初三数学函数综合题型及解题方法讲解.docx

1、初三数学函数综合题型及解题方法讲解二次函数综合题型精讲精练题型一:二次函数中的最值问题例：如图,在平面直角坐标系中,抛物线ax+bx+c经过A（,),O（0,),（2,0）三点.()求抛物线yax2+bx+c的解析式；(2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值 解析：(1)把（2，4），O（0,),(，0）三点的坐标代入x2+bx+中，得解这个方程组,得a=，=1，c=所以解析式为yx2+.(）由y=+x=（x1)2+,可得抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OBOM=BMOM+AM=BM+连接交直线x=1于M点,则此时M+M最小过点A作Ax轴于点N,在RtABN中,

2、AB=4,因此OA最小值为方法提炼:已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AMBM最小值的问题,我们只需做出点A关于这条直线的对称点,将点B与A连接起来交直线与点M,那么AB就是AM+M的最小值。同理,我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B，将点与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A B B M 或者 M A B例2：已知抛物线的函数解析式为,若抛物线经过点,方程的两根为，,且。()求抛物线的顶点坐标(2)已知实数,请证明：,并说明为何值时才会有.()若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线,设，是上的两

3、个不同点，且满足:，,.请你用含有的表达式表示出的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。解析:(1)抛物线过（,3)点，-a=3 = yx+bx x2bx=的两根为x,x且=44且b0，显然当x时，才有 (3)方法一:由平移知识易得的解析式为：y=xA(m，)，(n,n)A为ROA+OB2=AB2m+mn（m-n）2+(m-）化简得：1 AOB=mn-1ABAO的最小值为1，此时m=,A（,） 直线OA的一次函数解析式为=x 方法提炼:已知一元二次方程两个根x1，2，求x2。因为1x|=例:如图,已知抛物线经过点A(1，0)、B（，0）、C(0，3)三点（）求抛物线的解析式(2

4、)点M是线段BC上的点(不与B，C重合）,过M作MN轴交抛物线于N，若点的横坐标为m,请用m的代数式表示N的长(3）在(2）的条件下,连接NB、NC,是否存在，使BNC的面积最大?若存在,求m的值；若不存在,说明理由. 解析：（1）设抛物线的解析式为:ya（x+1)（3）,则:a(+1)（)=3，=；抛物线的解析式：y（+1）（3)=x22x+3.（2）设直线BC的解析式为:=kx+b,则有：，解得;故直线B的解析式：=x+.已知点M的横坐标为m,则（,+)、N（m,m2+m+3）；故MN=2m+3(m+3）=m2+3m（m3）.（)如图；SNC=SMN+SNB=MN(OD+B）=MOB,SB

5、NC=(m+3）=(m)2+（03）;当m时，BC的面积最大，最大值为.方法提炼:因为BN的面积不好直接求,将BNC的面积分解为MC和MNB的面积和。然后将BN的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值;当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例4：如图，已知：直线交x轴于点A,交y轴于点,抛物线y=x+b+经过、C（1,0)三点.（1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-，),在直线上有一点P，使AB与ADP相似，求出点P的坐标;(3)在(）的条件下，在x轴下方的抛物线上

6、，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由解：(）：由题意得，(3,0),B（，)抛物线经过A、B、C三点,把A（3，)，(0,3），C（1，）三点分别代入得方程组 解得：抛物线的解析式为(）由题意可得：ABO为等腰三角形,如图所示，若ABOP1,则D1=A=4 ,P1若ABOAP ,过点2作P Mx轴于M,AD=4, ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：=A=2= P2M，即点M与点C重合 P2（,2）（3)如图设点E ，则 当P1(-1，4)时，S四边形AP1E=SAC1+SA = 点E在轴下方 代入得：

7、 ,即=(-4)2-47120此方程无解当P(1,2）时,S四边形AP2E=三角形C2S三角形ACE= 点E在x轴下方 代入得：即 ，=(-4)2-45=-40此方程无解综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标,然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候,我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例5：如图，点A在x轴上,A=4，将线段O绕点顺

8、时针旋转120至OB的位置.(1)求点B的坐标；(）求经过点O、B的抛物线的解析式；(3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P，使得以点、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标；若不存在，说明理由.解析:(1）如图，过B点作Cx轴，垂足为,则BC=90,AOB=10,BO=60,又OA=OB=4，OC=O=42，C=OBin6=4=,点B的坐标为(2，2);（2)抛物线过原点O和点AB,可设抛物线解析式为ax2b,将（4，0),B（22）代入,得,解得,此抛物线的解析式为=2+x(3）存在，如图,抛物线的对称轴是x=，直线=与轴的交点为,设点P的坐标为（2，y）,若OBOP，则2+|

9、y|2=4，解得y=，当y=2时，在RPO中，PDO=90,sinPOD,O=60,POBOD+AB=6010=10,即P、O、B三点在同一直线上，y=不符合题意，舍去,点P的坐标为(2,2）若B=PB，则2+|y2=42，解得y=2，故点P的坐标为(2，），若O=P,则+y|4+|y+2，解得y=,故点P的坐标为(,2）,综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为（,2），方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形,只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例:综合与实践

10、:如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x3与x轴交于AB两点，与轴交于点C，点是该抛物线的顶点.(1）求直线AC的解析式及B,D两点的坐标;()点是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点,试探究:随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A.P、为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.(）请在直线C上找一点M,使BM的周长最小,求出点的坐标.解析：()当y=0时,x+0,解得x1=1,x23点A在点的左侧,AB的坐标分别为(1,),(3,0).当x=0时,=3.C点的坐标为（0,3)设直线C的解析式为y1+b1(k1),则,解得

11、，直线C的解析式为y=3+y=2+2x3=(1）+4,顶点D的坐标为（1，） （2）抛物线上有三个这样的点，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，)；当点在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q坐标为(1,3)；当点Q在Q3位置时，点Q的纵坐标为3,代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为（1，3);综上可得满足题意的点Q有三个,分别为：Q1（2,3),Q2（1+，）,Q3（1，3) （3）点B作BA于点F，使BF=F，则B为点B关于直线的对称点.连接B交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作E轴于点E.和2都是3的余角，1=2.tACRtAFB,由

12、A（1,0），B(，0),(0，）得OA=1,B=3,OC=3，A=,AB=.,BF，BBF=,由1=可得AOCtB,，即.BE=，BE=,E=BEB=点的坐标为(，）.设直线BD的解析式为yk2+b(k0）,解得，直线BD的解析式为:y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得,M点的坐标为(，)方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件,这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。题型四：二次函数与圆的综合问题例7：如图,半径为2的C与x轴的正半轴交于点A,与轴的正半轴交于点B，点的坐标为(1,0）.若抛物线过A、B两点.(）求抛物线的解析式；()在抛物线上是否存在点,使得BO=OB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由;（)若点M是抛物线(在第一象限内的部分）上一点，AB的面积为，求S的最大（小）值.解析：(1)如答图，连接OBC=2，OC=1O=(，）将A(3，