测量物体的高度.docx

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测量物体的高度

名师辅导

教学内容：

测量物体的高度

Ⅰ．背景材料

为什么埃拉托色尼能够成为第一个推算出地球周长的人？

2000多年前，古希腊的埃拉托色尼用简单的测量工具计算出地球的周长．

埃拉托色尼（约公元前275～前194年）博学多才，他通晓天文地理，是诗人、历史学家、语言学家和哲学家，曾担任过亚历山大博物馆馆长．

在离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿塞旺附近），夏日正午的阳光可以直照井底，因而此时地面上所有的直立物都应该没有影子，但亚历山大城地面上的直立物却仍有影子．细心的埃拉托色尼发现了这一现象，他认为直立物的影子说明亚历山大城的阳光与直立物形成了夹角．根据地球是圆球和阳光直线传播这个前提，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线所形成的夹角，再根据两地之间的距离，便能计算出地球的周长．埃拉托色尼按照相似三角形的关系，测出夹角为7°，是地球圆周角的五十分之一，因此推算出地球周长约为4万公里，这一结果与实际周长相差无几．他还算出太阳与地球之间的距离为1．47亿公里，结果与实际距离1．49亿公里也惊人的相近．

埃拉托色尼为什么能成为第一个推算出地球周长的人呢？

Ⅱ．课前准备

一、课标要求

1．经历设计活动方案，自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程．

2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得到符合实际的结果．

3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．

4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．

二、活动准备

1．测倾器两个．

2．皮尺或卷尺等测量工具．

三、预习提示

1．关键概念：

测倾器的制作及使用方法．

2．关键原理：

直角三角形边角关系的知识．

3．预习方法提示：

本节课属于活动课，首先讨论，设计方案，然后进行实地测量．

四、预习效果反馈

1．简单的测倾器由，和组成．

2．测量底部可以到达的物体的高度就是已知和，求，但必须注意最后还须再加上的高度．

3．测量底部不可以到达的物体的高度往往需要测两次和一次，最后也要再加上的高度．

Ⅲ．课堂跟讲

一、背记知识随堂笔记

测量高度

二、教材中“？

”解答

1．问题（P26）解答：

直接读出测倾器的指示数．因为当测仰角时用到“同角的余角相等”．测俯角时用到“对顶角相等”“同角的余角相等”．

2．活动二的问题（P26）解答：

MN=ME＋EN=ι·tanα＋a．理由：

在Rt△MEC中，已测得EC=AN=ι，∠MCE=α，∴tanα=．

∴EM=EC·tanα=ι·tanα．∴MN=ι·tanα＋a．

3．活动三的问题（P27）解答：

MN=ME＋a，而－=b．理由：

在Rt△MED中，tanβ=，∴ED=．在Rt△MEC中，tanα=，EC=．又∵EC－ED=DC，故－=b．由此式可求出ME的长，而MN=ME＋EN=ME＋a．

4．议一议（P27）解答：

（1）测量物体高度的方法除本节外，还有利用相似三角形测影长与物高的比例，构造直角三角形等．

（2）如图1-5-1，测出M的仰角∠MCE=α，测倾器的高AC=a，然后根据AN=即可求出测点A到物体MN的水平距离AN．

三、重点难点易错点讲解

重点难点：

1．测倾器的制作

简易测倾器可以自己制作，用木板做一个半圆刻度盘，半径是15～20cm（90°～0°～90°），用螺钉螺母把它和一根长130cm的木杆联在一起，并在半圆圆心处挂一铅垂线，直径的两端钉两个标针（如图1-5-2）．当大杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的．

2．用测倾器测量倾斜角的方法

（1）把测倾器插在一点（图1-5-3），使测倾器的木杆的中心线与铅垂线重合，这时标针连线在水平位置；

（2）转动半圆刻度盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处；

（3）根据同角的余角相等，可以知道，所测倾斜角即仰角∠EOB等于铅垂线与零度线间所夹的角，读出铅垂线所指的度数，就是∠EOB的度数．

注意：

（1）测倾器可用教学时用的量角器（木制的，半径为20cm）只需把指针换成一根杆，长约130cm，把刻度改为（90°～0°～90°），如图1-5-4所示．

（2）90°～0°～90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左、向右分别增加到90°为止，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°～180°．

（3）测倾器的制作和使用原理是：

同角的余角相等．

3．测量底部可以到达的物体的高度如图1-5-5，以测量旗杆AB的高度为例，如果从测点到旗杆底部的水平距离可以直接量得，高度AB就可以测出，具体如下：

（1）工具——测倾器、卷尺．

（2）步聚：

①在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α．

②量出仪器的高CD=EB=b，和测点D到旗杆的水平距离BD=CE=a．

③按照AB=atanα＋b的表达式，就可求得旗杆高．这是因为AB=AE＋EB=atanα＋b．

4．测量底部不可以到达的物体的高度，如图1-5-6，以测量物体MN的高度为例，如果两个测点A、B之间的距离可以测得，高度MN就可以测出，具体如下：

（1）工具——两个测倾器、卷尺．

（2）步骤：

①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α．

②在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角∠MDE=β．

③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A、B之间的距离AB=b．按照－=b，MN=ME＋a，就可求得MN的高．

易错点：

1．半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左，向右分别增加到90°为止，不能误认刻度是0°～180°．

2．眼睛与两个标针不在同一直线上．测量时必须保证眼睛与两个标针在同一直线上（视线上），同时在测倾斜角时眼睛、两个标针及目标点也应位于同一直线上．

【例】某同学要测量操场上旗杆AB的高度，现已将测得的数据填入下表，请你完成下列实验报告．

题目

测量底部可以到达的旗杆高

测量目标

测得数据

测量项目

第一次

第二次

平均值

BD的长

a=20．15m

a=19．97m

测倾器的高

b=1．23m

b=1．21m

倾斜角

α=30°15′

α=29°45′

计

算

过

程

思维入门指导：

求出a和b的平均值，再解直角三角形．

解：

==20．06，==1．22，==30°．

在Rt△ACE中，∠ACE=，EC=．∵tan∠ACE=，∴AE=EC·tan∠ACE=·tan．∴AB=AE＋BE=·tan＋1．22=20．06×＋1．22=12．8（m）．

答：

旗杆高12．8m．

点拨：

a、b和α的平均值应求准．

四、经典例题精讲

【例】如图1-5-7，A、B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B．现有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测有器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）．

（1）请你设计一个测量B楼高度的方法：

要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量图形；

（2）用你测量的数据（用字母表示），写出计算B楼高度的表达式．

思维入门指导：

本题是一道开放性试题，摘自2002年重庆市中考题，解题方法很多，表达式也是多种多样的．

解：

（1）如图1-5-8，设AC为A楼，BD表示B楼，测量步骤为：

①用测角器在A楼的顶端A点测量到B楼楼底的俯角α．

②用测角器在点A测量B楼楼顶的仰角β．

③用皮尺从A楼顶放下，测量点A到地面的高度为α．

（2）如图1-5-8，在Rt△ACD中，CD=a×tan∠DAC=．

在Rt△AEB中，BE=AE·tanβ．∵AE=CD，∴BE=·tanβ．

∴B楼高BD=BE＋ED=BE＋AC=·tanβ＋a=a（1＋）．

点拨：

如果在A楼底端C点测仰角∠BCD，应考虑测角器的高度或身高，不能忽略．

Ⅳ．当堂练习（5分钟）

如图1-5-9，在测量旗杆AB的高度时，有以下几个测量步骤：

①量出仪器高CD=BE=b和水平距离BD=a．

②在测点D处安装测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α．

③选定测点D．

④按照AB=AE＋b=atanα＋b的表达式求得AB的高．

请你重新排出正确的测量步骤的序号．

【同步达纲练习】

Ⅴ．课后巩固练习

（80分90分钟）

一、基础题（4题12分，其余每题4分，共24分）

1．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼离地面1．5m，则旗杆高度约为．（精确到0．1m，≈1．73）

2．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远的一块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影．如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生眼部高度是1．5m，那么旗杆的高度是．

3．如图1-5-10，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进20m到达D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度为．（精确到0．1m，参考数据：

=1．414，=1．732）

4．如图1-5-11，在侧面为矩形MNPQ的平台上正中竖立一根旗杆CD．已知平台高MQ=3m，宽MN=2m，AN为平台的斜坡．当五星红旗上升5m，到达E点时，从A处测得E点的仰角为45°；当红旗到达顶端D处时，在A点测得其仰角为60°，

（1）计算旗杆的高度；

（2）当旗手A沿坡AN上到平台至少需走多远？

（结果均不取近似值）

二、应用题（每题10分，共30分）

5．如图1-5-12，河对岸有高层建筑物AB，为测量其高度，在C处由点D用测倾器测得顶端A的仰角为30°．向高层建筑物前进50m，到达C′处，由点D′测得顶端A的仰角为45°．已知测倾器高CD=C′D′=1．2m，求高层建筑物AB的高．（取1．732）

6．如图1-5-13，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15°的坡面以5km/h的速度行至D点，用了12min，然后沿坡角为20°的坡面以3km/h的速度到达山顶A点，用了10min，求山高（则AC的长度）用A、B两点的水平距离（即BC的长度）．（精确到0．01km，sin15°=0．2588，cos15°=0．9659，sin20°=0．3420，cos20°=0．9397）

7．已知小山的高为h，为测量小山顶上的铁塔AB的高x，在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为α，A的仰角为β（见表中测量目标图）．

题目

测量山顶铁塔高

测量目标

已知数据

山高BC

h=153．48m

测量项目

第一次

第二次

平均值

测得数据

仰角α

29°17′

29°19′

α=

仰角β

34°01′

33°57′

β=

（1）试用α、β和h的关系表示铁塔高x；

（2）在表中根据第一次和第二次的“测量数据“，填写“平均值”一列中α、β的数值；

（3）根据表中数据求出铁塔高x的值．（精确到0．01m）

三、中考题（26分）

8．（2003，南宁，8分）下表是小明同学填写实习报告的部分内容．

题目

在两岸近似平行的河段上测量河宽

测量

目标

图示

测得

数据

∠CAD=60°，AB=20m

∠CBD=45°，∠BDC=90°

请你根据以上条件，计算出河宽CD．（结果保留根号）

9．（2003，辽宁，10分）如图1-5-14所示，山上有一座铁塔，山脚下一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺