云南中考数学总复习专题训练专题三 圆切线的相关证明及计算.docx

1、云南中考数学总复习专题训练专题三 圆切线的相关证明及计算专题三 圆切线的相关证明及计算类型一角平分线模型(2016云南省卷)如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AEDC，垂足为E，F是AE与O的交点，AC平分BAE.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AE6，D30，求图中阴影部分的面积【分析】(1)连接OC，,先证明OACOCA，结合 AC平分BAE，得到OCAE，于是得到OCCD，进而证明DE是O的切线；(2)分别求出OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影SCODS扇形OBC即可得到答案【自主解答】1(2017营口)如图，点E在以AB为直径的O上，点C

2、是BE的中点，过点C作CDAE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.(1)求证：CD是O的切线；4 (2)若cosCAD，BF15，求AC的长2如图，半圆O的直径AB5，AC、AD为弦，且AC3，AD平分BAC，过D作AC延长线的垂线，垂足为E.(1)求证：DE为O的切线；(2)求AD的长3(2018聊城)如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆(1)求证：AC是O的切线；(2)已知O的半径为2.5，BE4，求BC，AD的长4(2018咸宁如图，以 ABC的边AC为直径的O恰为ABC的外接圆，ABC的平分线交O于点D，过点D作

3、DEAC交BC的延长线于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AB25，BC5，求DE的长5(2019原创如图，在 ABC中，CACB，CAB30，O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分AOC交弧AC于点E，连接AE，EC.(1)求证：CB是O的切线；(2)若M在边AC上，OMCM，求 ABC的面积6(2018成都)如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.(1)求证：BC是O的切线；(2)设ABx，AFy，试用x，y的代数式表示线段AD的长；13类型二弦切角模型(2018云南

4、省卷)如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，BCDBAC.(1)求证：CD是O的切线；(2)若D30，BD2，求图中阴影部分的面积【自主解答】1(2018玉林如图，在 ABC中，以AB为直径作O交BC于点D，DACB.(1)求证：AC是O的切线；1 (2)点E是AB上一点，若BCEB，tanB，O的半径是4，求EC的长2(2018齐齐哈尔)如图，以ABC的边AB为直径画O，交AC于点D，半径OEBD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若DEBDBC.(1)求证：BC是O的切线；(2)若BFBC2，求图中阴影部分的面积3(2018曲靖二模)如图，在RtABC中，C

5、90，以BC为直径的O交AB于点D，过点D作ADEA，交AC于点E.4(1)求证：DE是O的切线；3(2)若BC15，tan A，求DE的长4(2018兰州)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，ACDB.5(1)求证：DC为圆O的切线；(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F，且CEF45，圆O的半径为5，sin B3，求CF的长类型三双切线模型(2017云南省卷)已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是O的切线；3 (2)设

6、OPAC，求CPO的正弦值；(3)设AC9，AB15，求df的取值范围【分析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到AOCA，由平行线的性质得到ABOP，ACOCOP，等量代换得到COPBOP，由切线的性质得到OBP90，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过O作ODACOC 3于D，根据相似三角形的性质得到CDOPOC2，根据已知条件得到 ，由三角函数的定义即可得到结论；(3)连接BC，根据勾股定理得到BCAB2AC212，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时df的值，从而得到结论【自主解答】1(2018曲靖)如图，AB为O的直径，点C为O上一点，将弧BC沿直线BC翻折

7、，使弧BC的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作MPBADC.(1)判断PM与O的位置关系，并说明理由；(2)若PC3，求四边形OCDB的面积2(2018江西如图，在 ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作ADBO的延长线于点D，且AODBAD.(1)求证：AB为O的切线；3(2018临沂如图， ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D，OB与O相交于点E.(1)求证：AC是O的切线；(2)若BD3，BE1，求阴影部分的面积4(2018武汉)如图，PA是

8、O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PAPB.(1)求证：PB是O的切线；PE(2)若APC3BPC，求 的值CE参考答案【专题类型突破】类型一【例1】(1)证明：如解图，连接OC，OAOC，OACOCA，AC平分BAE，OACCAE，OCACAE，OCAE，OCDE，AEDE，E90，OCD90，OCCD，又点C在圆O上，DE是圆O的切线；(2)解：在RtAED中，D30，AE6，AD2AE12，在RtOCD中，D30，DO2OCDBOBDBOC，1DBOBOCAD4，DO8，3CDDO2OC2824243，OCD 2 2 83，D30，OCD90，

9、DOC60，8扇形OBC 6 3S阴影SCODS，扇形OBCAFEBFC，阴影 3，3.针对训练1(1)证明：如解图，连接OC， AB是O的直径，ADBE，ADOC.ADCD，OCCD，CD是O的切线；(2)解：如解图，连接BC，在AEF和BCF中，AEFBCF90，AEFBCF，AF BFAE 4cosCAD ，AF BF 5点C是BE的中点，CEBC，BACCAE，34BCBF12.54 EF 3cosCAD，tanCAD ， BC 3在RtABC中，tanBACtanCAE ，4ACBC16.2(1)证明：AD平分CAB，CADOAD，OAOD，OADODA，ODACAD，ACOD.DE

10、AE，DEOD，DE是O的切线；(2)解：如解图，连接BC交OD于点F.AB是O的直径，ACB90，AC3，AB5，由勾股定理可知BC4.ODAE，ODBC，CFBF2，DEAE，BCAE，DEBC，四边形CEDF是矩形，1 3DECF2，又易得OFAC，5 3CEDFDOOF1，AE4，2 2在RtADE中，ADAE2DE2422225.3(1)证明：连接OE，如解图，OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBEEBC.OEBEBC.OEBC.又C90，OEA90，即ACOE.又OE是O的半径，AC是O的切线；(2)解：在BCE与BED中，CBED90，EBCDBE，BCEBED.BD B

11、EBE4，BD是O的直径，BD5，4 BC 16 ，BC ，5 4 5AO OE又OEBC， ，AOAD2.5，ABAD5，45AD516，解得AD7.524(1)证明：连接OD，如解图AC是O的直径，ABC90.BD平分ABC，ABD45.AOD90.DEAC，ODEAOD90，即ODDE.又点D在O上，DE是O的切线；(2)解：在RtABC中，AB25，BC5，ACAB2AC25，5OD.过点C作CGDE，垂足为G，5则四边形ODGC为正方形，DGCGOD.DEAC，CEGACB，tanCEGtanACB，CG AB 2.5 25 ，即 ，5GE，15DEDGGE .5(1)证明：CACB

12、，OAOC，BOCAOAC30.OCB180OACOCAB90，CBCO，OC为O的半径，CB是O的切线；(2)解：如解图，过C点作CFAB交AB于点F，则AFBF，OMCM2，MOCMCO30，OAOC，CAB30.AOC120，AOM90，在RtAOM中，AM2OM4，AC6，1在RtACF中，CFAC3，AF3CF33，AB2AF63，ABC26(1)证明：如解图，连接OD.AD平分BAC，BADCAD.OAOD，ODAOAD.ODACAD.ODAC，ODBC90，2即ODBC.BC是O的切线；(2)解：连接DF，如解图ODOF，ODFOFD.1 1ODF(180DOF)90DOF.1F

13、DC90ODFDOF.1DAFDOF，FDCDAF.FDCODA.ADB90ODA，AFD90FDC，ADBAFD.BADDAF，ABDADF.AB AD .AD2ABAFxy.ADxy；(3)解：如解图，连接EF.OD 5在RtBOD中，sinB .r 5r8 13经检验，r5是所列分式方程的解AE10，AB18.AE是O直径，AFE90.C90，EFBC.AEFB.13，513 13.ODAC，AGFDGO，5010 13DG AD.50 30ADABAF 18 13 30DG 类型二【例2】(1)证明：如解图，连接OC.AB是O的直径，ACB90，即ACOOCB90.OAOC，ACOBA

14、C.BCDBAC，ACOBCD.BCDOCB90，即OCD90.OCCD.又OC是O的半径，CD是O的切线；(2)解：D30，OCD90，BOC60，OD2OC.AOC120，A30.设O的半径为x，则OBOCx.x22x.解得x2.如解图，过点O作OEAC，垂足为E，则AECE，1在RtOEA中，OEOA1，AEAO2OE222123.AC23.S阴影S扇形OACSOAC12022 1 23143针对训练1(1)证明：AB是直径，ADB90，BBAD90，DACB，DACBAD90，BAC90，BAAC，且AB是O的直径，AC是O的切线；(2)解：BCEB，ECEB，设ECEBx，AC 1在

15、RtABC中，tanB ，AB8，AC4，在RtAEC中，EC2AE2AC2，x2(8x)242，解得x5，CE5.2(1)证明：AB是O的直径，ADB90，AABD90，又ADEB，DEBDBC，ADBC.DBCABD90，ABBC，又OB是O的半径，BC是O的切线；(2)解：如解图，连接OD，BFBC2，ADB90，CBDFBD.又OEBD，FBDOEB.OEOB，OEBOBE.1CBDEBDOBEABC30，C60.AB3BC23，O的半径为3.OBDOBEEBD60，OBOD，OBD是等边三角形，BOD60，阴影部分的面积为S扇形OBDS11333OBD622243(1)证明：如解图，

16、连接OD，C90，AB90，OBOD，BODB，又AADE，ADEODBAB90，ODE1809090，DEOD，OD为O的半径，DE是O的切线；BC 3 (2)解：在RtABC中，tanA ，AC 415 3 ，解得AC20，ECBC，BC为O的直径，EC是O的切线，又AADE，EDEA，EDAECE，1 1DEAC2010.4(1)证明：如解图，连接OC，OBOC，OBCOCB，AB是圆O的直径，ACB90，OCAOCB90，ACDB，ACDOCA90，OCCD，且OC是圆O的半径，CD是圆O的切线；(2)解：CEF45，ACB90，CFECEF45，CFCE.AC 3sinB ，AC6，

17、由勾股定理得，BC8，ACDB，ADCCOB，CADBCD，AC AD 3 ，设AD3x，CD4x，在RtOCD中，OC2CD2OD2，即52(4x)2(53x)2，30解得x0(舍去)或x ，90 120AD ，CD ，CEFACDCDE，CFEBBDF，ACDB，CDEBDF，CDEBDF，CE BF CE 8CFCD BD 120 9010CECF，24CF .类型三【例3】(1)证明：如解图，连接OC，OAOC，AOCA，ACOP，ABOP，ACOCOP，COPBOP，PB是O的切线，AB是O的直径，OBP90，在POC与POB中，OCOB，COPBOP，OPOP，COPBOP，OCP

18、OBP90，3OC是O的半径，PC是O的切线；(2)解：如解图，过O作ODAC于D，1ODCOCP90，CDAC，DCOCOP，ODCPCO，CD OC ，CDOPOC2，3OPAC，2ACOP，1CDOP，1OPOPOC2，3 ，OC 3sinCPO ；(3)解：如解图，连接BC，AB是O的直径，ACBC，AC9，AB15，BCAB2AC212，当M与A重合时，d0，f12.df12，当CMAB时，dAM，fBM，dfAMBM15，当M与B重合时，d9，f0，df9，df的取值范围是：9df15.针对训练1解：(1)PM是O的切线理由如下：如解图，连接DO并延长交PM于E，弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，OCDC，OBBD，OCOBDCBD，四边形OBDC为菱形，OCBC，OCD和OBD都是等边三角形，CODBOD60，COPEOP60，MPBADC，ADCABC，MPBABC，PMBC，OEPM，CD是O的切线，DCP90，在OPE和OPC中，PEOPCO，POEPOC60，OPOP，POEPOC(AAS)，OEOC，PM是O的切线；(2)由(1)得CPO30，3OCPCtan303 1，32 2 2S2S四边形OCDBOCD13321，23四边形OCDB的面积为 .2(1)证明：如解图，过点O作OEAB于点E，ADBO于点D，D90，BADABD9