高中文科数学排列组合二项式定理复习题doc.docx

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高中文科数学_排列、组合、二项式定理复习

六、统计

（一）随机抽样

1.了解随机抽样的意义。

2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

（二）总体估计

1•了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。

2.理解样木数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差。

3.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

4.会用样木的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征佔计总体的基本数字特征，理解用样木估计总体的思想。

5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。

七、概率

（一）事件与概率

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的总义，了解频率与概率的区别。

2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式。

（二）古典概型

1.理解古典概型及其概率计算公式。

2.会计算一些随机爭件所含的基木事件数及事件发生的概率。

分类计数原理和分步计数原理

1•分类计数原理：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在笫一类办法屮有"种不同的方法，在第二类办法中有加2种不同的方法，……，在第n类办法中有加〃种不同的方法•那么完成这件事共有N=+m2+—\-mn种不同的方法.

2•分步计数原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有f种不同的方法，做第二步有加2种不同的方法，……,做第n步有加”种不同的方法，那么完成这件事有N=种不同的方法.

3•两个基本原理的作用：

计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.

4•两个基本原理的区别：

一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘

法原理是“分步完成”・

5•原理浅释（可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同）

分类计数原理（丿川法原理）中，“完成…件事，有〃类办法”，是说毎种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件爭，同时他们之间没有逍复也没有遗漏.进行分类时，耍求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪-•种方法，都能独立完成这件事•只冇满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.

分步计数原理（乘法原理）中•“完成-件事，需耍分成"个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事.这些步骤.彼此间也不能有逍复和遗漏.如果完成-•件事衞耍分成儿个步骤，各步骤都不可缺少，需耍依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步耍求相吒独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都冇m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.排列与组合的基本问题

1.排列的概念：

从斤个不同元素屮，任取m（m<«）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从几个不同元素中取出加个元素的一个排列.

•••••••••

2.排列数的定义：

从”个不同元素中，任収加Cm

3.排列数公式：

A'1'=n（n-1）（/?

-2）•••（h-m+1）（N\m

4•阶乘：

〃!

表示正整数1到/?

的连乘积，叫做/?

的阶乘•规定0!

=1.

5.排列数的另一个计算公式：

-

（/?

-m）!

6•组合的概念：

一般地，从并个不同元素中取出m（m

7.组合数的概念：

从”个不同元素屮取出m（m

8.组合数公式：

Cn=—=2）•••（“-"+1）或刖（冷?

花“,冃应初

”A；；；加”一加⑺-讪

9•组合数的性质1：

C：

=C；「.规定：

C^=l；组合数的性质2：

C；；；严C：

+C；J分组（堆）问题的六个模型：

①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分;⑤无序等分；⑥无序局部等分；

插空法•解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决•例如：

7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_3600

捆绑法•相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列•例如：

6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_240种.

排除法•从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

排列组合应用题往往和代数、三角、立体儿何、平面解析儿何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍•例如：

从集合｛0,1,2,3,5,7,11｝中任収3个元素分别作为直线方程Ax+By+C二0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_30—条.

隔板法：

n个相同小球放入m（mWn）个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选旷1个结点剪成m段（插入m—1块隔板），有种方法.

错位法：

编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球•要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列•特别当n二2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.

2个、3个、4个元素的错位排列容易计算•关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：

15个元素的全排列为：

农=120；

2剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号（2个错位的）C；xl种、恰好

有2对球盒同号（3个错位的）C；X2种、恰好有1对球盒同号（4个错位的）C；X9种.

・：

120一l-C；xl一Cjx2一C；x9=44・

用此法可以逐步计算：

6个、7个、8个、……元素的错位排列问题.

容斥法：

n个元素排成一列，求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数，宜用容斥法.

二项式定理

1.二项式定理及其特例：

（1）（d+by=Cy+C；a”b+・・・+Cnan-Vbr+…+C：

；b”（nwNJ,

（2）（1+x）n=1+H-I兀"・

2.二项展开式的通项公式：

Tf.+1=C>w~r/2,（r=0,l,2--.,n）.

3.常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对尸的限制；

求有理项时要注意到指数及项数的整数性・

4•二项式系数表（杨辉三角）

（a+by展开式的二项式系数，当斤依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

5.二项式系数的性质：

（a+by展开式的二项式系数是U，C；,,C；,…，c；：

・C：

可以看成以广为自变量的函数f（r）,定义域是｛0丄2,・・・,对

（1）对称性.

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（C：

=c;;r.

n

直线r=-是图象的对称轴.

2

（2）增减性与最大值：

”n+\

当料是偶数时，中间一项磔取得最大值；当斤是奇数时，中间两项g7，取得最大值.

（3）各二项式系数和：

J（l+x）"=l+C：

x+…+C；f+…+x",令x=i,则2—c：

）+c：

+C；+…+C；+…+C：

随机事件事件的概率

1・事件的定义：

随机事件：

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：

在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：

在一定条件下不可能发生的事件.

IT1

2.随机事件的概率：

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率一总是

n

接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.

3•概率的确定方法：

通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

4.概率的性质：

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0

5•基本事件：

一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件

6.等可能性事件：

如果一次试验中可能出现的结果有川个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是丄，这种事件叫等可能性事件.

n

7.等可能性事件的概率：

如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含加个结果，那么事件A的概率P（A）=-・

n

&随机事件的概率、等可能事件的概率计算

首先、对于每一个随机实验来说，可能出现的实验结果是有限的；其次、所有不同的实验结果的出现是等可能的•一定要在等可能的前提下计算基本事件的个数•只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式P（A）二m/n來进行计算.

9.等可能性事件的概率公式及一般求解方法・求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：

（1）先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A・

（2）再确定所研究的事件A是什么，事件A包括结果有多少,即求出m（3）应用等可能性事件概率公式p=HL计算■确定加、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变，没有固定的模式,可充分n

利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏.

互斥事件有一个发生的概率

1.互斥事件的概念:

不可能同时发生的个事件叫做互斥事件.A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生,这时P（A*B）=0）P（A+B）=P（A）+P（B）.

-•般地：

如果事件A,,£,A中的任何两个都是互斥的，那么就说事件£,£，…，九彼此互斥.

2.对立事件的概念:

事件A和事件B必有一个发生的互斥事件.A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生•这时P（A・B）=O,P（A+B）=P（A）+P（B）=1.一般地,〃口）=1-P（A）

3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：

第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同吋出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.

对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验屮有且仅有一个发生的两个事件，集合4的对立事件记作灭，从集合的角度来看，事件灭所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即AUA=U,AQA=0.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.

4•事件的和的意义:

事件久3的和记作A+B,表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件吋，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“3发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：

P（A+3）=P（4）+P（B）（A、B互斥）,且有PCA+A）=P（4）+P（灭）=1.

当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件瓜的概率则要容易些,为此有P（A）=\~P（%）・5•要弄清兔・用，丽的区别.

灭•忌表示事件瓜与万同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于力与B至少有一个发生的对立事件即不X,因此有瓜・万瓦但兔・E二A+B・

6.互斥事件的概率的求法:

如果