平行线的证明全章分节教学辅导方案设计精编学生Word下载.docx

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2．平行线的判定定理

判定方法1：

同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：

内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：

同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【典型例题】

类型一、定义与命题

1．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：

（1）在同一个三角形中，等角对等边；

（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.

【答案与解析】

解：

（1）先把这个命题写成“如果……那么……”的形式：

如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

条件：

同一个三角形中的两个角相等；

结论：

这两个角所对的两条边相等.它是真命题.

（2）原命题可以写成：

如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.

两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；

这两个三角形全等.它是真命题.

（3）原命题可以写成：

如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似.

两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；

这两个三角形相似.

它是假命题，反例：

如下图：

【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.

举一反三：

【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题?

（1）三角形的三条高交于一点；

（2）解方程

；

（3）1＋2≠3.

【答案】

（2）不是命题；

（1）（3）是命题，其中

（1）是真命题，（3）是假命题.

【变式2】下列真命题的个数是（）

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个B.2个C．3个D．4个

【答案】B

类型二、公理、定理及证明

2．证明：

对顶角相等.

【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.

【总结升华】“对顶角相等”是一个定理,而不是公理.

【变式】证明：

相似三角形的周长比等于相似比．

类型三、平行公理及平行线的判定

3.（2015春•无锡）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°

角的三角板ADE固定不动，把含30°

角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°

＜α＜180°

），使两块三角板至少有一组边平行．

（1）如图①，α=　　°

时，BC∥DE；

（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：

图②中α=　　°

时，　　∥　　；

图③中α=　　°

时，　　∥　　．

【思路点拨】

（1）利用两直线平行同位角相等，并求得α=45°

﹣30°

=15°

（2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可．

【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并判断旋转角为多少度，难度不大，但易错．

【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）．

A．第一次向左拐30°

，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°

，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°

，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°

4.（2016春•太仓市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°

，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？

试说明理由．

【思路点拨】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°

，得∠ABC+∠ADC=180°

根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．

【总结升华】此题运用了四边形的内角和是360°

、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如.

【变式1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

【变式2】

（2015•长春一模）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°

．若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（　　）

A．70°

B．50°

C．30°

D．20°

命题、证明及平行线的判定定理（提高）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列说法中是真命题的有（）．

①一条直线的平行线只有一条．

②过一点与已知直线平行的直线只有一条．

③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（）．

A．相等B．互补C．互余D．相等或互补

3．（2015•黔南州）如图，下列说法错误的是（　　）

A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1=∠2，则a∥c

C．若∠3=∠2，则b∥cD．若∠3+∠5=180°

，则a∥c

4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）．

A．第一次向右拐40°

，第二次向右拐140°

．

B．第一次向右拐40°

，第二次向左拐40°

C．第一次向左拐40°

D．第一次向右拐140°

5．（2016春•莒县期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）．

A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠1+∠4=180°

D．∠3＝∠5

6.（绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，

（1）—（4））:

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）．

①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．

④内错角相等，两直线平行．

A.①②B.②③C.③④D.④①

二、填空题

7.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．

8．（2015春•高密市）如图，在下列条件中：

①∠DAC=∠ACB；

②∠BAC=∠ACD；

③∠BAD+∠ADC=180°

④∠BAD+∠ABC=180°

．其中能使直线AB∥CD成立的是　．（填序号）

9．规律探究：

同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．

10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°

，则另一个角的度数是．

11．（2016春•吴兴区期末）如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D,E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有对．

12.如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有．

三、解答题

13.如图，∠1＝60°

，∠2＝60°

，∠3＝100°

，要使AB∥EF，∠4应为多少度?

说明理由．

14．（2015春•泗阳）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°

，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．

（1）若∠ABC=60°

，则∠ADC=　　°

，∠AFD=　　°

（2）求证：

BE∥DF．

15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°

，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD？

16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?

平行线的性质知识讲解（提高）

1.掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；

2.了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；

3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.

要点一、平行线的公理、定理

公理：

两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：

两直线平行，同位角相等）.

定理：

两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：

两直线平行，内错角相等）.

定理：

两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：

两直线平行，同旁内角互补）.

【高清课堂：

平行线的性质、平行线的性质和判定小结】

（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．

（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；

从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、平行线的性质定理的探究过程

1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：

两直线平行，内错角

相等）.

因为a∥b,

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），

又∠3=∠1（对顶角相等）

所以∠2=∠3.

2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：

两直线平行，同旁

内角互补）.

因为a∥b,

所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），

又∠3+∠1=180°

（补角的定义），

所以∠2+∠1=180°

.

平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.

要点三、平行线的性质与判定

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：

性质由形到数，用于推导角的关系并计算；

判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：

性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

类型一、平行线的性质公理、定理的应用

1、如图所示，把一块长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠EFG=50°

，求∠DEG和∠BGM的大小．

【思路点拨】根据平行线的性质可求得∠EFC的度数，然后根据折叠的性质可知∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，继而可求得∠DEG和∠BGM的度数．

【总结升华】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得出∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF．

举一反三

【变式】

（2015•洛阳一模）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°

，则∠α的度数为　　度．

2、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．

【思路点拨】本题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理．

（1），

（2）都需要用到辅助线利用两直线平行，内错角相等的定理加以证明；

（3），（4）是利用两直线平行，同位角相等的定理和三角形外角的性质加以证明．

【总结升华】考生应熟知平行线的有关知识点，这是中考常考的题型．

3、（2015•东莞）如图，已知AB∥CD，∠A=36°

，∠C=120°

，求∠F-∠E的大小．

【思路点拨】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，可以求出∠AEG与∠HFC的度数，又EG∥FH，根据两直线平行，内错角相等，∠GEF=∠EFH，所以∠F-∠E=∠HFC-∠AEG．

【总结升华】本题主要考查两直线平行内错角相等和同旁内角互补的性质，作平行线把∠F、∠E分成两个角是解题的突破口，也是关键．

【变式】如图，已知且l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上，

（1）当点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系，请说明理由

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的数量关系（点P与A、B不重合）只要写出结论即可，不必证明．

类型二、平行的性质与判定综合应用

4、（2016春•玉州区期末）如图，BD丄AC于D，EF丄AC于F．∠AMD=∠AGF．

∠1=∠2=35°

（1）求∠GFC的度数：

DM∥BC．

（1）由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠EFG=∠1=35°

，再根据角的和差关系可求∠GFC的度数；

（2）根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．

【总结升华】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．

【变式】如图，已知∠1+∠2=180°

，∠DEF=∠A，求证：

∠ACB=∠DEB．

5、如图，已知：

∠FED=∠AHD，∠GFA=40°

，∠HAQ=15°

，∠ACB=70°

，且AQ平分∠FAC，求证：

BD∥GE∥AH．

【思路点拨】由同位角∠FED=∠AHD，推知AH∥GE，再根据平行线的性质、角平分线的定义证得内错角∠HAC=55°

+15°

=70°

=∠ACB，所以BD∥AH，最后由平行线的递进关系证得

【总结升华】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．

1.若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°

，则∠2的度数是（）

A．45°

B．135°

C．45°

或135°

D．不能确定

2．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°

，∠A=45°

，那么∠E的大小为（　　）

A．70°

B．80°

C．90°

D．100°

3．（2015•德阳）如图，已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于N，M两点，MG平分∠EMD，若∠BNE=30°

，则∠EMG等于（　　）

A．15°

B．30°

C．75°

D．150°

4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是（）

A．∠1+∠2-∠3＝90°

B．∠2+∠3-∠1＝180°

C．∠1-∠2+∠3＝180°

D．∠1+∠2+∠3＝180°

5.（2016春•永新县期末）如图，若AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，下列结论：

①∠3=∠EDB；

②∠A=∠3；

③AC∥DE；

④∠2与∠3互补；

⑤∠2=∠A，其中正确的有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

6．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°

，∠CEF＝154°

，则∠BCE等于（　　）

A．23°

B．16°

C．20°

D．26°

7．如图所示，直线

∥

．直线

与直线

，

分别相交于点

、点

，垂足为点

，若

，则

＝_____，直线

之间的距离_____．

8.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°

，∠DCE＝35°

，则有∠BEC＝________．

9.（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°

，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°

，则∠F=　　．

10.（2016春•西藏校级期末）已知：

如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E=∠3，试问：

AD是∠BAC的平分线吗？

若是，请说明理由．

解答：

是，理由如下：

∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）

∴∠4=∠5=90°

（垂直的定义）

∴AD∥EG______

∴∠1=∠E______

∠2=∠3______

∵∠E=∠3（已知）

∴______=______

∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）．

11.如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°

，则∠B=_____°

12.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°

，则∠GFD′=40___________°

13．（2015•长春二模）探究：

如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：

BC⊥AD．

应用：

如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB的平分线AD于点C；

作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN=150°

，则∠CBE的大小为　　度．

14．已知如图

（1），CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图

（2）的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．

15.如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：

∠A=∠F．

三角形的内角和（提高）知识讲解

1．理解三角形内角和定理的证明方法；

2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；

3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.

要点一、三角形的内角和

三角形内角和定理：

三角形的内角和为180°

应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

要点二、三角形的外角

1．定义：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.

（1）外角的特征：

①顶点在三角形的一个顶点上；

②一条边是三角形的一边；

③另一条边是三角形某条边的延长线．

（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．

2．性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．

3.三角形的外角和：

三角形的外角和等于360°

因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°

，可推出三角形的三个外角和是360°

类型一、三角形的内角和

1．（2016春•东平县期中）适合条件∠A=∠B=

∠C的三角形一定是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形

【思路点拨】设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和是180°

，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．

【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．

【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．

【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？

有对相等的锐角？

2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°

，则∠C的度数是多少?

【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．

【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；

要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．

类型二、三角形的外角

3.如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º

，∠C=70º

求∠DAE．

【变式】如图，在△ABC中，AB＞AC，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，则∠DAE与∠C－∠B的数量关系.

4.如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E.求证：

∠BAC>

∠B.

【总结升华】涉