运筹学上机习题Word文档格式.docx
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已知一名正式职工11点开始上班，工作4个小时后，休息1小时，而后再工作4小时，另一名正式职工13点开始上班，工作4小时，休息1小时，而后再工作4小时，又已知临时工每小时的工资为4元。
（1）在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小？
（2）这时付给临时工的工资总额为多少？
一共需要安排多少临时工的班次？
请用剩余变量来说明应该安排一些临时工的3小时工作时间的班次，可使得总成本更小。
（3）如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小
①设第i点钟需要的临时工人数为xi个，i=1,2,....11；
x1表示第11点需要的临时工数，……，x11表示第21点需要的临时工数。
目标函数：
Minz=16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11）
约束条件：
s.t.X1+1≥9
X1+x2+1≥9
X1+x2+x3+2≥9
X1+x2+x3+x4+2≥3
X2+x3+x4+x5+1≥3
X3+x4+x5+x6+2≥3
X4+x5+x6+x7+2≥6
X5+x6+x7+x8+1≥12
X6+x7+x8+x9+2≥12
X7+x8+x9+x10+1≥7
X8+x9+x10+x11+1≥7
xi≥0（i=1,2....11）
求解如图：
（1）可知第一班次招临时工8人，第三班次招临时工1人，第五班次招临时工1人，第六班次招临时工4人，第八班次招临时工6人，从而可使得成本最低为320元
（2）这时付给临时工的工资总额为320元，一共需要安排20个临时工的班次。
因为临时工的工作时间为4小时，而实际工作仅需要3小时。
在13：
00－14：
00招用的临时工，剩余变量为2；
在16：
00－17：
00招用的临时工，剩余变量为5。
都是因为实际工作要求达不到4小时，这部分费用为4小时工作时长的不合理多支出的成本。
因此建议安排3小时工作时长的临时工，可以使成本更小。
（由下图所得）
（3）需要4小时临时工的人数为6个，需要3小时临时工的人数为14个，则最少时间为66小时，可以比问题1中少用14小时。
生产计划优化问题
2.教材P672.20题,
解：
设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量。
建立如下的数学模型:
s.t.5x111+10x211≤6000（设备A1）
7x112+9x212+12x312≤10000（设备A2）
6x121+8x221≤4000（设备B1）
4x122+11x322≤7000（设备B2）
7x123≤4000（设备B3）
x111+x112-x121-x122-x123=0（Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等）
x211+x212-x221=0（Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等）
x312-x322=0（Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）
xijk≥0,i=1,2,3;
j=1,2;
k=1,2,3
目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：
利润=[（销售单价-原料单价）*产品件数]之和-（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。
这样得到目标函数：
Max=0.1.5x111+1.5506x112+2.3x221-0.5778x212+3.8296x312-0.75x121-x221-0.8279x122-2.4609x322-0.7x123
3.教材P913.11题
③Maxz=14.8X1+23.8X2+9.7X3+14.6X4+24.3X5+24X6+25X7
s.t.
0.80
X1+0.65X2+0.95X3+1.10X4+0.60X5+0.65X6+0.80X7≤42000
0.085X1+0.090X2+0.090X3+0.095X4+0.1X5+0.08X6+0.09X7≤5000
0.05X1+0.03X2+0.05X3+0.05X4+0.04X5+0.06X6+0.04X7
≤3600
（24X1+22.5X2+28.5X3+21X4+15X5+16.5X6+19.5X7）/3≤350000
X1≥1000
X2≥1000
X3≥1000
X4≥1000
X5≥1000
X6≥1000
X7≥1000
X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7≥0
（1）如下图，最有生产方案唯一
（2）产品五的单位价格只要不超过30元，现行生产方案保持最优
（3）增加环织部门的工时，能增加3.333小时，单位费用不超过300是合算的
（4）总利润会增加
（5）从第三个图可以知道，当针织机的工时超过了41056.25小时之后，对最优生产方案都是没有影响的，所以不能通过增加针织机的工时来提高总利润
（6）最优生产方案中，产品6和产品7的产量将增加，总利润也将增加。
4.家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。
该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。
问：
（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？
（2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？
（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？
（4）该厂应优先考虑购买何种资源？
（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？
家具类型
劳动时间
（小时/件）
木
材
（单位/件）
玻
璃
单位产品利润
（元/件）
最大销售量
（件）
2
4
6
60
100
1
20
200
3
40
50
30
可提供量
400小时
600单位
1000单位
设四种家具的日产量分别为X1，X2，X3，X4，根据题意可得线性规划模型如下：
Max
z=60X1+20X2+40X3+30X4s.t.
2X1+X2+3X3+2X4≤400
4X1+2X2+1X3+2X4≤6006X1+2X2+1X3+2X4≤1000X1≤100X2≤200X3≤50X4≤100X1，X2，X3，X4≥0下图是使用QM求解的输出结果：
因此生产计划为（X1，X2，X3，X4）=（100,80,40，0）时，日利润最大，最大利润为9200元。
2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？
由上图可知，劳动时间的影子价格为12元，因此家具厂用10元/h加班费雇佣工人时，是有利于家具厂的。
由下图可知，劳动时间的可变范围是[300,425]，原计划是400小时，且劳动时间的影子价格为12元，当劳动时间变成398时，生产计划不变，日利润将减少（400-398）*12=24元。
该厂应该优先考虑购买劳动时间。
因为劳动时间的隐含价值最高。
当第一种家具单位利润下降到55元时，仍在家具1的单位利润可变范围内，生产计划不变，因此日利润将减少100*（60—55）=500元。
5.某厂生产甲乙两种口味的饮料每百箱甲饮料需用原料6千克，工人10名，可获利10万元；
每百箱乙饮料需用原料5千克，工人20名，可获利9万元。
今工厂共有原料60千克，工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。
问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
进一步讨论：
（1）若投资0.8万元可增加原料1千克，问应否作这项投资。
（2）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，问应否改变生产计划。
⑤设甲饮料和乙饮料的产量分别为X1，X2百箱，根据题意可得线性规划模型如下：
Maxz=10X1+9X2s.t.6X1+5X2≤6010X1+20X2≤150X1≤800X1，X2≥0下图是使用QM求解的输出结果：
由输出结果可知，当生产计划为（X1，X2）=（6.4286,4.2857）时，获利最大，最大获利为102.8571万元
（1）由下图可知，原料的影子价格为1.5714万元，因此若投资0.8万元增加1千克原料时，该厂可以从中获利，应该作此项投资
（2）由上图可知，甲饮料每百箱的利润可变范围为[4.5,10.8]，若增加1万元，每百箱利润变为11万元，超过可变范围，因此会改变生产计划。
配料问题：
6.教材P903.10题
（1）解：
设xi表示第i个地点，建立如下的数学模型:
s.t.10X1+3X2+8X3+2X4>
=590X1+150X2+75X3+175X4>
=100
45X1+25X2+20X3+37X4>
=30X1+X2+X3+X4=1
Min=800X1+400X2+600X3+500X4
下图是使用QM求解的输出结果：
因此最优混料配比为（X1，X2，X3，X4）=（0.2593,0.7037,0.037，0）时，成本最低，最低成本为511.11元。
（2）每吨最有混合料中各种基本元素的含量是：
A元素：
10*0.2593+3*0.7037+8*0.037+2*0=5.0001
B元素：
90*0.2593+150*0.7037+75*0.037+175*0=131.667
C元素：
45*0.2593+25*0.7037+20*0.037+37*0=30.001
（3）如下图，若将基本元素A降低到4.75KG，则最优混料配比和总成比不变
若将基本元素A提高到8KG，则最优混料配比变为（X1，X2，X3，X4）=（0.5556,0.2222,0.2222，0），最低成本变为666.67元
（4）据上题图，降低配料基本元素B的最低需要量不能降低成本
（5）如下图，则最优混料配比变为（X1，X2，X3，X4）=（0.2593,0.7037,0.037，0），最低成本变为546.3元
（6）如题3图可知，从地点4运来的矿石的成本至少每吨降低到大约408元。
7.某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表所示。
饲料
蛋白质/g
矿物质/g
维生素/mg
价格/元/kg
0.5
0.2
1.0
0.7
0.4
0.3
18
0.8
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料方案。
市场应用问题
8.教材P662.16题
设X1、X2、X3、X4分别表示电视白昼时间，电视热门时间，广播和杂志，建立如下的数学模型:
s.t.X1>
=3X2>
=25<
=X3>
=105<
=X4>
=10
8000X1+15000X2+6000X3+3000X4<
=160000
30000X1+40000X2+20000X3+1000X4>
=200000
Max=40000X1+90000X2+50000X3+2000X4
因此最广告计划为（X1，X2，X3，X4）=（3,4.0667,10，5时，受到影响的总人数最多为996000人。
9.超级食品公司的营销部副总裁克莱略·
希文生正面临着一项棘手的挑战：
如何才能大规模地进入已经有许多供应商的早点谷类食品市场。
值得庆幸的是，该公司的早点谷类食品“CrunchyStart”有许多受欢迎的优点。
克莱略·
希文生对这一切都如数家珍，她知道这一食品是能够赢得这次促销活动的。
克莱略已经雇用了一流的广告公司G&
J来帮助设计全国性的促销活动，以使“CrunchyStart”取得尽可能多的消费者的认可。
超级食品公司将根据广告公司所提供的服务付给一定的酬金（不超过100万美元）并以预留了另外的400万美元作为广告费用。
G&
J已经确定了这一产品最有效地三种广告媒介。
媒介1：
星期六上午儿童节目的电视广告
媒介2：
食品与家庭导向的杂志上的广告
媒介3：
主要报纸星期天增刊上的广告
要解决的问题是如何确定各广告活动的使用水平以取得最有效地广告组合。
该问题的三种有限资源分别为：
资源1：
广告预算（400万美元）
资源2：
计划预算（100万美元）
资源3：
可获得的电视广告时段（5）
问题：
克莱略决定在电子表格上建立线性规划模型来解决这一问题。
a）请写出该问题的数学模型；
b）写出该问题的对偶问题，并指出最优解；
c）如果广告预算的可得费用增加50万元，目标函数值会发生什么样的变化？
d）每次杂志广告和每次期刊广告的广告受众期望量分别在什么范围内变化时，该问题的最优解保持不变？
e）每次儿童电视广告的广告受众期望量发生什么样的变化时才可以考虑采用它？
f）该公司正在考虑采用一种新的电台广告媒介，每次电台广告的广告受众量为90万，需要使用20万美元的广告预算和4万美元的规划预算，是否应该采用这种新的广告媒介？
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