1990年全国高考数学文科.docx
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1990年全国高考数学文科
1990年全国高考数学（文科）试题及其解析
考生注意：
本试题共三道大题（
26个小题），满分
120分.
一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分.每小题都给出代号为A，B，C，D的四
个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一
个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）
A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.
B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.
C.甲是乙的充要条件.
D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.
二、填空题:
（共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）
三、解答题.（共6小题，满分60分）
21．（满分10分）有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
22．（满分8分）
23．（满分8分）如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
２
24．（满分10分）已知a>0,a≠1,解不等式loga（4+3x-x）-loga（2x-1）>loga2.
２
25．（满分12分）设a≥0,在复数集C中解方程z+2│z│=a.
26．（满分12分）
参考答案及其解析
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.
（1）A
（2）C
（3）D
（4）B
（5）D
（6）C
（7）A
（8）B
（9）A
（10）C
（11）B
（12）D
（13）A
（14）C
（15）B
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.
三、解答题.
（21）本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.
依题意有
由②式得d=12-2a.③
整理得a-13a+36=0.
2
解得a=4,a=9.
1
2
d
=-6.
代入③式得
d=4,
1
2
从而得所求四个数为
0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二:
设四个数依次为x,y,12-y,16-x.
依题意,有
由①式得x=3y-12.
③
将③式代入②式得
y（16-3y+12）=（12-y）2,
整理得y-13y+36=0.
2
解得y1=4,y2=9.
=0,x=15.
代入③式得
x
1
2
从而得所求四个数为
0,4,8,16或15,9,3,1.
（22）本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力
.
解法一:
由已知得
两式相除得
解法二:
如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是
（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C
连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有
解法三:
由题设得4（sinα+sinβ）=3（cosα+cosβ）.
将②式代入①式,可得
sin（α-）=sin（-β）.
于是α-=（2k+1）π-（
-β）（k∈Z）,
或
α-=2kπ+（-β）（k∈Z）.
若
α-=（2k+1）π-（
-β）（k∈Z）,则α=β+（2k+1）π（k∈Z）.
于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.
由此可知α-=2kπ+（-β）（k∈Z）.
即α+β=2+2kπ（k∈Z）.
（23）本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.
解法一:
由于SB=BC,且E是
中线,所以SC⊥BE.
SC的中点
因此
BE是等腰三角形
SBC
的底边
SC的
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
又∵SA⊥底面ABC,BD
在底面
ABC
上,∴SA⊥BD.
而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.
∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:
由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的
中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面
ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.
∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
以下同解法一.
（24）本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.
解:
原不等式可化为
loga（4+3x-x2）>loga2（2x-1）.①
当0
即当0当a>1时,①式等价于
（25）本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力
解法一:
设z=x+yi,代入原方程得
.
于是原方程等价于方程组
由②式得
别加以讨论.
情形1.
y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数
若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为
.下面分
x2+2│x│=a.
③
（Ⅰ）令x>0,方程③变为x2+2x=a.④
由此可知:
当a=0时,方程④无正根;
（Ⅱ）令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤
由此可知:
当a=0时,方程⑤无负根;
（Ⅲ）令x=0,方程③变为0=a.⑥
由此可知:
当a=0时,方程⑥有零解x=0;
当a>0时,方程⑥无零解.
所以,原方程的实数解是:
当a=0时,z=0;
情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi（y≠0）.此时,①式化为
-y2+2│y│=a.⑦
（Ⅰ）令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即（y-1）2=1-a.⑧
由此可知:
当a>1时,方程⑧无实根.
从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;
（Ⅱ）令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即（y+1）2=1-a.⑨
由此可知:
当a>1时,方程⑨无实根.
从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;
所以,原方程的纯虚数解是:
当a=0时,z=±2i;
而当a>1时,原方程无纯虚数解.
解法二:
设z=x+yi,代入原方程得
于是原方程等价于方程组
由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分
别加以讨论.
情形1.
若y=0,即求原方程的实数解
z=x.此时,①式化为
x2+2│x│=a.
情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi（y≠0）.此时,①式化为
-y2+2│y│=a.
当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,
即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.
即当0
当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.
则其解或为实数,或为纯虚
解法三:
因为z=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解
2
数,即z=x或z=yi（y≠0）.
情形1.
若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.
情形2.
若z=yi（y≠0）.以下同解法一或解法二中的情形
2.
解法四:
设z=r（cosθ+isinθ）,其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得
r2cos2θ+2r+ir2sin2θ=a.
于是原方程等价于方程组
情形1.若r=0.①式变成
0=a.③
由此可知:
当a=0时,r=0是方程③的解.
当a>0时,方程③无解.
所以,当a=0时,原方程有解z=0;
当a>0时,原方程无零解.
（Ⅰ）当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为
r2+2r=a.④
由此可知:
当a=0时,方程④无正根;
（Ⅱ）当k=1,3
时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为
-r2+2r=a,即（r-1）2=1-a,⑤
由此可知:
当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;
从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;
所以,当a=o时,原方程有解z=±2i;
当0
当a>1时,原方程无纯虚数解.
（26）本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.
解法一:
根据题设条件,可取椭圆的参数方程是
其中a>b>0待定,0≤θ<2π.
设椭圆上的点（x,y）到点P的距离为d,则
大值,由题设得
因此必有
由此可得b=1,a=2.
所求椭圆的参数方程是
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