数字信号处理习题集附答案Word下载.docx

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j（-

^X（e

X（e2）

j（）n

x（n）e2

（2）x*（n）（共轭）

DTFTx*（n）

x*（n）ejn

[x（n）ejn]*

X*（ej）

2.计算下列各信号的傅里叶变换。

（a）2u[n]

（C）[4

2n]

（d）

吩）

（a）

X（

2nu[

n]ejn

（2ej）

（b）

（1）nu[n

2]e

（1）ne

（c）

m0（^2

x[n]e

（m

2）

ej2

2n]ej

利用频率微分特性，可得

X（）

■dX（）

（1昇）2

3.序列x（n）的傅里叶变换为

X（ejw）

求下列各序列的傅里叶变换。

（1）x（n）

（2）

Re[x（n）]

（3）nx（n）

（1）x*（n）ejwn

[x（n）ejw（n）]*

X*（ejw）

（2）Re[x（n）]ejwn

2[x（n）x（n）]

jwn1jwjw

e2[X（e）X（e）]

（3）nx（n）ejwn

j±

x（n）ejwn

jdwdwn

.dX（ejw）

4.序列x（n）的傅里叶变换为

X（ejw），求下列各序列的傅里叶变换。

（1）x（n）

jlm[x（n）]

x2（n）

解:

（1）

jwn

x（n）e

[x（n）ej（w）（n）]

x（n）ej（w）n]X（ejw）

严）

n）]e

x（n）e

jwni

（n）e]

（3）

x（n）e

j（

w）n

2X（旳

（e

jw）

2jwn

丄X（ej

厂X（ej）

X（ej

）d

j（w

）n

）X（ej（w））d

5.令x（n）和X（e）表示

个序列及其傅立叶变换,

利用X（e）表示下

面各序列的傅立叶变换。

g（n）

x（2n）

g（n）

xn2n为偶数

0n为奇数

G（ejw）

g（n）ejnwx（2n）ejnw

x（k）e

k为偶数

kj-w

x（nno）

no为任意实整数

n为奇数

jwno

2x（k）

kjw

1）x（k）e2

（J2）

x（k）e

-x（k）（e2k

jkd）

）e

2x（/）

ej（「

2xd2）

（2）G（ejw）g（n）ejnw

g（2r）ej2rw

x（r）e

jr2wX（ej2w）

6.设序列x（n）傅立叶变换为

jw、

X（e），求下列序列的傅立叶变换。

x（n2）n为偶数

X（ej2w）

为奇数

7.计算下列各信号的傅立叶变换。

（1）

（2）nu（n3）u（n2）

⑵cos（18

sin（2n）

假定cos（18\）和sin（2n）的变换分别为

X,k）和X2（k），则

18218

X,k）

（Nk

2k）（k

7N7

2k）

X2（k）

（—k

22k）（2k22k

所以

X（k）

XNk）

（3）x（n）

cos（n3）

—1n4

其它

【解】

（1）X（k）

（-）nu（n3）

u（n2）

ej>

j\nj'

（2）e

j3—k

8eN__

j2Nk

2■N

1le

j3^k

8eN

/1、5

（2）e

1j—k1丄eN

」、n

（2）e

j2—k

1j三k

j5仝k

（2

22k）j（k22k）

jn2

cos—ne

3）e

jnk

41J-n

尹3

n42

‘2

1J4（k-）

J（k）n

J4（k

N_e2

（?

2N）n

2jq轨）9lej4W1e3N

1e%^k）

j4《k

3）

8求下列序列的时域离散傅里叶变换

X（n）

Rex（n）

xo（n）

x（n）ej

（n）X（ej）

2x（n）

X（n）ejnX（eJ）X（eJ）Xe（eJ）

Xo（n）ej

丄x（n）

x（n）ejnjImX（ej）

三、离散时间系统系统函数

填空题：

1.设H（z）是线性相位FIR系统，已知H⑺中的3个零点分别为1,0.8,

1+j，该系统阶数至少为（）。

由线性相位系统零点的特性可知，z1的零点可单独出现，z0.8的零点需成对出现，z1j的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。

2.何谓最小相位系统？

最小相位系统的系统函数Hmin（Z）有何特点？

解：

一个稳定的因果线性时不变系统，其系统函数可表示成有理方程式

brZ

H（Z）竺斗，他的所有极点都应在单位圆内，即

Q（Z）1"

k1。

但零点可以位于Z平面的任何地方。

有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G（Z）1H（Z）也是稳定因果的。

这就需要H（Z）的零点也位于单位圆内，即r1。

一个稳定因果的滤波器，女口果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。

等价的，我们有如下定义。

【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。

一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值|H（ejw）唯一确定。

从ejw求H（Z）的过程如下：

给定|ejw，先求ejw|，它是cos（kw）的函数。

然后，用1（ZkZk）替代cos（kw），我们得到G（Z）H（Z）H（Z1）。

最后，最小相位系统由单位圆内的G（Z）的极、零点形成。

一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通

系统的乘积，即

H（Z）Hmin（Z）Hap（Z）

完成这个因式分解的过程如下：

首先，把H（Z）的所有单位圆外的零

点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数Hmin⑵是最小相位的。

然后，选择全通滤波器Hap（Z）,把与之对应的Hmin（Z）中的零点映射回单位圆外。

3.何谓全通系统？

全通系统的系统函数Hap（Z）有何特点？

一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap（Z）对应的傅里叶变换

幅值

H（ejw）

1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式

的零极点必须呈共轭倒数对出现，即

Hap（Z）

P（Z）

Q（Z）

1akZ

-冷。

因而，如果在Zk11kZ

k处有一个

极点，则在其共轭倒数点Z

处必须有一个零点

4.有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、

系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。

xnyn

►hn►

频率响应：

H（eJ）h（n）ejn

系统函数：

H（Z）

h（n）Z

差分方程：

Z1YI

卷积关系：

y（n）h（n）x（n）

第三章离散傅立叶变换

一、离散傅立叶级数

1.如果x（n）是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。

把~（n）看作周期为N的周期序列有~（n）Xi（k）（周期为N）；

把~（n）看作周期为2N勺周期序列有~（n）文2（k）（周期为2N）；

试用&

（k）

表示X2（k）。

X^k）

〜（n）W,n

N1~（n）eF1"

2N1

〜kn

x（n）W2N

N1jUn

〜（n）eN2

2N1jUn

对后一项令n

nN，则

N1.2k

X2（k）〜（n）eN2

〜（n

N）e

（1

所以X2（k）

jk）〜（n）e

jk~k

jk）xq）

2X1（；

k为奇数

离散傅立叶变换定义

填空题

2.某DFT的表达式是X（l）

x（k）W^1，则变换后数字频域上相邻两

个频率样点之间的间隔是（）。

2.M

3.某序列DF啲表达式是X（l）x（k）wM，由此可看出，该序列的时

域长度是（）,变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是

（）。

N2M

4.如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足

条件（纯实数、偶对称）。

纯实数、偶对称

5.采样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中z1代表的物理意义是（延时一个采样周期T=1/F）,其中时域数字序列x（n）的序号n代表的样值实际位置是（nT=n/F）;

x（n）的N点DFTX（k）中，序号k代表的样值实际位置又是（k—k）。

延时一个采样周期T1F,nTnF,k—k

6.用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了

512点的DFT则频域抽样点之间的频率间隔f为8000/512,数字角频

率间隔w为2pi/512和模拟角频率间隔8000*0.0123。

15.625,0.0123rad,98.4rad/s

7.—个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做

DFT对它进行分析解：

如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。

否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。

计算题8令X（k）表示N点的序列x（n）的N点离散傅里叶变换，X（k）本身也是一个N点的序列。

如果计算X（k）的离散傅里叶变换DFT得到一序列

Xi（n），试用x（n）求Xi（n）

N1N1

x（n）W『WN；

x（n）

n）

Xi（n）X（k）WN；

因为

n）

nnNl

其他

X1（n）Nx（nNl）Nx（（n））nRn（n）

9.序列x（n）HQO，其4点DFTx（k）如下图所示。

现将x（n）按下列

（1）,

（2）,（3）的方法扩展成8点,求它们8点的DFT?

（尽量利用DFT

的特性）

y1（n）

x（n4）

y2（n）

n0~3

n4~7

ya（n）

x（*

n偶数

n奇数

Y12k2Xk,

0k3

Y12k1

（2）丫2

Xk,k12k,0k17,0k3

（3）丫3

Xk1

4Xk

7,0k

3,kk1mod4

10.设x（n）是一个2N点的序列，具有如下性质:

x（nN）x（n）

另设xi（n）x（n）Rn（n）,它的N点DFT为x“（k），求x（n）的2N点DFTX（k）和X1（k）的关系。

Xk2Xik推导过程略

11.试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）

（1）x（n）aR（n）

（2）x（n）nRn（n）

（1）因为x（n）a

Rn5），所以

1aN

ae⑺

（2）由x（n）nRn（n），得

X（k）nW,kRN（k）

W,X（k）nwNn1）kRN（k）

X（k）（1

knk

Wn）（nW”

nWN（n1）k）RN（k）

2^Vn

（（N

1）

Wn）RN（k）

（N

1）wNN1）k

（Wn

2）wNN1）k

1）RN（k）

Wn1

RN（k）

NRz（k）

1WNkRN（k）

12.计算下列序列的

N点DFT:

R16

an,0n

cos

nm,

nnkaWn

NNK

1aWN

1aWNk

（2）X（k）

cosmn0N

.2jmn

jLnkeN

j2（km）e

j（km）

1eN

1ej2（km）

ej（5ej

（km）j-NJ（k

——eN

j（km）j（km）

m）

（k

ej（k

j（km）j（km）

j»

（km）

sin（（km））j〒（km）

esin（km）N

sin（km）j〒（km）

N,k=m或k=-m

13.已知一个有限长序列x（n）（n）2（n5）

（1）求它的10点离散傅里叶变换X（k）

（2）已知序列y（n）的10点离散傅立叶变换为Y（k）whx（k），求序

列y（n）

（3）已知序列m（n）的10点离散傅立叶变换为M（k）X（k）Y（k），求

序列m（n）

（n）2（n5）WF

解；

（1）X（k）x（n）W0

=1+2W15k=1+2e=1+2

（1）k，k0,1,...,9

（2）由Y（k）W"

2kX（k）可以知道，y（n）是x（n）向右循环移位2的结果,

y（n）x（n2）（n2）2（n7）

（3）由M（k）X（k）Y（k）可以知道，m（n）是x（n）与y（n）的10点循环卷积。

一种方法是先计算x（n）与y（n）的线性卷积

u（n）x（n）y（n）x（l）y（nl）

=001,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4

然后由下式得到10点循环卷积

m（n）u（n10l）R10（n）0,0,5,0,0,0,0,4,0,05（n2）4（n7）

另一种方法是先计算y（n）的10点离散傅立叶变换

（2）已知序列：

o,其它'

’,则x（n）的9点DFT是

X（k）e

sin—k

，k

0,1,2,...8

正确否？

用演算来证明你的结论。

P345

（1）

sin

jJkn

1N1

2jn0

.2jn

jLkn

k）n

j—（1k）nN

jNkj2,k

.N.J,k

0，其它

nknk2k7k

Y（k）y（n）WNn22n7W10W102W10

再计算乘积

M（k）X（k）Y（k）12W15kW12k2W17k

W『

2W10k2W10k4W1102k

5W12k

4WF

由上式得到

m（n）5n24n7

14.

（1）已知序列：

x（n）sinn,0nN1,求x（n）的N点DFT

1e®

j_kjk

e3e3

j_k

kSinEk

e9,K0,1,…8

sink

可见，题给答案是正确的。

15.—个8点序列x（n）的8点离散傅里叶变换X（k）如图5.29所示。

在x（n）的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列y（n）,

即

x-，n为偶数

y（n）'

0，n为奇数

（1）求y（n）的16点离散傅里叶变换Y（k），并画出Y（k）的图形。

（2）N设X（k）的长度N为偶数，且有X（k）X（N1k）,k0,1,...,N1，求x—。

（1）因n为奇数时y（n）0，故

nknnk

Y（k）y（n）W〔6x—W16

n0n0,2,...2

x（m）W8，

0k15

另一方面

x（m）W8mk,0k7

X（k）m0

0,其它

因此X（k8）m0X（m）W8m（k8），8k15

x（m）W8mk,0k15

Y（k）x（m）W8mk

Y（k）m0

0k15

X（k）,

0k7

X（k8）,

8k15

按照上式可画出Y（k）的图形，如图5.34所示

16.计算下列有限长序列x（n）的DFT假设长度为N。

（1）x（n）an

（2）x（n）1,2,3,1

aWN；

（1）X（k）anW0

1aW,N1aN

1aWN；

（2）X（k）x（n）W4nk

W402W4k3W2kW43k

12W?

3WkW

（0k3）

12（j）k3

（1）kjk

17.长度为8的有限长序列x（n）的8点DFT为X（k），长度为16的一

个新序列定义为

n0,2,...14

y（n）

n1,3,...,15

试用X（k）来表示Y（k）DFTy（n）。

Y（k）y（n）W*k

2rk

y（2r）W16

y（2r

1W2r1）k

x（r）W8rk

0,1,...,15）

而

7nk

X（k）x（n）W8

0,1,...,7）

因此，当k0,1,...,7时，Y（k）X（k）；

当k8,9,...,15时，令

kl8（1

0,1,...,7），得到：

丫（1

8）x（r）W8r（l8）x（r）W8rlX（l）

r0r0

即Y（k）

X（k

8）

于是有

『X（k）

k0,1,...,7

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