旅行商问题数学建模.docx
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旅行商问题数学建模
黄石理工学院
数学建模大型作业
2011—2012学年第1学期
一．摘要
二．旅行问题
1.问题描述
2.符号说明
3.模型设计
4.建模求解
5.模型分析
6.
三．建模过程及心得体会
四．参考文件
一．摘要
本文是一个围绕旅行商问题和背包问题这两个经典问题的论文。
问题一，是一个依赖与每个城市去一次且仅去一次的路线确定问题，问题二类似于问题一。
问题三是一个依赖于可背重量限制的背包问题。
关键词：
HAMILTON回路LINGO最优旅行路线0-1模型
二．旅行问题
问题描述
某人要在假期内从城市A出发，乘火车或飞机到城市B,C,D,E,F旅游购物。
他计划走遍这些城市各一次且仅一次，最后返回城市A。
已知城市间的路费数据见附表1，请你设计一条旅行路线使得他的总路费最少。
如果临行他因故只能去4个城市，该怎样修订旅行路线？
在城市间旅游时他计划购买照相机，衣服，书籍，摄像机，渔具，白酒，食品，而受航空行李重量的限制以及个人体力所限，所买物品的总重量不能超过15kg，各种物品的价格见附表2.请你为他决策买哪些物品，使所买物品价值最大。
附表1：
A
B
C
D
E
F
A
10
150
B
12
00
C
25
80
D
33
185
E
21
420
F
5
420
0
附表2
照相机
衣服
书籍
摄像机
渔具
白酒
食品
香烟
重量（kg）
1
2
4
3
4
2
2
1
价格（元）
435
600
模型设计
首先给出一个定义：
设v1,v2,......,vn是图G中的n个顶点，若有一条从某一顶点v1出发，经过各节点一次且仅一次，最后返回出发点v1的回路，则称此回路为HAMILTON回路。
问题1.
分析：
这个优化问题的目标是使旅行的总费用最少，要做的决策是如何设定旅行路线，决策受的约束条件：
每个城市都必须去，但仅能去一次。
按题目所给，将决定变量，目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得一下模型。
模型建立：
对于6个城市的旅行问题设A,B,C,D,E,F六个城市分别对应v1,v2,v3,v4,v5,v6。
假设表示从城市i到城市j的费用。
定义0-1整数型变量=1表示从城市i旅行到城市j，否则=0。
则旅行问题的数学模型可表示为一个整数规划问题。
minz=（ij）
s.t.
=1（ij；j=1,2,……,6）
=1（ij；i=1,2,……,6）
（ij;i=2,3,……,6;j=2,3,……6）
其中辅助变量（i=2,3,……,6）可以是连续变化的，虽然这些变量在最优解中取普通的整数值（从而在约束条件中，可以限定这些变量为整数）。
事实上，在最优解中，=访问城市的顺序数。
模型求解
运用LINGO，输入程序：
MODEL:
!
TravelingSalesProblemforthecitiesofsixcity;
SETS:
CITY/1..6/:
U;!
U（I）=sequenceno.ofcity;
LINK（CITY,CITY）:
COST,!
Thecostmatrix;
X;!
X（I,J）=1ifweuselinkI,J;
ENDSETS
DATA:
!
Costmatrix,itneednotbesymmetric;
COST=0120250330210150
120098350225300
250980520430280
3303505200270185
2102254302700420
1503002801854200;
ENDDATA
N=@SIZE（CITY）;
MIN=@SUM（LINK:
COST*X）;
@FOR（CITY（K）:
!
Itmustbeentered;
@SUM（CITY（I）|I#NE#K:
X（I,K））=1;
!
Itmustbedeparted;
@SUM（CITY（J）|J#NE#K:
X（K,J））=1;
!
Weakformofthesubtourbreakingconstrains;
!
Thesearenotverypowerfulforlargeproblems;
@FOR（CITY（J）|J#GT#1#AND#J#NE#K:
U（J）>=U（K）+X（K,J）-（N-2）*（1-X（K,J））+（N-3）*X（J,K））;）;
@FOR（LINK:
@BIN（X））;!
MaketheX's0/1;
!
Forthefirstandlaststopweknow...;
@FOR（CITY（K）|K#GT#1:
U（K）<=N-1-（N-2）*X（1,K）;
U（K）>=1+（N-2）*X（K,1））;
END
得到结果：
总费用为1163
路线：
A-B-C-F-D-E-A
问题2.
临时因故只能去4个城市，那么应该怎样安排旅行路线。
分析：
在B,C,D,E,F五个城市中选4个城市，显然有5种可能，按照问题一中的模型，将费用矩阵稍作修改，运用LINGO分别解除5种可能的费用，进行比较，即得结果。
（1）选取B,D,E,F，计算旅行费用：
MODEL:
!
TravelingSalesProblemforthecitiesofsixcity;
SETS:
CITY/1..5/:
U;!
U（I）=sequenceno.ofcity;
LINK（CITY,CITY）:
COST,!
Thecostmatrix;
X;!
X（I,J）=1ifweuselinkI,J;
ENDSETS
DATA:
!
Costmatrix,itneednotbesymmetric;
COST=0120330210150
1200350225300
3303500270185
2102252700420
1503001854200;
ENDDATA
N=@SIZE（CITY）;
MIN=@SUM（LINK:
COST*X）;
@FOR（CITY（K）:
!
Itmustbeentered;
@SUM（CITY（I）|I#NE#K:
X（I,K））=1;
!
Itmustbedeparted;
@SUM（CITY（J）|J#NE#K:
X（K,J））=1;
!
Weakformofthesubtourbreakingconstrains;
!
Thesearenotverypowerfulforlargeproblems;
@FOR（CITY（J）|J#GT#1#AND#J#NE#K:
U（J）>=U（K）+X（K,J）-（N-2）*（1-X（K,J））+（N-3）*X（J,K））;）;
@FOR（LINK:
@BIN（X））;!
MaketheX's0/1;
!
Forthefirstandlaststopweknow...;
@FOR（CITY（K）|K#GT#1:
U（K）<=N-1-（N-2）*X（1,K）;
U（K）>=1+（N-2）*X（K,1））;
END
得到结果：
总费用：
950
路线：
A-B-E-D-F-A
（2）选取B,C,E,F，计算旅行费用：
MODEL:
!
TravelingSalesProblemforthecitiesofsixcity;
SETS:
CITY/1..5/:
U;!
U（I）=sequenceno.ofcity;
LINK（CITY,CITY）:
COST,!
Thecostmatrix;
X;!
X（I,J）=1ifweuselinkI,J;
ENDSETS
DATA:
!
Costmatrix,itneednotbesymmetric;
COST=0120250210150
120098225300
250980430280
2102254300420
1503002804200;
ENDDATA
N=@SIZE（CITY）;
MIN=@SUM（LINK:
COST*X）;
@FOR（CITY（K）:
!
Itmustbeentered;
@SUM（CITY（I）|I#NE#K:
X（I,K））=1;
!
Itmustbedeparted;
@SUM（CITY（J）|J#NE#K:
X（K,J））=1;
!
Weakformofthesubtourbreakingconstrains;
!
Thesearenotverypowerfulforlargeproblems;
@FOR（CITY（J）|J#GT#1#AND#J#NE#K:
U（J）>=U（K）+X（K,J）-（N-2）*（1-X（K,J））+（N-3）*X（J,K））;）;
@FOR（LINK:
@BIN（X））;!
MaketheX's0/1;
!
Forthefirstandlaststopweknow...;
@FOR（CITY（K）|K#GT#1:
U（K）<=N-1-（N-2）*X（1,K）;
U（K）>=1+（N-2）*X（K,1））;
END
得到结果：
总费用：
963
路线：
A-E-B-C-F-A
（3）选取B,C,D,F,计算旅行费用：
MODEL:
!
TravelingSalesProblemforthecitiesofsixcity;
SETS:
CITY/1..5/:
U;!
U（I）=sequenceno.ofcity;
LINK（CITY,CITY）:
COST,!
Thecostmatrix;
X;!
X（I,J）=1ifweuselinkI,J;
ENDSETS
DATA:
!
Costmatrix,itneednotbesymmetric;
COST=0120250330150
120098350300
250980520280
3303505200185
1503002801850;
ENDDATA
N=@SIZE（CITY）;
MIN=@SUM（LI
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