第11讲 轴对称综合初步Word下载.docx

第11讲 轴对称综合初步Word下载.docx

《第11讲 轴对称综合初步Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第11讲 轴对称综合初步Word下载.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3.轴对称：

最短路径问题的应用

教学难点

1.分类讨论思想在等腰三角形个数及分割问题中的应用

2.转化思想在轴对称翻折问题及最短路径问题中的应用

教学过程

我们一定听说过黄金分割比是0.618，在刚刚学习过的等腰三角形中也有这样一种与黄金分割密切相关的等腰三角形——黄金三角形，它们的两边之比就是黄金比。

而黄金三角形又分为两种：

一种是顶角为36°

的等腰三角形，它的底边与一腰的长度之比为黄金比0.618；

另一种是顶角为108°

的等腰三角形，它同样美观、标准，其一腰与其底边的长度之比为0.618。

我们最常见的五角星，挖去中心的正五边形，就得到五个顶角为36°

的黄金三角形。

我们一起来看看黄金三角形的一些有趣的特征：

顶角为36°

的黄金三角形，被任意一底角的角平分线，分原三角形为两个黄金三角形；

顶角为108°

的黄金三角形，把顶角分成一个72°

和一个36°

分割线，也能把原三角形分成两个黄金三角形。

黄金三角形还有一个非常精致的应用。

如果将两个顶角为36°

的黄金三角形两腰重合，能构成一对“风筝”，将两个顶角为108°

的黄金三角形两腰重合，能构成一对“飞镖”，而使用这种“风筝”和“飞镖”，就能在平面中镶嵌出如下美丽的图案，这就是著名的“彭罗斯拼接”。

与我们之前学习过的用正多边形镶嵌的平面不同的是：

在一定区域，你找不到会重复出现的单元。

用看似枯燥的几何图形，能拼凑出美丽的图案，这就是数学令人折服的美。

知识讲解

轴对称是关于___________对称的图形，要注意图形中隐藏的条件，要将分散的条件集中起来达到解题的目的

考点/易错点1

在平面直角坐标系中，若已知A、B两点的坐标（或位置）要求第三个点C，使得A、B、C三点构成等腰三角形的方法如下：

①连接AB，以点A（或点B）为圆心，线段________的长度为半径作圆，圆周上除点B（或点A）的所有的点，都可以与点A、点B构成等腰三角形。

②连接AB，作线段AB的_______________l，该垂直平分线l上除该线与线段AB交点外的所有的点都能与点A、点B构成等腰三角形。

考点/易错点2

如何把一个三角形分成两个等腰三角形：

分三种情况：

（1）直角三角形：

只要把直角分成一个与原来三角形中最短边的一个大锐角即可，例如如何把一个直角三角形分成两个等腰三角形，角A=90°

，∠B=67.5°

，（三种方法）

①做∠BAE=∠B,交BC于E；

②连接点A到BC中点；

③做AB垂直平分线交BC于E.

（2）锐角三角形：

其中一个角是另一个角的2倍，比如，36°

72°

。

（3）钝角三角形：

可行三角形为其中一个角是另一个角度数的3倍，比如10°

，30°

，140°

或20°

，60°

，100°

或40°

，120°

，20°

亦可。

做两个成倍角所夹边的垂直平分线，与三角形其中一边有一个交点，连接这个点与所在边的对角顶点，即可将三角形分成两个等边三角形。

✓解题关键就是：

将一个三角形分成两个三角形，必是将原三角形的一个角分成两个角，也就是说，分割线必过一个角的顶点，交对边与一点，这样就将对边也分成了两个角。

根据等腰三角形条件和三角恒等式设未知数，假设两种情况并作等量代换，即可得出四个等式（二元一次方程），排除两个不合理的等式（得出两角之和等于90°

，为直角三角形，不符合条件）。

将初始条件（三角形内角和为180°

）与两个等式分别形成方程组，即可得出两个未知数（角度）的关系。

考点/易错点3

等腰直角三角形三边比例为_____________，

含30°

的直角三角形三边比例为_________________。

考点/易错点4

路径最短问题基本图形辅助线作法：

图形及问题

作法及图形

原理

在l上找一点P，使PA+PB最小

PA+PB最小值为AB

（_________________）

在直线l上求一点P，

使AP+BP最小

AP+BP=A’P+BP=A’B

（__________________）

在∠AOB内有一点P，在射线OA、OB上求作C、D两点，

使△PCD周长最小

PC+PD+CD

=P1C+P2D+CD=P1P2，

（___________________）

三、例题精析

【例题1】

【题干】已知点A（2，﹣2），在y轴上找一点P，使△AOP是等腰三角形，这样的点P共有几个？

（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

【变式1】Rt△ACB中，∠C=90°

，∠A=30°

，在直线BC或直线AC上找到一点P，使△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）

6

7

8

【变式2】

（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，

），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　）

5

【例题2】

【题干】在△ABC中∠B=20°

，∠A=110°

，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，顶角是　　．

【变式2】如图

（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°

．

（1）直接写出∠ABC的度数；

（2）如图

（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．

①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；

②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？

若存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；

若不存在，请说明理由．

【例题3】

【题干】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°

，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D、要使点D恰为AB的中点，问在图中还要添加什么条件？

（1）写出两条边满足的条件：

　　；

（2）写出两个角满足的条件：

（3）写出一个除边、角以外的其他满足条件：

　　．

【变式1】将宽为2cm的长方形折成如图的形状，折痕AB的长是（　　）

【变式2】如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：

（1）将△BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AE，如图②；

（2）将△AEB沿BF折叠，AE与DC交点F，如图③．则所得梯形BDFE的周长等于（　　）

12+2

24+2

24+4

12+4

【例题4】

【题干】如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？

为什么？

【变式1】作图题，点P，Q分别在直线L两侧．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）在L上求作一点M，使（PM+QM）为最小；

（2）在L上求作一点N，使（PN﹣QN）为最大．

【变式2】如图，和两边由甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？

请作出图形，并说说理．

【变式3】如图，∠AOB=30°

，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）

10

15

20

30

【变式4】

（1）已知：

如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的两个定点，在BC上找一点E，使△DEF的周长最小，请作出相应图形；

（2）已知：

如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形．

课堂运用

【基础】

1.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

2个

3个

4个

5个

2.如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（　　）

△EBD是等腰三角形，EB=ED

△EBA和△EDC一定是全等三角形

折叠后得到的图形是轴对称图形

折叠后∠ABE和∠CBD一定相等

3.矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（　　）

25

4.在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（　　）

5.按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）如图，已知直线l和其外两点A，B．

（1）试在图甲的直线l上找点C，使AC+BC的值最小；

（2）试在图乙的直线l上找点D，使|AD﹣BD|的值最小．

6.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）

1个

7.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，∠ABC、∠ACB的平分线交于O，OM∥AB，ON∥AC，则图中共有等腰三角形的个数为（　　）

6个

7个

8个

8.把两个一样大的含30度的直角三角板，按如图方式拼在一起，其中等腰三角形有（　　）

9．如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点．连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是（　　）

10.山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．

【巩固】

1.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α=（　　）

30°

45°

60°

90°

2.矩形ABCD中，AB=4，BC=

，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E共有（　　）

3.已知顶角为36°

，90°

，108°

，

四个等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形．那么这四个等腰三角形里有几个等腰三角形可以用两条直线把这个等腰三角形分割成三个小的等腰三角形（　　）

课程小结

1.等腰三角形个数的确定

2.等腰三角形的分割问题

3.轴对称：

4.轴对称：

课后评价表：

一出勤情况

准时（）迟到（）旷课（）

__________________________________________________________________

二课上表现情况

优（）良（）差（）

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

三课后作业完成情况

全部完成（）部分完成（）未完成（）

__________________________________________________________________________________________________________________

家长签字：

_______________________