历年全国中考真题分类023三角形全等AWord下载.docx

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35.

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38.

39.

二、填空题

1.（2012浙江丽水，14，4分）如图在

中，

，

的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则

的面积是__________

【答案】15

2.（2013湖南长沙第15题3分）如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为cm

【答案】4.

3.（2013上海，15,4分）如图3，在△

和△

中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△

≌△

，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）

【答案】

或

等

4.（2013湖南娄底，12，4）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是

______________.（添加一个条件即可）

答案：

答案不唯一，如：

∠C=∠B∠C=∠B或∠AEB=∠ADC∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC∠CEB=∠BDC或AE=ADAC=AB或CE=BE.

5.（2013福建泉州，11，4分）如图，∠AOB=70°

，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°

.

【答案】35

6.（2013浙江义乌，14，4分）如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是；

【答案】AB＝AC或AD＝AE或BD＝CE或BE＝CD（写出一个即可）.

7.（2013甘肃白银，15，4分）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为______．（答案不唯一，只需填一个）

【答案】AC=DC或∠B=∠E或∠A=∠D

三、解答题

1.（2013福建福州，17

（1），8分）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：

BC＝BD．

【答案】证明一：

∵AB平分∠CAD，∴∠BAC＝∠BAD，

在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD．

∴BC＝BD．

证明二：

连接CD

∵AC＝AD，AB平分∠CAD，

∴AB垂直平分CD，∴BC＝BD．

2.（2013四川内江，18,8分）已知：

如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

，D为AB边上一点.

求证：

BD=AE.

【答案】∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形

∴CD=CE，∠ECD=∠ACB=90°

∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD

即∠ECD=∠ACB

在△ACE与△BCD中

∴△ACE≌△BCD.

∴BD=AE.

3.（2013山东烟台，25，10分）

已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；

（2））如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明.

【答案】解：

（1）AE∥BF，QE＝QF.

（2）QE＝QF

证明：

延长FQ交AE于点D.

∵AE∥BF，∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4，AQ＝BQ，

∴△AQD≌△BQF，∴QD＝QF.

∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD中线，

∴QE＝QF.

（3）

（2）中结论仍然成立.

理由：

延长EQ、FB交于点D，

∵AE∥BF，∴∠1＝∠D.

∵∠2＝∠3，AQ＝BQ，

∴△AQE≌△BQD.∴QE＝QD.

∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE中线.

4.（2013江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

　　●操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）

①AF=AG=

AB；

②MD=ME；

③整个图形是轴对称图形；

④∠DAB=∠DMB．

●数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？

请给出证明过程；

●类比探索：

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

答：

．

●操作发现：

①②③④

答：

MD=ME，MD⊥ME，

先证MD=ME；

如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中点，

∴MF∥AC，MF=

AC，

又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，

∴EG⊥AC且EG=

∴MF=EG，

同理可证DF=MG，

∵MF∥AC，

∠MFA=∠BAC=180°

同事可得∠MGA+∠BAC=180°

∴∠MFA=∠MGA，

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°

同理可得∠DFA=90°

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，

即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴MD=ME，

再证MD⊥ME；

证法一：

∵MG∥AB，

∴∠MFA+∠FMG=180°

又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF，

∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°

其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°

∴∠DME=90°

即MD⊥ME；

证法二：

如图2，MD与AB交于点H，

∵AB∥MG，

∴∠DHA=∠DMG，

又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH

即∠DHA=∠FDM+90°

∵∠DMG=∠DME+∠GME，

●类比探究

等腰直角三解形

5.（2013浙江湖州，23，10分）

第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：

如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°

，BO⊥AC于点O．点P，D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E．

△BPO≌△PDE.

（1）理清思路，完成解答

本题证明的思路可以用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．

（2）特殊位置，证明结论

若BP平分∠ABO，其余条件不变．求证：

AP=CD．

（3）知识迁移，探索新知

若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D'

，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

图①图②

第23题

（1）证明：

∵PB=PD，∴∠PBD=∠2，

∵AB=BC，∠ABC=90°

，∴∠C=45°

∵BO⊥AC于点O，∴∠1=45°

，∴∠1=∠C=45°

∵∠3=∠PBD−∠1，∠4=∠2−∠C，

∴∠3=∠4，又∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°

∵PB=PD，∴△BPO≌△PDE.

（2）由

（1）可得∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，又∵∠A=∠C，PB=PD，

∴△ABP≌△CPD，∴AP=CD．

（3）CD′与AP'

的数量关系是：

CD′=

AP′．

6.（2013浙江温州市，18，8分）如图，在△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.

（1）求证：

△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°

，CD=1，求BD的长.

∵AD平分∠CAB.

∴∠CAD=∠EAD.

∵DE⊥AB,∠C=90°

∴∠ACD=∠AED=90°

又∵AD=AD，

∴△ACD≌△AED.

（2）解：

∵△ACD≌△AED

∴DE=CD=1.

∵∠B=30°

∠DEB=90°

∴BD=2DE=2.

7.（2013广东湛江，19，8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：

AC=DF．

【解】证明：

∵FB=CE

∴BC=EF

∵AB∥ED∴∠B=∠E

∵AC∥EF∴∠ACB=∠DFE

∴△ABC≌△DEF

∴AC=DF

8.（2013江西南昌，24，12分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：

在等腰△ABC，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）

①AF=AG=

④MD⊥ME.

（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？

（3）类比探究：

（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状.答：

.

（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使

（2）中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？

（限制用题中字母表示）并说明理由.

①②③④

MD=ME，

如图2，

分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

∴MD=ME，

（i）答：

9.（2013内蒙古呼和浩特，18，6分）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC.

求证：

DE=AB.

【答案】.证明：

∵∠1=∠2

∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA

即：

∠BCA=∠ECD.

在△BCA与△ECD中，

∴△BCA≌△△ECD（SAS）.

∴DE=AB.

10.（2013四川凉山州，21，8分）如图，

与

关于O点中心对称，点E、F在线段

上，且

．

∵

关于O点中心对称，

∴

≌

又∵AF=CE，

∴AO-AF=CO-CE，即OF=OE．

∵∠FOD=∠EOB，

∴△FOD≌△EOB（SAS）．

∴FD=BE．

11.（2013广东佛山，22，8分）课本指出：

公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS．

要求：

叙述推论用文字表达；

用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．

解：

（1）一个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（2）已知：

在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，

△ABC≌△DEF

因为∠A＋∠B＋∠C=1800，∠D＋∠E＋∠F=1800（三角形内角和定理）

又∠A=∠D，∠B=∠E（已知）

所以∠C=∠F（等式的性质）。

在△ABC和△DEF中，∠B=∠E（已知），BC=EF（已知），∠C=∠F（已证）

所以△ABC≌△DEF（ASA）

12.（2013湖南永州，21，8分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3．

BN=DN；

（2）求△ABC的周长．

【解】

（1）∵AN平分∠BAC

∴∠BAN=∠DAN

∵BN⊥AN于

∴∠ANB=∠AND=90°

又∵AN=AN

∴△ABN≌△AND

∴BN=DN

（2）∵BM=CD，MN=3

∴CD=2MN=6

∵△ABN≌△AND,AB=10

∴AD=AB=10

∴△ABC的周长=10+10+6+15=41

13.（2013湖北荆门，19，9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

BE＝CE；

（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°

，原题设其它条件不变．

△AEF≌△BCF．

【答案】证明：

（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．

在△ABE和△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

△ABE≌△ACE．

∴BE＝CE．

（2）∵∠BAC＝45°

，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．

由

（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°

，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF．

14.（2013福建泉州，20，9分）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：

BE=CF.

∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD

∵BE⊥AD,CF⊥AD

∴∠BED=∠CFD=90°

∵∠BDE=∠CDF

∴△DBE≌△CDF

∴BE=CF.

15.（2013四川省宜宾市，18,3分）（本小题6分）如图，点D、E分别在AB、AC上，AB=AC，BD=CE．求证：

BE=CD.

【解答过程】证明：

∵AB=AC,BD=CE,

∴AB－BD=AC－CE，即AD=AE,………………………（2分）

又∵∠A=∠A,AB=AC，…………………………（3分）

∴△ABE≌△ACD（SAS），…………………………（5分）

∴BE=CD．…………………………（6分）