小学数学中工程问题地公式地应用文档格式.docx
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余下的工程,本来应该是甲做24天,乙做24天的工作量,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天.
这说明,乙除了用24天做完了自己本来能够完成的24天的工作量,还用16天做完了原来甲24天能够做的工作量。
因此甲的工作效率与乙的工作效率的比是(1/24):
(1/16)=2:
3,
因为甲乙工作效率的和是1/30,所以
甲的工作效率是,(1/30)÷
(2+3)×
2=1/75
乙的工作效率是,(1/30)÷
3=1/50
如果甲独做,所需时间是,1÷
1/75=75(天)
如果乙独做,所需时间是,1÷
1/50=50(天)
答:
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
例3,某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;
如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?
解一:
先对比如下:
独做,甲先独做63天,再由乙独做28天;
合作,甲做48天,乙做48天.
就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出结论,甲的少做的15天的工作量等于乙多做的的20天的工作量,就是说在同样工作量的前提下,甲、乙独做需要的工作天数比是,15:
20=3:
4,
现在甲先单独做42天,比48天少做了48-42=6(天),这样甲少做的6天的工作量,就要由乙在做完自己48天的工作量的基础上,多做相当于甲6天的工作量。
在都做相当于甲6天的工作量的时候,甲所用的6天和乙所用的天数的比与3:
4成正比。
就是:
3:
4=甲在48天之内少做的天数6:
乙在48天之外要多做的天数,
乙在48天之外还要做的天数就是,4×
6÷
3=8
因此,乙还要做48+8=56(天).
乙还需要做56天.
解二,先对比如下:
独做,甲先做63天,乙后做28天;
合做,甲做48天,乙做48天.
就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出结论,甲的15天的工作量等于乙的20天的工作量,
由此得出,甲的工作效率是乙的工作效率的倍数:
(1/15)÷
(1/20)=4/3倍,
因为如果由甲、乙两人合作,需48天完成.所以甲、乙工作效率的和是1/48,
根据和倍问题的解题法则可求出,
乙的工作效率=(1/48)÷
[(4/3)+1]=1/112
甲的工作效率=(1/112)×
(4/3)=1/84
现在甲先单独做42天,那么甲在42天中的工作量就是:
(1/84)×
42=1/2
乙要单独完成的工作量就是:
1-(1/2)=1/2
乙需要做的时间就是:
(1/2)÷
(1/112)=56(天)
例4,一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息).问开始到完工共用了多少天时间?
解一:
因为已知,“其间甲队休息了2天,乙队休息了8天”,所以甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量:
(1/10)×
8+(1/30)×
2=13/15
余下的工作量是,
1-(13/15)=2/15
由两队共同合作的需要的天数是,
(2/15)÷
[(1/10)+(1/30)]=1
从开始到完工共需要的天数是,
2+8+1=11(天).
从开始到完工共用了11天.
设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作
(30-3×
8-1×
2)÷
(3+1)=1(天),8+2+1=11
(解法二最简单)
甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后,还余下(甲队)10-8=2(天)的工作量.相当于乙队要做2×
3=6(天).乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量.
乙队独做4天的工作量,正好是甲乙两队合做一天的工作量,其中乙队3天的工作量可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天.
8+2+1=11(天)
(解法三也很简单)
例5,一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
解一:
如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是
[(1/20)+(1/30)]×
16=1+(1/3)
因为这[1+(1/3)]的工作量是在假设16天两队都不休息的情况下发生的,实际是不可能的。
因为一个工程的全部工作量就是“1”,为什么会多出了(1/3),实际上这(1/3)是两队休息期间未做的工作量。
两队休息期间未做的工作量是
[1+(1/3)]-1=1/3
这(1/3)中首先包括甲队休息了3天的工作量,(1/20)×
3=3/20
乙队休息期间未做的工作量是(1/3)-(3/20)=11/60
乙队休息的天数就是:
(11/60)÷
(1/30))=5.5(天)
乙队休息了5天半.
解二:
设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份.
(3+2)×
16-60=20(份).
因此乙休息天数是
(20-3×
2=5.5(天).
【解二的解法很简捷,很便利,也很好理解,这种解法是很有意思的。
】
甲队做2天,相当于乙队做3天.
甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.
假设:
如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量;
如果乙队也16天不休息的话,那么,甲队余下的4天相当于乙队6天的工作量,肯定要有乙队去完成;
另外甲队休息的3天相当于乙队4.5天的工作量,也一定要由乙队去完成。
所以乙休息天数是:
16-6-4.5=5.5(天).
例6,有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;
李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?
很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙.
设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份.
8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(60-4×
8)份.由张、李合作需要
(60-4×
8)÷
(4+3)=4(天).
8+4=12(天).
这两项工作都完成最少需要12天.
解二:
[1-(1/15)×
8]÷
[(1/15)+(1/20)]=48+4=12
例7,一件工作,如果甲单独做,那么甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才完成。
现在甲乙二人合作二天后,剩下的乙单独做,刚好在规定日期内完成。
若甲乙二人合作,完成工作需多长时间?
解一,分析:
从已知条件可知,
如果甲单独做,可比规定时间提前2天完成;
如果乙单独做,则要超过规定时间3天完成;
甲比乙所需天数少5天。
又因为甲乙合作2天后,乙单独接着干并在规定日期内完成,所以合作期间甲干的2天的工作量就等于乙3天的工作量。
所以甲的工作效率就是乙的3/2倍.
因为工作效率和工作时间成反比,所以,完成同样的工作量,乙所需要的的工作时间就是甲的3/2倍。
根据差倍问题解题规律可知,甲单独干需要的天数就是:
5÷
[(3/2)—1]=10
乙单独干需要的天数就是:
10+5=15
甲乙合作需要的天数就是:
1÷
[(1/10)+(1/15)]=6(天)
甲乙合作完成工作需要6天。
《二》,多个人的问题
例8,一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成?
设这件工作的工作量是1.
甲乙两人的工作效率的和(1/36),乙丙两人的工作效率的和是(1/45),甲丙两人的工作效率的和是(1/60),
甲、乙、丙三人合作每天可完成:
[(1/36)+(1/45)+(1/60)]÷
2=1/30
甲、乙、丙三人的工作效率的合减去乙、丙两人的工作效率的和,就等于甲的工作效率:
(1/30)-(1/45)=1/90
甲一人独做需要的天数就是:
(1/90)=90(天)
甲一人独做需要90天完成.
解二,例7也可以整数化,设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份。
那么,甲一人独做需要的天数就是:
180÷
{[(5+4+3)÷
2]-4}=90(天)
例9,一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?
甲做1天,乙就做3天,丙就做3×
2=6(天).
按照这样的轮做天数的比例,甲每做一天,甲乙丙共做10天,
因为丙做的最慢才是24天,那么三人轮做需要的天数一定会少于24天,
说明甲做了2天,乙做了2×
3=6(天),丙做2×
6=12(天),
三人一共做了,2+6+12=20(天).
总共用了20天.
解二,本题整数化会带来计算上的方便.
12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.
设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.
按照甲1天、乙3天、丙6天的比例求出三人共10天的工作量是,(6×
1)+(4×
3)+(3×
6)=36
总共用了72÷
36×
10=20(天)
总共用了20天
解三:
[1×
(1/12)+3×
(1/18)+6×
(1/24)]×
(1+3+6)=20
例10,一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天?
丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷
2=2(倍),甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是说甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
那么,甲、乙、丙三人工作效率之比就是3∶1∶2,
甲、乙、丙三人工作效率的和是1/13,那么甲的工作效率就是,
[(1/13)÷
(3+1+2)]×
3=1/26
他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要
1÷
(1/26)=26(天)
甲独做需要26天
解二,丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷
那么,甲做1天,相当于乙、丙合作1天.
他们3人合作13天完成的工程,甲自己用13天的时间完成了其中的一半,如果要甲一个人完成全部工程的话,那就要甲再干13天,就行了。
)
13×
2=26(天)答:
例11,某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作?
设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成1÷
(3×
8)=1/24
乙组每人每天能完成1÷
(4×
7)=1/28
甲组2人和乙组7人每天能完成
[(1/24)×
2]+[(1/28)×
7]=(1/12)+(1/4)=4/12=1/3
(1/3)=3(天)
合作3天能完成这项工作.
甲组3人8天能完成,因此2人12天也能完成;
乙组4人7天能完成,因此7人4天也能完成.
现在已不需顾及人数,问题转化为:
甲组独做12天,乙组独做4天,问合作几天完成?
这时甲组的工作效率是1/12,乙组的工作效率是1/4,
[(1/12)+(1/4)]=3(天)答:
例12,制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件?
仍设总工作量为1.
甲车间工作效率是1/10;
乙车间的工作效率是(1/6)-(1/10)=1/15;
丙车间的工作效率是(1/8)-(1/15)=7/120
那么,甲每天比乙多完成,或者说甲、乙的工作效率之差是
(1/10)-(1/15)=1/30,
因为上述的1/10、1/15、1/30分别也是工作总量1/10、1/15、1/30,并且已知甲比乙多完成了2400个,那么,2400个就是工作总量的1/30,
根据已知一个数的几分之几是多少,求这个数用除法的原则,因此这批零件的总数是,2400÷
(1/30)=72000
丙车间制作的零件数目是,72000×
(7/120)=4200(个)
丙车间制作了4200个零件.
10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份,甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起,8天完成.乙完成8×
2=16(份),丙完成30-16=14(份),
乙、丙工作效率之比就是,16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.
综合起来,甲、乙、丙三人工作效率之比是,12∶8∶7.
当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是
2400÷
(12-8)×
7=4200(个).
例13,搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是
2÷
[(1/10)+(1/12)+(1/15)]=2÷
(1/4)=8
甲在A仓库8小时的工作量是,(1/10)×
8=4/5
甲需要丙帮忙的工作量是,1-(4/5)=1/5
丙需要帮甲搬运的时间是,(1/5)÷
(1/15)=3(小时)
乙在B仓库8小时的工作量是,(1/12)×
8=2/3
乙需要丙帮忙的工作量是,1-(2/3)=1/3
丙需要帮乙搬运的时间是,(1/3)÷
(1/15)=5(小时)
丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时.
解二,解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库的全部工作量为60(10、12、15的最小公倍数).那么,甲每小时搬运6,乙每小时搬运5,丙每小时搬运4.
三人共同搬完,需要
60×
2÷
(6+5+4)=8(小时).
甲需丙帮助搬运
(60-6×
8)÷
4=3(小时).
乙需丙帮助搬运
(60-5×
4=5(小时).
《三》、水管问题。
从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
例14,甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池.现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米?
解,已知甲管注水9分钟,乙管注水9分钟,水池注满,
现在甲管注水13分钟,乙管注水3分钟,水池注满
甲管多注了4分钟,乙管少注了6分钟,
这说明:
甲管4分钟的注水量=乙管6分钟的注水量,
因为甲管每分钟比乙管多注0.6立方米,那么,
甲管4分钟的注水量=乙管4分钟的注水量+4×
0.6(立方米),
即:
乙管4分钟的注水量+2.4立方米=乙管6分钟的注水量
也就是:
乙管4分钟的注水量+2.4立方米=乙管4分钟的注水量+乙管2分钟的注水量,
由此得出:
2.4立方米=乙管2分钟的注水量,
乙管每分钟注入水量就是:
2.4÷
2=1.2(立方米)
甲管每分钟注水量是:
1.2+0.6=1.8(立方米)
水池的容积就是(1.2+1.8.)×
9=27(立方米)
水池的容积是27(立方米),
例15,有一些水管,它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管,经过预定的时间的1/3,再把打开的水管增加一倍,就能按预定时间注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管?
分析:
增开水管后,水管的根数是原来的2倍,
注水时间是原来的2倍即[1-(1/3)]÷
(1/3)=2(倍)
因为时间和水管都增加了1倍,所以,增开水管后(即预定时间的后2/3时间段)的这段时间的注水量,是前一段时间注水量的4倍。
前后两段时间的注水量之比为,1:
那么预定时间的1/3(即前一段时间)的注水量就是全部注水量的1/5,即:
1/(1+4)=1/5。
如果开始时,10根水管同时打开,能按预定时间注满水,所以,在预定时间段,每根水管的注水量是1/10,(设水池容量是1),
预定的1/3时间内,每根水管的注水量是(1/10)×
(1/3)=1/30
那么,要在预定的1/3时间段注满水池的1/5,需要水管,
(1/5)÷
(1/30)=6(根)
设水池的容量为1,
前1/3的时间内1倍的水管和后2/3的时间内2倍的水管的注水量之比为,
[(1/3)×
1]:
{[1-(1/3)]×
2}=1:
4
前1/3的时间段的注水量是:
(1+4)=1/5
因为已知在预定时间段,每根水管的注水量是1/10,所以
每根水管在预定1/3的时间注水量为:
(1/10)×
所以,开始时打开水管根数是:
答:
开始时打开6根水管。
例16,一个蓄水池,每分钟流入4立方米水,如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空?
先计算1个水龙头每分钟放出水量.
蓄水池,每分钟流入4立方米水;
5个水龙头,2小时半就把水池水放空;
8个水龙头,1小时半就把水池水放空;
2小时半比1小时半多60分钟,60分钟多流入水是
4×
60=240(立方米).
时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是
240÷
(5×
150-8×
90)=8(立方米),
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8×
8×
90,
其中90分钟内流入水量是4×
90,因此原来水池中存有水
8×
90-4×
90=5400(立方米).
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×
13,除去要放出每分钟流入的4,其余将放出原存的水,放空原存的5400(立方米),需要
5400÷
(8×
13-4)=54(分钟).
打开13个龙头,放空水池要54分钟.
注意:
水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
解二,本题用列方程解可能更容易理解。
设1根水管每分钟放出水X立方米,那么,
5根水管150分钟放水为,5X×
150=750X(立方米),
8根水管90分钟放水为,8X×
90=720X(立方米),
依题意得方程为,
5X×
150-8X×
90=240,
解方程,750X-720X=240X=8
因此,5根水管150分钟放水为,5×
8×
150=6000
其中,150分钟内流入水量是4×
150=600
所以,原来水池中存有水是,6000-600=5400
打开13个龙头每分钟可放出水8×
13,除去每分钟流入的4,,其余将放出愿存的水,将水池放空需要的时间是,
5400÷
(8×
13-4)=54(分钟)
例17,一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的.打开A管,8小时可将满池水排空,打开C管,12小时可将满池水排空.如果打开A,B两管,4小时可将水排空.问打开B,C两管,要几小时才能将满池水排空?
解:
设满水池的水量为1.
A管每小时排出
(1/8)+(1小时渗水量)
A管4小时能排出
[(1/8)+(1小时渗水量)]×
4=(1/2)+(4小时渗水量)
因为A、B两管4小时可以