云南中考数学总复习专题训练专题三 圆切线的相关证明及计算.docx

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云南中考数学总复习专题训练专题三圆切线的相关证明及计算

专题三圆切线的相关证明及计算

类型一 角平分线模型

（2016·云南省卷）如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 的直线

交 AB 的延长线于点 D，AE⊥DC，垂足为 E，F 是 AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE.

（1）求证：

DE 是⊙O 的切线；

（2）若 AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】 

（1） 连接 OC ， , 先证明∠OAC＝∠OCA，结合AC 平分∠BAE，得到

OC∥AE，于是得到 OC⊥CD，进而证明 DE 是⊙O 的切线；

（2）分别求出△OCD 的面

积和扇形 OBC 的面积，利用 S

阴影

＝S

△COD

－S

扇形 OBC

即可得到答案．

【自主解答】

1．（2017·营口）如图，点 E 在以 AB 为直径的⊙O 上，点 C 是BE的中点，过点 C

︵

作 CD⊥AE，交 AE 的延长线于点 D，连接 BE 交 AC 于点 F.

（1）求证：

CD 是⊙O 的切线；

4

（2）若 cos ∠CAD＝ ，BF＝15，求 AC 的长．

2．如图，半圆 O 的直径 AB＝5，AC、AD 为弦，且 AC＝3，AD 平分∠BAC，过 D

作 AC 延长线的垂线，垂足为 E.

（1）求证：

DE 为⊙O 的切线；

（2）求 AD 的长．

3．（2018·聊城）如图，在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，

作 ED⊥EB 交 AB 于点 D，⊙O 是△BED 的外接圆．

（1）求证：

AC 是⊙O 的切线；

（2）已知⊙O 的半径为 2.5，BE＝4，求 BC，AD 的长．

4．（2018·咸宁

如图，以ABC 的边 AC 为直径的⊙O 恰为△ABC 的外接圆，

∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E.

（1）求证：

DE 是⊙O 的切线；

（2）若 AB＝2 5，BC＝ 5，求 DE 的长．

5．（2019·原创

如图，在ABC 中，CA＝CB，∠CAB＝30°，⊙O 经过点 C，且

直径 AD 在线段 AB 上，连接 OC，OE 平分∠AOC 交弧 AC 于点 E，连接 AE，EC.

（1）求证：

CB 是⊙O 的切线；

（2）若 M 在边 AC 上，OM＝CM＝

，求ABC 的面积．

6．（2018·成都）如图，在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，

O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于

点 G.

（1）求证：

BC 是⊙O 的切线；

（2）设 AB＝x，AF＝y，试用 x，y 的代数式表示线段 AD 的长；

13

类型二 弦切角模型

（2018·云南省卷）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点 D 在

AB 的延长线上，∠BCD＝∠BAC.

（1）求证：

CD 是⊙O 的切线；

（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．

【自主解答】

1．（2018·玉林

如图，在ABC 中，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，∠DAC＝

∠B.

（1）求证：

AC 是⊙O 的切线；

1

（2）点 E 是 AB 上一点，若∠BCE＝∠B，tan ∠B＝ ，⊙O 的半径是 4，求 EC 的

长．

2．（2018·齐齐哈尔）如图，以△ABC 的边 AB 为直径画⊙O，交 AC 于点 D，半径

OE∥BD，连接 BE，DE，BD，设 BE 交 AC 于点 F，若∠DEB＝∠DBC.

（1）求证：

BC 是⊙O 的切线；

（2）若 BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．

3．（2018·曲靖二模）如图，在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交

AB 于点 D，过点 D 作∠ADE＝∠A，交 AC 于点 E.

4

（1）求证：

DE 是⊙O 的切线；

3

（2）若 BC＝15，tanA＝ ，求 DE 的长．

4．（2018·兰州）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上的一点，D 为 BA 延长线上

的一点，∠ACD＝∠B.

5

（1）求证：

DC 为圆 O 的切线；

（2）线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F，且∠CEF＝45°，圆 O 的半径为 5，sinB

3

＝ ，求 CF 的长．

类型三 双切线模型

（2017·云南省卷）已知 AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的

点，AC∥OP，M 是直径 AB 上的动点，A 与直线 CM 上的点连线距离的最小值为 d，

B 与直线 CM 上的点连线距离的最小值为 f.

（1）求证：

PC 是⊙O 的切线；

3

（2）设 OP＝ AC，求∠CPO 的正弦值；

（3）设 AC＝9，AB＝15，求 d＋f 的取值范围．

【分析】 

（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA，由平行线的性

质得到∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠ BOP，由切线的性

质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过 O 作 OD⊥AC

OC3

于 D，根据相似三角形的性质得到 CD·OP＝OC2，根据已知条件得到＝，由

三角函数的定义即可得到结论；（3）连接 BC，根据勾股定理得到 BC＝ AB2－AC2

＝12，分别讨论点 M 与点 A 重合时，与 AB 垂直时和与点 B 重合时 d＋f 的值，

从而得到结论．

【自主解答】

1．（2018·曲靖）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，将弧 BC 沿直线

BC 翻折，使弧 BC 的中点 D.恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C 的切

线与线段 BA 的延长线交于点 P，连接 AD，在 PB 的另一侧作∠MPB＝∠ADC.

（1）判断 PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若 PC＝ 3，求四边形 OCDB 的面积．

2．（2018·江西

如图，在ABC 中，O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为半径

作圆，与 BC 相切于点 C，过点 A 作 AD⊥BO 的延长线于点 D，且∠AOD＝∠BAD.

（1）求证：

AB 为⊙O 的切线；

3．（2018·临沂

如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O

相切于点 D，OB 与⊙O 相交于点 E.

（1）求证：

AC 是⊙O 的切线；

（2）若 BD＝ 3，BE＝1，求阴影部分的面积．

4．（2018·武汉）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接

PB、PC，PC 交 AB 于点 E，且 PA＝PB.

（1）求证：

PB 是⊙O 的切线；

PE

（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值．

CE

参考答案

【专题类型突破】

类型一

【例 1】 

（1）证明：

如解图，连接 OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC 平分∠BAE，

∴∠OAC＝∠CAE，

∴∠OCA＝∠CAE，

∴OC∥AE，

∴∠OCD＝∠E，

∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴OC⊥CD，

又∵点 C 在圆 O 上，

∴DE 是圆 O 的切线；

（2）解：

∵在 Rt△AED 中，∠D＝30°，AE＝6，

∴AD＝2AE＝12，

在 Rt△OCD 中，∵∠D＝30°，

∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，

1

∴DB＝OB＝OC＝ AD＝4，DO＝8，

3

∴CD＝ DO2－OC2＝ 82－42＝4 3，

OCD

2＝2＝8 3，

∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，

∴∠DOC＝60°，

8

扇形 OBC63

∵S

阴影

＝S

COD

S

，

扇形 OBC

⎪⎩∠AFE＝∠BFC，

阴影3 ，

3 .

针对训练

1．

（1）证明：

如解图，连接 OC，

︵

︵︵

∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BE，

∴AD∥OC.

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，

∴CD 是⊙O 的切线；

（2）解：

如解图，连接 BC，

在△AEF 和△BCF 中，

⎧⎪∠AEF＝∠BCF＝90°，

⎨

∴△AEF∽△BCF，

AFBF

AE4

∵cos∠CAD＝＝ ，

AFBF5

∵点 C 是BE的中点，∴CE＝BC，∠BAC＝∠CAE，

3

4

BC＝ BF＝12.

5

4EF3

∵cos∠CAD＝ ，∴tan∠CAD＝＝ ，

︵︵︵

BC3

在 Rt△ABC 中，tan∠BAC＝tan∠CAE＝＝ ，

4

∴AC＝ BC＝16.

2．

（1）证明：

∵AD 平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠OAD，

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD.

∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，

∴DE 是⊙O 的切线；

（2）解：

如解图，连接 BC 交 OD 于点 F.

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理可知 BC＝4.

∵OD∥AE，∴OD⊥BC，∴CF＝BF＝2，

∵DE⊥AE，BC⊥AE，∴DE∥BC，

∴四边形 CEDF 是矩形，

13

∴DE＝CF＝2，又易得 OF＝ AC＝ ，

53

∴CE＝DF＝DO－OF＝ － ＝1，∴AE＝4，

22

在 Rt△ADE 中，AD＝ AE2＋DE2＝ 42＋22＝2 5.

3．

（1）证明：

 连接 OE，如解图，

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.

∵BE 平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC.

∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.

又∵∠C＝90°，

∴∠OEA＝90°，即 AC⊥OE.

又∵OE 是⊙O 的半径，

∴AC 是⊙O 的切线；

（2）解：

 在△BCE 与△BED 中，

∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，

∴△BCE∽△BED.

BDBE

∵BE＝4，BD 是⊙O 的直径，BD＝5，

4BC16

∴ ＝，BC＝，

545

AOOE

又∵OE∥BC，∴＝，

∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，

45

AD＋5 ＝ 16 ，解得 AD＝ 7 .

5

2

4．

（1）证明：

 连接 OD，如解图．

∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°.

∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝45°.

∴∠AOD＝90°.

∵DE∥AC，

∴∠ODE＝∠AOD＝90°，即 OD⊥DE.

又∵点 D 在⊙O 上，

∴DE 是⊙O 的切线；

（2）解：

 在 Rt△ABC 中，AB＝2 5，BC＝ 5，

∴AC＝ AB2＋AC2＝5，

5

∴OD＝ .

过点 C 作 CG⊥DE，垂足为 G，

5

则四边形 ODGC 为正方形，∴DG＝CG＝OD＝ .

∵DE∥AC，

∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，

CGAB2.52 5

∴＝，即＝，

5

∴GE＝ ，

15

∴DE＝DG＋GE＝.

5．

（1）证明：

 ∵CA＝CB，OA＝OC，

∴∠B＝∠OCA＝∠OAC＝30°.

∴∠OCB＝180°－∠OAC－∠OCA－∠B＝90°，

∴CB⊥CO，

∵OC 为⊙O 的半径，

∴CB 是⊙O 的切线；

（2）解：

如解图，过 C 点作 CF⊥AB 交 AB 于点 F，则 AF＝BF，

∵OM＝CM＝2，∴∠MOC＝∠MCO＝30°，

∵OA＝OC，∠CAB＝30°.

∴∠AOC＝120°，

∴∠AOM＝90°，

在 Rt△AOM 中，AM＝2OM＝4，

∴AC＝6，

1

在 Rt△ACF 中，CF＝ AC＝3，

AF＝ 3CF＝3 3，

∴AB＝2AF＝6 3，

ABC2

6．

（1）证明：

 如解图，连接 OD.

∵AD 平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.

∴∠ODA＝∠CAD.

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠C＝90°，

2

即 OD⊥BC.

∴BC 是⊙O 的切线；

（2）解：

 连接 DF，如解图．

∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.

11

∴∠ODF＝ （180°－∠DOF）＝90°－ ∠DOF.

1

∴∠FDC＝90°－∠ODF＝ ∠DOF.

1

∵∠DAF＝ ∠DOF，∴∠FDC＝∠DAF.

∴∠FDC＝∠ODA.

∵∠ADB＝90°＋∠ODA，∠AFD＝90°＋∠FDC，

∴∠ADB＝∠AFD.

∵∠BAD＝∠DAF，

∴△ABD∽△ADF.

ABAD

∴＝.

∴AD2＝AB·AF＝xy.

∴AD＝ xy；

（3）解：

 如解图，连接 EF.

OD5

在 Rt△BOD 中，sinB＝＝.

r5

r＋813

经检验，r＝5 是所列分式方程的解．

∴AE＝10，AB＝18.

∵AE 是⊙O 直径，∴∠AFE＝90°.

∵∠C＝90°，

∴EF∥BC.

∴∠AEF＝∠B.

13 ，

5

1313.

∵OD∥AC，

∴△AGF∽△DGO，

50

10

＝＝＝

13

∴DG＝AD.

5030

∵AD＝ AB·AF＝18×＝

1330

∴DG＝×

类型二

【例 2】 

（1）证明：

 如解图，连接 OC.

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

即∠ACO＋∠OCB＝90°.

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠BAC.

∵∠BCD＝∠BAC，

∴∠ACO＝∠BCD.

∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°.

∴OC⊥CD.

又∵OC 是⊙O 的半径，

∴CD 是⊙O 的切线；

（2）解：

∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，

∴∠BOC＝60°，OD＝2OC.

∴∠AOC＝120°，∠A＝30°.

设⊙O 的半径为 x，则 OB＝OC＝x.

∴x＋2＝2x.

解得 x＝2.

如解图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，则 AE＝CE，

1

在 Rt△OEA 中，OE＝ OA＝1，AE＝ AO2－OE2＝ 22－12＝ 3.

∴AC＝2 3.

∴S

阴影

＝S

扇形 OAC

－S

△OAC

120×π ×221

＝－ ×2 3×1

4

3

针对训练

1．

（1）证明：

 ∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠B＋∠BAD＝90°，

∵∠DAC＝∠B，

∴∠DAC＋∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，且 AB 是⊙O 的直径，

∴AC 是⊙O 的切线；

（2）解：

∵∠BCE＝∠B，

∴EC＝EB，设 EC＝EB＝x，

AC1

在 Rt△ABC 中，tan∠B＝＝ ，AB＝8，

∴AC＝4，

在 Rt△AEC 中，∵EC2＝AE2＋AC2，

∴x2＝（8－x）2＋42，

解得 x＝5，

∴CE＝5.

2．

（1）证明：

 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠A＋∠ABD＝90°，

又∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，

∴∠A＝∠DBC.

∴∠DBC＋∠ABD＝90°，

∴AB⊥BC，

又∵OB 是⊙O 的半径，

∴BC 是⊙O 的切线；

（2）解：

 如解图，连接 OD，

∵BF＝BC＝2，∠ADB＝90°，

∴∠CBD＝∠FBD.

又∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB.

∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.

1

∴∠CBD＝∠EBD＝∠OBE＝ ∠ABC＝30°，

∴∠C＝60°.∴AB＝ 3BC＝2 3，

∴⊙O 的半径为 3.

∵∠OBD＝∠OBE＋∠EBD＝60°，OB＝OD，

∴△OBD 是等边三角形，∠BOD＝60°，

∴阴影部分的面积为 S

扇形 OBD

－S

1      1      3 π  3 3

OBD

6      2      2  2   4

3．

（1）证明：

 如解图，连接 OD，

∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，

又∵∠A＝∠ADE，

∴∠ADE＋∠ODB＝∠A＋∠B＝90°，

∴∠ODE＝180°－90°＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD 为⊙O 的半径，

∴DE 是⊙O 的切线；

BC3

（2）解：

 在 Rt△ABC 中，tan A＝＝ ，

AC4

153

∴＝ ，解得 AC＝20，

∵EC⊥BC，BC 为⊙O 的直径，∴EC 是⊙O 的切线，

又∵∠A＝∠ADE，∴ED＝EA，∴ED＝AE＝CE，

11

∴DE＝ AC＝ ×20＝10.

4．

（1）证明：

 如解图，连接 OC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵AB 是圆 O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCA＋∠OCB＝90°，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD＋∠OCA＝90°，

∴OC⊥CD，且 OC 是圆 O 的半径，

∴CD 是圆 O 的切线；

（2）解：

 ∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，

∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴CF＝CE.

AC3

∵sin B＝＝ ，∴AC＝6，由勾股定理得，BC＝8，

∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠COB，

∴△CAD∽△BCD，

ACAD3

∴＝＝ ，

设 AD＝3x，CD＝4x，

在 Rt△OCD 中，OC2＋CD2＝OD2，即 52＋（4x）2＝（5＋3x）2，

30

解得 x＝0（舍去）或 x＝，

90120

∴AD＝，CD＝，

∵∠CEF＝∠ACD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠BDF，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠CDE＝∠BDF，

∴△CDE∽△BDF，

CEBFCE8－CF

CDBD12090

10＋

∵CE＝CF，

24

∴CF＝.

类型三

【例 3】 

（1）证明：

如解图，连接 OC，

∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，

∵AC∥OP，∴∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，

∴∠COP＝∠BOP，

∵PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，

∴∠OBP＝90°，

在△POC 与△POB 中，

⎧⎪OC＝OB，

⎨∠COP＝∠BOP，，

⎪⎩OP＝OP，

∴△COP≌△BOP，

∴∠OCP＝∠OBP＝90°，

3

∵OC 是⊙O 的半径，

∴PC 是⊙O 的切线；

（2）解：

如解图，过 O 作 OD⊥AC 于 D，

1

∴∠ODC＝∠OCP＝90°，CD＝ AC，

∵∠DCO＝∠COP，

∴△ODC∽△PCO，

CDOC

∴＝，

∴CD·OP＝OC2，

3

∵OP＝ AC，

2

∴AC＝ OP，

1

∴CD＝ OP，

1

∴ OP·OP＝OC2，

3

＝，

OC3

∴sin∠CPO＝＝；

（3）解：

如解图，连接 BC，∵AB 是⊙O 的直径，

∴AC⊥BC，

∵AC＝9，AB＝15，

∴BC＝ AB2－AC2＝12，

当 M 与 A 重合时，d＝0，f＝12.∴d＋f＝12，

当 CM⊥AB 时，

d＝AM，f＝BM，

∴d＋f＝AM＋BM＝15，

当 M 与 B 重合时，

d＝9，f＝0，

∴d＋f＝9，

∴d＋f 的取值范围是：

9≤d＋f≤15.

针对训练

1．解：

（1）PM 是⊙O 的切线．理由如下：

如解图，连接 DO 并延长交 PM 于 E，

∵弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，

∴OC＝DC，OB＝BD，

∴OC＝OB＝DC＝BD，

∴四边形 OBDC 为菱形，

∴OC⊥BC，

∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形，

∴∠COD＝∠BOD＝60°，

∴∠COP＝∠EOP＝60°，

∵∠MPB＝∠ADC，∠ADC＝∠ABC，

∴∠MPB＝∠ABC，

∴PM∥BC，

∴OE⊥PM，

∵CD 是⊙O 的切线，

∴∠DCP＝90°，

在△OPE 和△OPC 中，

⎧⎪∠PEO＝∠PCO，

⎨∠POE＝∠POC＝60°，

⎪⎩OP＝OP，

∴△POE≌△POC（AAS），

∴OE＝OC，

∴PM 是⊙O 的切线；

（2）由

（1）得∠CPO＝30°，

3

∴OC＝PC·tan30°＝ 3×＝1，

3

2     2   2

S

＝2S

四边形 OCDB

△OCD

1      3   3

＝2× ×1×  ＝  ，

2

3

∴四边形 OCDB 的面积为.

2．

（1）证明：

如解图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，

∵AD⊥BO 于点 D，

∴∠D＝90°，

∴∠BAD＋∠ABD＝9