AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,
且4sinAcos2A—^3cos（B+C）=sin3A+^/3.
（1）求角A的大小;
VA+B+C=n,Acos（B+C）=-cosA.①
V3A=2A+A,
③
•••sin3A=sin（2A+A）=sin2AcosA+cos2AsinA.
又sin24=2sinAcosA,
将①②③代入已知等式，得2sin2AcosA+羽cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+羽，
/、
整理得sinA+^3cosA=\[3,即sinA+?
=
（2）若方=2,求AABC面积的取值范围.
2tt2tt
由⑴得B+C=丁，:
.C=—-Bf
VAABC为锐角三角形，
•込
…3
It
解得B窃2丿,
Ay-Be^o,2j,
2c
在ZVIBC中，由正弦定理得丁飞=丁〒,
亠Ig〜sinBsmC
（2n
2sinT~Br
13）y3
tanB十丄'
2sinC
c
sinB
（nn
又〃丸'
2丿'
**S^g（j=^bcsinA—
sinB
At^BG（0,由），・・・胆（1,4），
_c,S^abc丘
2a/3.
故ZUBC面积的取值范围为
2书.
7
题型（四）三角函数与解三角形综合问题
此类问题综合考查三角恒等变换、三角函数的性质与解
三角形等问题.
［典例4］（2018•嘉兴髙三测试）已知函数/（x）=cos^2x+^J+
书（sinx+cosx）2.
（1）求函数/（兀）的最大值和最小正周期；
［解］/（x）=2cos2x—s^n2x+^/3（1+sin2x）=
sin
所以/（兀）的最大值为1+^3,最小正周期T=n.
（2）设AABC的三边a,b,c所对的角分别为4,b,C,若a=2,c=p,f中+£
=馆，求方的值.
Gr^\A—>
/\
［解］因为fh+£
=sink+C+打+^/§
=cosC+?
+
书=书,
z、
所以cos（c+&
|=0,因为OvCS所以c=扌.
由余弦定理c2=a2-\-b2—2abcosC,可得b2—2b—3=0f因为〃>
O,所以b=3.
三角函数与解三角形的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；
解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.
［演练冲关］/、
7.
（2019届高三•浙江六校联考）已知f（x）=cosxsin^x—
⑴求沧）在［0,兀］上的单调递增区间；
窗•1
osmx—^cosx十1I/z丿
J31|3
2+1=4sin2x—jcos2x十才
6厂4-
tTtTtTt
（1）由2kn—2^2x—彳冬2加+刁k^Z9
jrjr
得加一彳WxWAtc+s，k^Z,又xG［0,ifl,
5n
6’71
jrrjr
•••沧）在［0,兀］上的单调递增区间是o,孑和：
⑵在AABC中，若角A,B9C的对边分别是a,b,c,且/*（〃）=孚，sinAsinC=sin2B,求a~c的值.
1°
35
由/（〃）=利n“一刖+j=a，
pgTt
得sin[2〃一&
|=1.
又B是AABC的内角…・・2〃一討歩得B諾由sinAsinC=sin2B及正弦定理可得ac=b2.^AABC中，由余弦定理b2=a2-\~c2~2accosBf得ac=（a—c）2-\-2ac—ac,则a—c=0.
•已知函数几兀）=\[3sincoxcoscox—sin2cox+1（o>
0）的图象
qr
中相邻两条对称轴之间的距离为〒
⑴求3的值及函数沧）的单调递减区间;
…1
+l=sin2cwx+t+石・
\6丿2
因为函数/（兀）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为;
\
7TI
“\b1—cos2cox
Ax）=2sin2cwx—2
所以（0=1.所以/（x）=sinl2x+-l+2.
所以T=nf即签=兀，
7T7T3兀
令空+2氐兀£
2^+&
0亍+2比兀仗丘2），
解得｛+A：
7tWxW寸+Att（A：
wZ）・
IT2ir
所以函数/3）的单调递减区间为氏+眛，丁+A:
兀仗WZ）.
（2）已知°
b,c分别为AABC中角A,B9C的对边,
且满足a=\[3,/（A）=l,求/\ABC面积S的最大值.
7TIj
由几4）=1,得sin[2A+&
|=w
*.-i、『*7TTT13tTtvr-.兀5tT>
—»
7T
因为wj，所以石，得A=j
由余弦定理得a2=b2^-c2~2bccosA,
即（y{3）2=b2+c2-2bccosp所以bc+3=b2+c2^2bc9
解得bcW3,当且仅当方=c时等号成立.
所以AABC面积S的最大值为呼.
［高考5个大题］
三角函数问题重在“式
题题硏诀窃
变”——变角、变
［思维流程］
［技法指导］
1•常用的变角技巧
⑴已知角与特殊角的变撫
⑵已知角与目标角的变撫
⑶角与其倍角的变撫
（4）两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运
用・如：
么=（么+〃）一［i=（a—"
）+0,2a=（a+j9）+（a—/?
）,2a
=（P+a）—（fl—a）fa+/?
=2-^y^,
2.常用的变式技巧
主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有:
（1）讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三
角函数来讨论;
（2）涉及sin兀土cossinx-cosx的问题，常做换元处理,如令t=sinx土cosxW[—边，边],将原问题转化为关于
f的函数来处理;
（3）在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.
［典例］
AABC的内角A,B,C的对边分别为°
b,c,
已知2cosC（acosB+方cosA）=c.
⑴求C；
［解题示范］由已知2cosC（acosB+bcosA）=c及正弦定理得
士siuBtQSA）三siiiG
即2cosCsin（A十B）=sinC,故2cosCsinC=sinC・
可得cosC=2，
/把已知等式中的边:
/x;
a,6,c变为sinA,sinB,；
［sinC!
"
于—»
变角：
利用两角和的:
1正弦公式及三角形的I\J内角和定理把等式中1
II
IsinAcosB+sinBcosA；
：
变为sin（A+B）再变!
■为sinC\
、■/
所以C=§
・
（2）若c=p7,AABC的面积为竽，求AABC的周长.
［解题示范］
由已知得务方sinC=葺丄又C=；
所以ab=6.
由已知及余弦定理得a^b2-2abcosC=7,
故/+方2=13,从而@+方）2=25,即a+b=5.
所以AABC的周长为5+"
［思维升华］
明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选
择公式”是三角变换的基本要诀.在解题时，要紧紧抓住
“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.
［应用体验］
在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为
⑴求证：
2（a+c）=3方；
证明：
由已知得，a（l+cosC）+c（l+cosA）=|b・在AABC中，过B作BD丄AC,垂足为D（图略），则acosC+ccosA=CD+AD=b.
•；
a+c=尹，即2（a+c）=3方.
（2）若cosB=孑S=\[159求方.
V15
VcosB=~,AsinB=x^~.
VS=^acsinB=^^~ac=\[15f・\ac=8.
又b2=a2-\-c2—2accosB=（a+c）2—2ac（l+cosB）,又由⑴知，2（a+c）=3b,
QA2（1、
・••沪=玄一2>
8刈1+£
解得b=4・
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