8.组合数公式:
Cn=—=2)•••(“-"+1)或刖(冷?
花“,冃应初
”A;;;加”一加⑺-讪
9•组合数的性质1:
C:
=C;「.规定:
C^=l;组合数的性质2:
C;;;严C:
+C;J分组(堆)问题的六个模型:
①有序不等分;②有序等分;③有序局部等分;④无序不等分;⑤无序等分;⑥无序局部等分;
插空法•解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决•例如:
7人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是_3600
捆绑法•相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列•例如:
6名同学坐成一排,其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_240种.
排除法•从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体儿何、平面解析儿何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍•例如:
从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任収3个元素分别作为直线方程Ax+By+C二0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_30—条.
隔板法:
n个相同小球放入m(mWn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选旷1个结点剪成m段(插入m—1块隔板),有种方法.
错位法:
编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球•要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列•特别当n二2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
2个、3个、4个元素的错位排列容易计算•关于5个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题:
15个元素的全排列为:
农=120;
2剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)C;xl种、恰好
有2对球盒同号(3个错位的)C;X2种、恰好有1对球盒同号(4个错位的)C;X9种.
・:
120一l-C;xl一Cjx2一C;x9=44・
用此法可以逐步计算:
6个、7个、8个、……元素的错位排列问题.
容斥法:
n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法.
二项式定理
1.二项式定理及其特例:
(1)(d+by=Cy+C;a”b+・・・+Cnan-Vbr+…+C:
;b”(nwNJ,
(2)(1+x)n=1+H-I兀"・
2.二项展开式的通项公式:
Tf.+1=C>w~r/2,(r=0,l,2--.,n).
3.常数项、有理项和系数最大的项:
求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对尸的限制;
求有理项时要注意到指数及项数的整数性・
4•二项式系数表(杨辉三角)
(a+by展开式的二项式系数,当斤依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
5.二项式系数的性质:
(a+by展开式的二项式系数是U,C;,,C;,…,c;:
・C:
可以看成以广为自变量的函数f(r),定义域是{0丄2,・・・,对
(1)对称性.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(C:
=c;;r.
n
直线r=-是图象的对称轴.
2
(2)增减性与最大值:
”n+\
当料是偶数时,中间一项磔取得最大值;当斤是奇数时,中间两项g7,取得最大值.
(3)各二项式系数和:
J(l+x)"=l+C:
x+…+C;f+…+x",令x=i,则2—c:
)+c:
+C;+…+C;+…+C:
随机事件事件的概率
1・事件的定义:
随机事件:
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;
必然事件:
在一定条件下必然发生的事件;
不可能事件:
在一定条件下不可能发生的事件.
IT1
2.随机事件的概率:
一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率一总是
n
接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).
3•概率的确定方法:
通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;
4.概率的性质:
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0
5•基本事件:
一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件A)称为一个基本事件
6.等可能性事件:
如果一次试验中可能出现的结果有川个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是丄,这种事件叫等可能性事件.
n
7.等可能性事件的概率:
如果一次试验中可能出现的结果有〃个,而且所有结果都是等可能的,如果事件A包含加个结果,那么事件A的概率P(A)=-・
n
&随机事件的概率、等可能事件的概率计算
首先、对于每一个随机实验来说,可能出现的实验结果是有限的;其次、所有不同的实验结果的出现是等可能的•一定要在等可能的前提下计算基本事件的个数•只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下,计算出的基本事件的个数才是正确的,才能用等可能事件的概率计算公式P(A)二m/n來进行计算.
9.等可能性事件的概率公式及一般求解方法・求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤:
(1)先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少,即求出A・
(2)再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m(3)应用等可能性事件概率公式p=HL计算■确定加、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分n
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.
互斥事件有一个发生的概率
1.互斥事件的概念:
不可能同时发生的个事件叫做互斥事件.A、B互斥,即事件A、B不可能同时发生,这时P(A*B)=0)P(A+B)=P(A)+P(B).
-•般地:
如果事件A,,£,A中的任何两个都是互斥的,那么就说事件£,£,…,九彼此互斥.
2.对立事件的概念:
事件A和事件B必有一个发生的互斥事件.A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生•这时P(A・B)=O,P(A+B)=P(A)+P(B)=1.一般地,〃口)=1-P(A)
3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解:
第一,互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二,所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三,两个事件互斥是从试验的结果不能同吋出现来确定的.从集合角度来看,A、B两个事件互斥,则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.
对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验屮有且仅有一个发生的两个事件,集合4的对立事件记作灭,从集合的角度来看,事件灭所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集,即AUA=U,AQA=0.对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.
4•事件的和的意义:
事件久3的和记作A+B,表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件吋,事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“3发生而A不发生”构成的,因此当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式:
P(A+3)=P(4)+P(B)(A、B互斥),且有PCA+A)=P(4)+P(灭)=1.
当计算事件A的概率P(A)比较困难时,有时计算它的对立事件瓜的概率则要容易些,为此有P(A)=\~P(%)・5•要弄清兔・用,丽的区别.
灭•忌表示事件瓜与万同时发生,因此它们的对立事件A与B同时不发生,也等价于力与B至少有一个发生的对立事件即不X,因此有瓜・万瓦但兔・E二A+B・
6.互斥事件的概率的求法:
如果