511 相交线教学设计Word格式文档下载.docx
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教学重点
邻补角、对顶角的性质.
教学难点
发现两条直线相交时所形成的各类角的位置及数量关系.
教学过程
导入新课
师:
打开书欣赏第五章的章头图,雄伟壮丽的大桥上,有纵横交错的钢梁,以及像竖琴一样的钢索,你能从中抽象出什么样的几何形象?
(同学们思考后回答)
生:
有很多的相交线和平行线.
你能在身边再找一些相交线和平行线的实例吗?
学校操场上的双杠.
课桌面、黑板面相邻的两边和相对的两边.
国际象棋、中国象棋的棋盘布满了纵横交错的横线和竖线,它们和平行、或相交.
……
在生活中相交线、平行线的实例比比皆是,因此从这节课开始,我们将要在前面《图形认识初步》的基础上,继续遨游于几何世界,探究两条直线相交都能够形成哪些角?
这些角有什么特征?
什么样的两条直线互相垂直?
垂线有什么性质?
什么样的两条直线互相平行?
互相平行的直线有什么特征?
……更为重要的是它们在生活中的作用,学会用数学的眼光去欣赏我们生活所在的丰富多彩的世界.
这节课,我们先来研究相交线.
推进新课
这里有一把剪刀,握紧剪子(如图1)的把手,就能剪开物体,你能说出其中的道理吗?
生:
握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角也相应变小,直到剪开物体.
如果把剪子的构造抽象成一个几何图形,会是什么样的图形?
请你在练习本上画出.
(教师可进行巡视,给学习困难的学生以帮助.从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意力,同时为得出相交线所成角的性质提供背景和生活素材).
同学们表现都很棒,剪子的构造可看作两条相交的直线,而剪刀两个把手之间的角,剪刀刃之间的角都是相交直线所成角.
组织学生活动
活动1.
(1)任意画两条相交的直线,在形成的四个角中(如图2)各个角存在怎样的位置关系?
根据这种位置关系将它们分类.
(2)分别量一下各个角的度数,各个角度数有什么关系?
为什么?
(3)在图1转动剪子把手的过程中,这个关系还保持吗?
(学生分组活动,动手操作,教师深入小组参与活动,倾听学生的交流,并指导、帮助学生完成任务)
教师应重点关注:
(1)学生能否根据各对角的位置关系进行分类;
(2)在阐述各对角的位置关系时,语言是否规范;
(3)在测量出各个角的大小关系时,能否用“同角的补角相等”为依据,得出正确结论.
(为学生提供参与数学活动的时间和空间,调动学生的主观能动性,激发好奇心和求知欲.通过学生自身探求出结论,获得学习数学的成就感,提高学生的论证几何的能力)
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1它们属于同一种位置关系的角.它们共同的特点是每一对角都有一条公共边,而另一边互为反向延长线.
以上四对角不仅有特殊的位置,而且它们的和都是180°
,即它们互补.
你能给它们每对角起个名字吗?
我们前面学过互为补角:
如果两个角的和是180°
,则称它们互为补角.而上面的∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1不仅互补,而且“相邻”,我们称它们为“亲密补角”吧!
这个名字是不是很温馨呢!
(同学们鼓掌)实际上,在数学上,我们把具有上述位置和大小关系的角叫做互为邻补角.
你还能找到哪些两两相配的角呢?
它们又有何位置和大小特点?
∠1和∠3、∠2和∠4它们分别有相同的位置关系.每对角都有一个公共顶点O,并且每对角的两边都互为反向延长线.
很好.我们将具有这种位置关系的两个角叫做对顶角,它们的大小有何关系?
每对对顶角都分别相等.如图2的∠1=∠3,∠2=∠4.
你能用前面的知识说明∠1=∠3的理由吗?
因为∠1与∠2互补,∠3也与∠2互补,由“同角的补角相等”,可以得出∠1=∠3.类似地,可得出∠2=∠4.
由此可得出结论……
对顶角相等.
你能用刚才的结论解释本节开头提出的现象吗?
可以.通过上面的讨论我们知道了,剪子两个把手之间的角与剪刀刃之间的角是对顶角.在转动剪子把手的过程中,这对对顶角始终保持相等,直到把物体剪开.
师生共析:
下面我们共同填写下表(多媒体演示)
两直线相交
所形成角
分类
位置关系
大小关系
∠1、∠2
∠3、∠4
活动2.问题:
(1)图3中∠1和∠2是对顶角吗?
若不是,请说明理由.
(学生通过对上面问题的解释,进一步明确对顶角存在的条件,使学生的思维更严密、条理).
图3
(1)中的∠1和∠2不是对顶角,是因为它们不是两条直线相交而成,即它们既无公共顶点,每个角的两边只有一边是互为反向延长线;
图3
(2)中的∠1和∠2虽有公共点,但∠2的一边不是∠1两边中的一条反向延长线;
图3(4)中的∠1和∠2也不是对顶角,只有图3(3)中的∠1和∠2是对顶角.
判断一对角是不是对顶角,我们应注意什么?
首先看它们是否是两条直线相交而成的角,再看它们是否有公共顶点,两边是否互为反向延长线.
(2)如图4,直线a、b相交,∠1=40°
,求∠2、∠3、∠4的度数.
(意在利用互为邻补角的大小关系,对顶角相等的性质.教师应先让学生自主解决,对个别学习有困难的学生加以辅导)
解:
如图4,由邻补角的定义,可得∠2=180°
-40°
=140°
;
由“对顶角相等”,可得∠3=∠1=40°
,∠4=∠2=140°
.
运用数学知识,解决问题
活动3.(多媒体演示)
问题:
(1)如图5
(1),取两根木条a、b,将它们钉在一起,并把它们想象成两条直线,就得到一个相交线的模型,你能说出其中的邻补角与对顶角吗?
如果其中一个角是35°
,其他三个角各是多少度?
这个角是90°
、115°
、m°
呢?
解:
将两根木条抽象成相交直线,如图5
(2),设直线a、b相交于点O.
①当∠1=35°
时,由邻补角的定义可得∠2=180°
-35°
=145°
由“对顶角相等”,可得∠3=∠1=35°
,∠4=∠2=145°
②当∠1=90°
,同
(1)可得∠2=180°
-90°
=90°
,∠3=∠1=90°
,∠4=∠2=90°
③当∠1=115°
时,∠2=180°
-115°
=65°
,∠3=∠1=115°
,∠4=∠2=65°
④当∠1=m°
-m°
,∠3=∠1=m°
,∠4=∠2=180°
(2)下列说法正确的是()
A.有公共顶点的两个角是对顶角
B.相等的两个角是对顶角
C.有公共顶点并且相等的角是对顶角
D.两条直线相交成的四个角中,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
答案:
D
注:
①只有两条直线相交时,才能产生对顶角,对顶角是成对出现的;
②对顶角的本质特征是:
两个角有公共顶点,其两边互为反向延长线.
(3)已知直线AB、CD相交于点O,∠AOC+∠BOD=240°
,求∠BOC的度数.
分析:
如图6所示,∠AOC与∠BOD是对顶角,
所以∠AOC=∠BOD;
又∠AOC+∠BOD=240°
,从而∠AOC=∠BOD=120°
又∠AOC和∠BOC是邻补角,所以∠BOC=180°
-∠AOC=60°
因为直线AB、CD相交于点O,
所以∠AOC和∠BOC是邻补角(对顶角的定义),
∠AOC和∠BOC是邻补角(邻补角的定义),
所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等).
又因为∠AOC+∠BOD=240°
(已知),
所以∠AOC=∠BOD=120°
所以∠BOC=180°
(邻补角的定义).
(4)如图7,AB与CD是直线,图中共有对顶角________对.()
A.1B.2C.3D.4
解析:
在图中只有AB和CD两条直线相交,根据对顶角的特征:
两个角有公共顶点,其两边互为反向延长线可知对顶角只有两对即∠AOC和∠BOD、∠AOD和∠BOC.
B
(5)图8中是对顶角量角器,你能说出用它测量角的原理吗?
设量角器的底边所在的直线为AB,指针所在直线为CD.根据对顶角相等,可知∠BOD=∠AOC,因此只要读出∠AOC的度数,也就知道了∠BOD的度数.
课堂小结
本节课讨论了两条直线相交所成的角的问题;
重点研究了邻补角、对顶角的位置关系、大小关系,并用它们解决了生活和数学中的一些简单问题,相信同学们在今后的学习过程中,会进一步体会到邻补角和对顶角性质在解题中的作用.
布置作业
习题5.11、2.
活动与探究
两条直线相交于一点,有______对对顶角,三条直线相交于一点,有_____对对顶角.……n条直线相交于一点,共可组成______对对顶角.
[过程]让学生在讨论的过程中,学会归纳.两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单,可得出,那么n条直线呢?
设n条直线为a1,a2,…,an,
以a1为边所得到的对顶角数为2(n-1);
以a2为边所得到的新对顶角数为2(n-2);
…
以an-2为边得到的新对顶角数为2×
2;
以an-1为边得到的新对顶角数为2×
1.
加起来得n(n-1)对对顶角.
[结果]两条直线相交于一点,有2对对顶角,三条直线相交于一点,有6对对顶角,n条直线相交于一点,共有n(n-1)对对顶角.
备课资料
一、参考例题
【例1】如图9,AB、BC、AC都是直线,且∠1=∠2,那么∠3=∠1吗?
因为∠1=∠2(已知),
∠3=∠2(对顶角相等),
所以∠3=∠1.
在图形中,要正确地辩认对顶角.
【例2】如图10,已知直线AB、CD、EF相交于点O,∠AOC=60°
,∠AOE=70°
,
求:
(1)∠AOD的度数;
(2)∠DOF的度数.
(1)方法一:
据∠AOC=60°
,由邻补角的定义,可求出∠AOD的度数.
方法二:
据平角的定义,可先求出∠EOD的度数,再由∠EOD与∠AOE的和求∠AOD的度数.
(2)方法一:
由∠AOE与∠AOC相加求出∠EOC的度数,再根据对顶角相等求出∠DOF的度数.
利用对顶角相等求出∠BOF,∠BOD,再相加即可.
方法三:
先求出∠EOD的度数,再根据邻补角的定义求∠DOF.
方法四:
先求出∠COF的度数,再根据邻补角的定义去求∠DOF.
略.
(1)120°
(2)130°
【例3】如图11,直线a、b被直线c所截,构成八个角,已知∠1=∠5=58°
,求∠2,∠3,∠4,∠6,∠7,∠8的度数,并说明理由.
理由:
∵∠1=58°
∴∠3=∠1=58°
(对顶角相等).
∴∠2=180°
-∠1=180°
-58°
=122°
∴∠4=∠2=122°
同理可求∠7=58°
,∠6=∠8=122°
答:
∠2=∠4=∠6=∠8=122°
,∠3=∠7=58°
注:
正确应用对顶角,邻补角,补角的性质可以计算角的度数.本题还有多种解法,你能再找出几种不同的解法吗?
【例4】如图12,直线AB与CD相交于点O,且∠BOD的度数是∠AOD的2倍.
(1)∠AOD、∠BOD的度数;
(2)∠BOC、∠AOC的度数.
(1)因为AB是一条直线(已知),
所以∠AOD+∠BOD=180°
设∠AOD的度数为x,则∠BOD的度数为2x.
所以x+2x=180°
,x=60°
,即∠AOD=60°
,∠BOD=120°
(2)因为AB、CD相交于点O(已知),
所以∠BOC=∠AOD,∠AOC=∠BOD(对顶角相等).
因为∠AOD=60°
所以∠BOC=60°
,∠AOC=120°
【例5】判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)有公共顶点的两个角是对顶角;
(2)相等的两个角是对顶角;
(3)互为对顶角的两个角的余角相等.
(1)不正确.对顶角的定义是“如果一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫做对顶角”.有公共顶点的两个角,其中一个角的两边不一定是另一个角的两边的反向延长线(如图13).
(2)不正确.对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系,相等的角是两个角的大小比较,是两个角的度量关系,这是两个不同范畴的概念,如,等边三角形的每个内角都是60°
,但不是对顶角.
(3)不正确.对顶角相等,但并没有说对顶角一定是锐角,它们也可能是钝角,所以不一定有余角.
二、对顶角歌诀
对顶角,必相等,这个性质要搞懂;
对顶角,怎么定,反向延长巧又灵.
三、练习
如图14,直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°
,求∠BOD的度数.
35°