完整word版中职数学三角函数教案docxWord下载.docx
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2）扇形面积公式S1lR其中l是扇形弧长，R是圆的半径
2
4.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135
°
150°
180°
弧度
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330
360°
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π
2π
/6
5.应确立如下的概念：
角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
正角
正实数
零角
零
负角
负实数
任意角的集合实数集R
三、任意角三角函数的定义
1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）
y2
则P与原点的距离rxy
x
（x,y）
（1）把比值y叫做的正弦记作：
sin
y
（2）把比值x叫做的余弦记作：
cos
（3）把比值y叫做的正切记作：
tan
上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上
时，即k（kZ）时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan无意义；
它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。
三角函数值的定义域：
sinR
cosR
|
k,kZ
2.三角函数的符号
为正全正
tancos
为正为正
3.终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°
和－330°
都与30°
终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值
相同，即
sin390°
＝sin30°
cos390°
＝cos30°
sin（－330°
）＝sin30°
cos（－330°
）＝cos30°
诱导公式一（其中
k
Z）:
用弧度制可写成
sin（
360）
2k
）
cos（
tan（
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问
题。
4.三角函数的集合表示：
T
MP
1
P
OM
MA1x
－1
AT
OA
例1.在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
（1）120
（2）640（3）95012'
例2.写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）
例3.用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为{|k360<
<
k360+90，（kZ）}；
第二象限的角表示为
第三象限的角表示为
第四象限的角表示为
巩固练习
1.下列命题中正确的是（）
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·
360°
（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2.与120°
角终边相同的角是（）
A.－600°
＋k·
，ｋ∈Ｚ
B.－120°
C.120°
＋（2k＋1）·
180°
D.660°
，ｋ∈Ｚ
3.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是
4.
角α是第二象限角，则
＋α是第
象限角；
－α是第
－α是第________象限角．
5.
一个扇形OAB的面积是
1平方厘米，它的周长是
4厘米，求∠AOB和弦AB的长.
6.确定下列各式的符号
（1）sin100°
·
cos240°
（2）sin5+tan5
四、三角函数
（一）三角函数的几何表示
1、有向线段：
规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。
有向直线：
规定了正方向的直线称为有向直线。
有向线段的数量：
有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度加上
正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。
记为AB如图：
AB＝3，BC＝2，CB＝－2
2、三角函数线的定义：
有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线
（二）同角三角函数的关系
1.公式：
sin2
cos2
2.采用定义证明：
1x2
r2
且sin
y,cos
sin2
2当
（k
Z）时，sin
（三）诱导公式
1、诱导公式一：
（其中k
Z）
sin（2k）sincos（2k）cos
tan（2k）tan（其中kZ）
诱导公式
（一）的作用：
把任意角的正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角的正弦、
余弦、正切，其方法是先在0o―360o内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式
（一）
的形式，然后得出结果。
2、诱导公式二：
用弧度制可表示如下：
sin（180
）-sin
cos（180
）-cos
tan（180
）tan
3、诱导公式三：
sin（）-sin
cos（）cos
tan（）tan
4、诱导公式四：
）sin
5、诱导公式五：
sin（360）-sinsin
（2）-sin
cos（360
）cos
cos（2
tan（360
tan（2
6、诱导公式六：
sin（90
）=cos
（90
）=sin.
tan（90
）=cot
cot
）=tan.
sec（90
）=csc
csc
）=sec
7、诱导公式七：
+
（90
）=
sin.
tan.
例1.确定角α为何值时，下面的式子有意义。
（1）cosαtanα
（2）
例2.
已知cos
8，求sin
、tan
的值。
17
例5.求下列各式的值：
（1）sin（－4）；
（2）cos（－60o）－sin（－210o）
3
1.
已知sinα＋cosα＝1
3，且0＜α＜π，
tanα的（
A.
B.3
D.
C.
2.
cos2
cos3
cos4
=
5
3.求下列三角函数：
（1）sin5
；
（2）cos19
（3）sin（
240）；
（4）cos（1665）
4
6
五、三角函数的图象和性质
（一）三角函数的周期性
周期函数：
一般地，于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定域内的每
一个，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做个函数
的周期。
明：
①周期函数
x定域
M，必有
x+T
M
②T
往往是多的（如
y=sinx2
4
⋯,-2
-4
⋯都是周期）周期
中最小的正数叫做
f（x）
的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
正弦函数、余弦
函数都是周期函数，
2kπ（k∈Z且
k≠0）都是它的周期，最小正周期是
注：
在本中，如果不加以明，周期都是指函数的最小正周期。
③判断：
（
1）x
时sin（x
sinx
则2一定不是函数y=sinx的周期。
（2）x
时sin（x
2）sinx
则2一定是函数y=sinx的周期。
（二）三角函数的性
1.几何法作
第一步：
列表。
首先在位中画出正弦和余弦。
在直角坐系的
x上任取一点
O1，以O1心作位，从个与
x的交点A起把分成几等份，上的各分点
作x的垂，可以得到于角
0,
，
，,⋯，2π的正弦及余弦（等价于描
点法中的列表）。
第二步：
描点。
我把
x上从0到2π一段分成几等份，把角
x的正弦向右平行
移，使得正弦的起点与
x上相的点x重合，正弦的点就是正弦函数象上的
点。
第三步：
。
用光滑曲把些正弦的点起来，就得到正弦函数
y=sinx，x
∈[0，2π]的象。
-6
-5
-4
-3
-2
-
-1
fx
=sin
将y=sinx
的象向左平移
即得y=cosx的象
=cos
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的（描点法）
（1）正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
（0,0）
1）
0）
（2
-1）
（2）余弦函数y=cosxx
[0,2
]的图象中，五个关键点是：
（0,1）
3.正弦函数的性质
（1）定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R
分别记作：
＝sin
∈R
＝cos
，∈R
（2）值域
正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1。
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1。
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1。
②当且仅当x＝（2k＋1）π，k∈Z时，取得最小值－1。
（3）周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，
2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。
函数y
Asin（
）,xR
及函数y
Acos（x
（其中A，
为常数，且A
0,0）的周期
（4）奇偶性
y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
（5）单调性
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1
22
增大到1；
在每一个闭区间［＋2kπ，3＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小
到－1。
余弦函数在每一个闭区间［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增加
到1；
在每一个闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。
例1、若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示
（1）求该函数的周期；
（2）求t＝10s时钟摆的高度。
h/mm
t/s
例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：
（1）sinx
（2）cosx
例3、求下列函数的定义域：
（1）y＝
y＝cosx
（2）
1.函数y＝2－sinx，x∈［0，π］的最大值为（
A.0
B.－1
C.2
D.3
2.直接写出下列函数的定义域、值域：
y＝
＝2cosx
1sinx
3.函数y＝ksinx＋b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。
4.求ycos（x）的单调递增区间。
32
5.求函数y＝－cosx的单调区间。
六、正切函数的图象和性质
1.正切函数图象的作法
在,的区间作出它的图象
ytanxxR，且xkkz的图象，称“正切曲线”
正切函数的性质：
定义域：
x|x
k,kz
值域：
R
3.
当xk,k
kz时y
0，当xk
kkz时y0
周期性：
T
5.奇偶性：
tanxtanx奇函数
6.单调性：
在开区间k,kkz内，函数单调递增
七、函数y=Asin（ωx+φ）（A>
0且A1，ω>
0）的图象
（一）函数图象的三种变换
1.振幅变换y=Asinx，xR（A>
0且A1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐
标变为原来的A倍而得到。
A称为振幅（物体振动时离开平衡位置的最大距离）。
2.周期变换:
函数y=sinωx，xR（ω>
0且ω1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标变到原来的1倍（纵坐标不变）。
ω决定了函数的周期。
3.相位变换:
函数y＝sin（x＋），x∈R（其中≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上
所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动｜｜个单位长度而得到。
13
与tan
的大小
例1.比较tan
例2.求函数ytan3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性
1.判断正误
①y＝Asinωx的最大值是A，最小值是－A
②y＝Asinωx的周期是2
③y＝-3sin4x的振幅是3，最大值为
3，最小值是-3
函数y＝tan（ax＋
）（a≠0）的最小正周期为（
A.2
B.2
a
|a|
已知函数y＝Asin（ωx＋）（A＞0，ω＞0，0＜
＜2π＝图象的一个最高点是（
2，
3），由这个最高点到相邻最低点的图象与
x轴交于点（6，0），试求函数的解析式。
4.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B。
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式。
八、两角和与差的余弦
设向量a
OP1
（cos
，sin
b
OP
所以a
b|a||b|cos（
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