第四章杆件的变形计算.docx
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第四章杆件的变形计算
第四章杆件的变形计算
杆件在载荷作用下都将发生变形，过大的变形将影响杆件的正常使用，必须加以限制，而
有时又希望杆件能有较大的变形，以起缓冲作用，如弹簧等，因此必须计算杆件的变形。
本
章具体讨论了拉伸（压缩）、扭转、弯曲三种情况的杆件变形计算。
第一节拉（压）杆的轴向变形
直杆在沿其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向相应变细或变粗，如
图4-1所示。
设杆原长I，宽b,在力F作用下产生变形，变形后长li，宽bi。
则杆件在轴线方向的伸长为
纵向应变为
止，可以得到
”3
根据虎克定律厂'和拉（压）杆横截面正应力公式
=墾
上式表明，杆的轴向变形值与轴力
面积成反比。
因此EA称为拉（压）
（4-1）
Fn及杆长I成正比，与材料的杨氏模量及杆的横截面
杆的抗拉（压）刚度，EA值越大，杆件刚度越大，在一定外力作用下单位长度变形量就越小。
另一方面，横向变形横向应变.。
通过试验发现，当材料在弹性范围
内时，拉（压）杆的纵向应变厂与J横向应变之间存在如下比例关系：
（4-2a）
或『=-：
£（4-2b）
式中比例常数I•称为泊松比。
弹性模量E、泊松比:
」及切变模量G均是材料的弹性常数，可
由实验测得。
对于各向同性材料，可以证明这三个弹性常数之间存在下列关系：
歼1+巧（4-3）
材料的:
/直小于0.5，表4-1列出几种常见金属材料的E和：
」的值。
^4-1儿的左和"的值
E/QFa
A
195-2L6
02^023
合金钢
025-0^0
T8.S157
023-027
洞利飼音金
72.5-12S
2MJ血
TO
0^3
例4-1阶梯形直杆受轴力如图4-2,已知该杆AB段横截面面积Ai=800mm2,段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量为E=200GPa。
试求该杆总伸长量。
40K>
200
"R
A
C
■1.
u
0.4m
（*4m
■*►
4
解
（1）求AB、BC段轴力
FNAB=40kN（拉），FNBc=-20kN（压）
（2）求AB、BC段伸长量
wa=lxlO-^m=OL1烷用
“-20xl03x0.-4idn
AL2-—-=?
«=-L67xlOf^=-0.167/MW2
BC段
由以上计算可以看出，AB段是伸长，而BC段是缩短。
（3）AC杆总伸长
川=£勺+如2=f"0.1-0J67=-0.067^^2
AC杆计算结果为负，说明AC杆是缩短而不是伸长。
例4-2图示桁架，钢杆AC横截面面积Ai=960mm，弹性模量Ei=200GPa。
木杆BC横截
斗z
面，杨氏模量E2=10GPa。
求铰节点C的位移。
图4-3
解
（1）求AC、CB两杆的轴力。
取铰C为研究对象，受力如图4-3所示，根据平衡方程可
得
顶占亡-F阳亡c（?
s3Q^=0
解得■［上十门11
（2）求AC、BC两杆的变形。
根据公式（4-1）得
（3）求C点位移。
两杆变形前铰节于C点，变形后仍应铰节，根据这个关系可以建立起所谓的变形协调方程（相容方程），从而求得C点的位移。
首先假想将铰拆开，则AC杆C
点伸长至Ci,成为ACi，BC杆C点缩短至C2,成为BC2。
分别以A点和B点为圆心，ACi和BC2为半径作弧，其交点即为变形后C点的位置。
因为变形很小，故可近似用Ci和C2
处圆弧的切线来代替圆弧，得到交点C3,作为变形后C点的位置（图4-3a）。
将变形情况放
大成图4-3c所示，从图中可以看出：
c点水平位移-匕；：
-叱宀八卫z4“=凶启广/鈕？
『*山胃广g门屮=xt0~4w2
C点竖向位移■--1
B/十比/=1.47m-
最后C点位移为
该题若采用精确求解，则C点水平位移为；-■:
-:
'■■■,竖向位移为
*
j「V-:
|与用切线代替圆弧的近似计算结果非常相近。
dx的两个相邻截
第二节圆轴的扭转变形与相对扭转角
在圆轴扭转时，由第三章第三节知，各横截面绕轴线作相对转动，相距为
面间有相对转角，且由公式（d）得
&单=dx
刊（4-4）
（4-5）
rad/m。
当Glp越大，贝炉越
上式称为单位长度扭转角，用来表示扭转变形的大小，其单位是小，故Glp称为圆轴的抗扭刚度。
在一段轴上，对式（4-4）积分，可得两端相对扭转角
当-1T「为常量时，上式为
例4-3某机器传动轴AC如图4-4所示，已知轴材料的切变模量G=80GPa,轴直径
d=45mm。
求AB、BC及AC间相对扭转角。
用44
解
（1）内力分析
AB段Mx1=-120Nm
BC段Mx2=80Nm
（2）变形分析
叱M加蚯=（/-1.12xl0'3+$.94x10-4）rad=-h26x10-4md
由上可见，在解此类扭矩分段变化的相对扭转角问题时，可将每一段杆的两端相对扭转角分别求出，然后相加，便得轴的两端面相对扭转角。
相加时，应根据扭矩符号判断每一段上相对扭转角的符号。
在本题中，取工1与Mx同符号。
当轴的截面为矩形时，两端相对扭转角的计算公式为
”莎厂莎（4-7）
式中Glp=G「hb3也称为轴的抗扭强度。
其中卞是与比值h/b有关的系数，可由表3-1查得。
第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程
一、梁的变形
当梁在平面内弯曲时，梁的轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的挠曲线。
横截面形心沿竖向位移，称为该截面的挠度，而截
面法向方向与x轴的夹角尸称为该截面的转角。
如图4-5所示。
图中」「是截面形心C点的竖向位移，一般可表为x的函数"=f（x），这一关系式称为挠曲
线方程，而C点水平位移量在细长梁小变形时忽略不计。
图中C点处截面的转角寸也可表示为x的函数J=fi（x），由于梁的变形一般很小，这时」也
很小，则，挠曲线与转角之间近似有
卅=空包&l；入（4-8）
它表明，挠曲线的斜率近似等于截面的转角。
在图4-5所示坐标系中，挠度T向上为正，向下为负。
转角」规定为截面法线与x轴夹角
逆时针为正，顺时针为负，即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角为正。
二、挠曲线近似微分方程
由第三章第五节公式（f）知，在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为：
1_M
，:
二二（4-9）
由于M为常数，对于等截面梁，抗弯刚度Elz为常数时，曲率半径Q为常数，其挠曲线为一
段圆弧。
当截面上同时存在剪力Fq与弯矩M时，显然这两项内力对梁的变形均有影响。
研
究表明，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力Fq对梁的变形影响可以忽略不计，公式（4-9）
仍可适用，但由于弯矩不再是常量，上式变为：
1_M（x）
P见（a）
[丄加
―土,
由微分学可知•I「「•（b）
当梁小变形时，'「很小「：
严产1总T,从而门：
1厂，代入式（a）式，得
按弯矩的符号规定，当：
=■人梁的上部受压，下部受拉，挠曲线上凹，由微分学知，在图
4-6所示坐标下，（为正；当-讥梁的下部受压，上部受拉，挠曲线下凹，「为负。
综上所述，式（C）可以写为：
--■-（4-10）
这就是梁的挠曲线近似微分方程。
Elz
第四节用积分法求梁的弯曲变形
将式（4-10）积分一次，就得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程。
对等直梁,
为常量，有
式中C、D为积分常数，可由梁的边界条件来确定，即由梁上那些转角和挠度已知的条件来
确定。
例如，在铰支座处梁的挠度为零；固定端处梁的转角和挠度均为零；在梁的弯矩方程
分段处，截面转角相等、挠度相等。
一般地，若梁要分成n段积分，则出现2n个待定常数,
总可找到2n个相应边界条件将其确定。
例4-4等直悬臂梁受均布载荷q如图4-7所示，试建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并
求自由端的转角Lb和挠度'iBo
解
（1）弯矩方程
2
（2）
列挠曲线近似微分方程
（3）
积分
二送皿—工尸必+U二碁卩—兀尸+C
朗
（2）
确定积分常数。
由边界条件，当x=0，固定端A处A=0,WA=0，分别代入式
（1）和
总血=纟［戸一玄丿4+Cx^D=
（1）
（4）
式
（2）,得
吃十C=0,風一芒十D=0eJ4
624
从而，
（5）列出转角方程和挠曲线方程，将
&诒"户-黠
C、D值代入式
（1）、
（2）并整理得
（6）求？
1B和冲B。
在自由端B,x=l,代入（3）、（4）式得
冲护护
&卫=—nFHa=—*
£6EI启溢1
计算结果均为负，说明Wb顺时针转动，寸B向下。
例4-5图4-8为一简支梁，梁中C作用力F,设EI为常数。
试建立转角方程和挠曲线方程,并求梁内&max禾口VFmax。
解
（1）求支反力和列弯矩方程。
（1>
C4>
（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。
由于弯矩方程在C处分段，故应对AC及BC分别
计算
E时・罕巧
总嗨=等护-壬f勺7户+6
F&F
恳％=&七」_石｛勺_4尸q勺+2
由于挠曲线在C处是连续和光滑的，因此在其左、右两侧转角和挠度应相等，即
=0
（7）
（8）
Di=D2=0
（4）列转角方程和挠曲线方程。
将上面求得的四个常数值分别代入有关式子，可得AC段（5二約
&（9）
&（10）
CB段（—「J'）
"max应发生在AC段上P=0处，将日=0代入式（9），求出八，将其代入式（10）,于是求得最大挠度绝对值
（13）
对梁的中点
m的挠度，将X1=|/2代入式（10）,其绝对值为
殆A.2^2j
（14）
作为比较，当F作用点C与梁的中点m越接近，式（13）与式（14）两者相差越小，若两点重合，可得中点最大挠度绝对值为
若C点靠近支座B,则两者相差最大，这时：
:
「V：
1,近似的有
叱=瓦丽'叶=丽
两者相差不超过2.6%。
可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用中点挠度来代替其最大挠度。
第五节用叠加法求梁的弯曲变形
由例4-5可见，积分法求梁弯曲变形，在弯矩方程分段较多时，由于每段均出现两个积分常数，运算较为繁琐，因此工程中发展出许多简化的计算方法，叠加法便是其中的一种。
在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形
均与其它载荷无关。
这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，便
得到了这些载荷共同作用时杆件的变形。
这就是求杆件变形的叠加法。
在用叠加法求梁的弯曲变形时，首先应知道梁在简单载荷作用下的变形公式，表4-2列出了
几种常见情况梁的变形。
其中梁长为I，抗弯刚度为EI。
査十匕星在简用看草作ZU下師空拾
1?
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