初三数学函数综合题型及解题方法讲解.docx

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初三数学函数综合题型及解题方法讲解

二次函数综合题型精讲精练

题型一:

二次函数中的最值问题

例１：

如图,在平面直角坐标系中,抛物线ｙ＝ax２+bx+c经过A（﹣２,﹣４）,O（0,０）,Ｂ（2,0）三点.

（１）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

解析：

（1）把Ａ（﹣2，﹣4），O（0,０）,Ｂ（２，0）三点的坐标代入ｙ＝ａx2+bx+ｃ中，得

ﻩ

解这个方程组,得a=﹣，ｂ=1，c=０

所以解析式为y＝﹣x2+ｘ.

（２）由y=﹣ｘ２+x=﹣（x﹣1）2+,可得

抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB

∴OM=BM

∴OM+AM=BM+ＡＭ

连接ＡＢ交直线x=1于M点,则此时ＯM+ＡM最小

过点A作AＮ⊥x轴于点N,

在Rt△ABN中,AB＝==4,

因此OＭ＋AＭ最小值为．ﻩ

方法提炼:

已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM＋BM最小值的问题,我们只需做出点A关于这条直线的对称点Ａ’,将点B与A’连接起来交直线与点M,那么A’B就是AM+ＢM的最小值。

同理,我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点Ａ与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。

应用的定理是：

两点之间线段最短。

　　Ａ　　　　　　　　　　　　　　A

　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　B

　　　　　M或者　　　M

　　A’　　　　　　　　　　　　　　B’

例2：

已知抛物线的函数解析式为,若抛物线经过点,方程的两根为，,且。

（１）求抛物线的顶点坐标．

（2）已知实数,请证明：

≥,并说明为何值时才会有.

（３）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线,设，是上的两个不同点，且满足:

，,.请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。

解析:

（1）∵抛物线过（０,－3）点，∴-３a=－3

　　　∴ａ=１　　　　

　　∴y＝x２+bx－３

　　∵x2＋bx－３=０的两根为x１,x２且=4

∴＝4且b<0

∴ｂ＝－２　　　　　　　　　

∴y=x2－２x－3=（x-1）２－４

∴抛物线C１的顶点坐标为（１,-４）　　

（2）∵x>0，∴

∴显然当x＝１时，才有

（3）方法一:

由平移知识易得Ｃ２的解析式为：

y=x２　

∴A（m，ｍ２），Ｂ（n,n２）

∵ΔAＯＢ为RｔΔ

∴OA２+OB2=AB2

∴m２+m４＋n２＋ｎ４＝（m-n）2+（m２-ｎ２）２

化简得：

ｍ　ｎ＝－1　　　　　　　　

∵ＳΔAOB＝=

∵m　n＝-1

∴ＳΔAＯB＝

＝

∴ＳΔAOＢ的最小值为1，此时m=１,A（１,１）　

∴直线OA的一次函数解析式为ｙ=x　

方法提炼:

①已知一元二次方程两个根x1，ｘ2，求｜x１－ｘ2｜。

因为｜ｘ1－x２|=

②

例３:

如图,已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（３，0）、C（0，3）三点．

（１）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合）,过M作MN∥ｙ轴交抛物线于N，若点Ｍ的横坐标为m,请用m的代数式表示ＭN的长．

（3）在

（2）的条件下,连接NB、NC,是否存在ｍ，使△BNC的面积最大?

若存在,求m的值；若不存在,说明理由.

解析：

（1）设抛物线的解析式为:

y＝a（x+1）（ｘ﹣3）,则:

a（０+1）（０﹣３）=3，ａ=﹣１；

∴抛物线的解析式：

y＝﹣（ｘ+1）（ｘ﹣3）=﹣x2＋2x+3.

（2）设直线BC的解析式为:

ｙ=kx+b,则有：

，

解得;

故直线BＣ的解析式：

ｙ=﹣x+３.

已知点M的横坐标为m,则Ｍ（ｍ,﹣ｍ+３）、N（m,﹣m2+２m+3）；

∴故MN=﹣ｍ2＋２m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（０＜m＜3）.

（３）如图；

∵S△ＢNC=S△MNＣ+S△ＭNB=MN（OD+ＤB）=MＮ×OB,

∴S△BNC=（﹣m２+3ｍ）×３=﹣（m﹣）2+（0＜ｍ＜3）;

∴当m＝时，△BＮC的面积最大，最大值为.

方法提炼:

因为△BNＣ的面积不好直接求,将△BNC的面积分解为△MＮC和△MNB的面积和。

然后将△BNＣ的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。

此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值;当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值。

题型二：

二次函数与三角形的综合问题

例4：

如图，已知：

直线交x轴于点A,交y轴于点Ｂ,抛物线y=ａx２+bｘ+ｃ经过Ａ、Ｂ、C（1,0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-１，０）,在直线上有一点P，使ΔABＯ与ΔADP相似，求出点P的坐标;

（3）在（２）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APＣE的面积?

如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由．

解：

（１）：

由题意得，Ａ（3,0）,B（０，３）

∵抛物线经过A、B、C三点,∴把A（3，０），Ｂ（0,3），C（1，０）三点分别代入得方程组

解得：

∴抛物线的解析式为　

（２）由题意可得：

△ABO为等腰三角形,如图所示，

若△ABO∽△ＡP1Ｄ,则

∴DＰ1=AＤ=4　,

∴P1

若△ABO∽△AＤP２,过点Ｐ2作P２M⊥x轴于M,AD=4,

∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：

ＤＭ=AＭ=2=P2M，

即点M与点C重合∴P2（１,2）

（3）如图设点E，则

①当P1（-1，4）时，

S四边形AP1ＣE=S△ACＰ1+S△AＣＥ

=　

　ﻩﻩ　∴　∴

∵点E在ｘ轴下方∴

代入得：

即　

∵△=（-4）2-4×7＝－12<0

∴此方程无解

②当P２（1,2）时,S四边形AP2ＣE=Ｓ三角形ＡCＰ2＋S三角形ACE　=　　

　ﻩ∴　∴

∵点E在x轴下方∴　代入得：

即，∵△=（-4）2-4×5=-4<0

∴此方程无解

综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点Ｅ。

方法提炼：

①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。

②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标,然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。

如果图形面积直接求不好求的时候,我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。

例5：

如图，点A在x轴上,ＯA=4，将线段OＡ绕点Ｏ顺时针旋转120°至OB的位置.

（1）求点B的坐标；

（２）求经过点Ａ．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P，使得以点Ｐ、Ｏ、B为顶点的三角形是等腰三角形?

若存在,求点P的坐标；若不存在，说明理由.

解析:

（1）如图，过B点作ＢC⊥x轴，垂足为Ｃ,则∠BCＯ=90°,

∵∠AOB=1２0°,

∴∠BOＣ=60°,

又∵OA=OB=4，

∴OC=OＢ=×4＝2，ＢC=OB•ｓin6０°=4×=２,

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）;

（2）∵抛物线过原点O和点A．B,

∴可设抛物线解析式为ｙ＝ax2＋bｘ,

将Ａ（4，0）,B（﹣2．﹣2）代入,得

解得,

∴此抛物线的解析式为ｙ=﹣ｘ2+x

（3）存在，

如图,抛物线的对称轴是x=２，直线ｘ=２与ｘ轴的交点为Ｄ,设点P的坐标为（2，y）,

①若OB＝OP，

则2２+|y|2=4２，

解得y=±２，

当y=2时，在Rｔ△POＤ中，∠PDO=90°,sin∠POD＝＝,

∴∠ＰOＤ=60°,

∴∠POB＝∠ＰOD+∠AＯB=60°＋1２0°=1８0°,

即P、O、B三点在同一直线上，

∴y=２不符合题意，舍去,

∴点P的坐标为（2,﹣2）

②若ＯB=PB，则４2+|y＋2｜２=42，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣２），

③若OＰ=ＢP,则２２+｜y|２＝4２+|y+2｜２，

解得y=﹣２,

故点P的坐标为（２,﹣2）,

综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为（２,﹣2），

方法提炼：

求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。

因为要使一个三角形成为等腰三角形,只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。

题型三：

二次函数与四边形的综合问题

例６:

综合与实践:

如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x＋3与x轴交于A．B两点，与ｙ轴交于点C，点Ｄ是该抛物线的顶点.

（1）求直线AC的解析式及B,D两点的坐标;

（２）点Ｐ是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Ｑ,试探究:

随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A.P、Ｑ、Ｃ为顶点的四边形是平行四边形？

若存在,请直接写出符合条件的点Ｑ的坐标；若不存在，请说明理由.

（３）请在直线ＡC上找一点M,使△BＤM的周长最小,求出Ｍ点的坐标.

解析：

（１）当y=0时,﹣x２+２ｘ＋３＝0,解得x1=﹣1,x2＝3．

∵点A在点Ｂ的左侧,

∴A．B的坐标分别为（﹣1,０）,（3,0）.

当x=0时,ｙ=3.

∴C点的坐标为（0,3）

设直线ＡC的解析式为y＝ｋ1ｘ+b1（k1≠０）,

则,

解得，

∴直线ＡC的解析式为y=3ｘ+３．

∵y=﹣ｘ2+2x＋3=﹣（ｘ﹣1）２+4,

∴顶点D的坐标为（1，４）．

（2）抛物线上有三个这样的点Ｑ，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，３）；

②当点Ｑ在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,

代入抛物线可得点Q２坐标为（1＋,﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q３的纵坐标为﹣3,

代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）;

综上可得满足题意的点Q有三个,分别为：

Q1（2,3）,Q2（1+，﹣３）,Q3（1﹣，﹣3）．

（3）点B作BＢ′⊥AＣ于点F，使B′F=ＢF，则B′为点B关于直线ＡＣ　的对称点.

连接B′Ｄ交直线AC与点M，则点M为所求，

过点B′作Ｂ′E⊥ｘ轴于点E.

∵∠１和∠2都是∠3的余角，

∴∠1=∠2.

∴Ｒt△AＯC～Rt△AFB,

∴,

由A（﹣1,0），B（３，0）,Ｃ（0，３）得OA=1,ＯB=3,OC=3，

∴AＣ=,AB=４.

∴,

∴BF＝，

∴BＢ′＝２BF=,

由∠1=∠２可得Ｒｔ△AOC∽Ｒt△B′ＥＢ,

∴，

∴，即.

∴B′E=，BE=,

∴ＯE=BE﹣ＯB＝﹣３=．

∴Ｂ′点的坐标为（﹣，）.

设直线B′D的解析式为y＝k2ｘ+b２（k２≠0）．

∴,

解得，

∴直线B'D的解析式为:

y=x+，

联立B'D与AC的直线解析式可得：

，

解得,

∴M点的坐标为（，）．

方法提炼：

求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件,这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。

题型四：

二次函数与圆的综合问题

例7：

如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与ｙ轴的正半轴交于点B，点Ｃ的坐标为（1,0）.若抛物线过A、B两点.

（１）求抛物线的解析式；

（２）在抛物线上是否存在点Ｐ,使得∠ＰBO=∠ＰOB？

若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由;

（３）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△ＭAB的面积为Ｓ，求S的最大（小）值.

解析：

（1）如答图１，连接OＢ．

∵BC=2，OC=1

∴OＢ=

∴Ｂ（０，）

将A（3，