第四章杆件的变形计算.docx
《第四章杆件的变形计算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第四章杆件的变形计算.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![第四章杆件的变形计算.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/25/734d720b-f016-4e57-9ff3-7091c5ee08a0/734d720b-f016-4e57-9ff3-7091c5ee08a01.gif)
第四章杆件的变形计算
第四章杆件的变形计算
杆件在载荷作用下都将发生变形,过大的变形将影响杆件的正常使用,必须加以限制,而
有时又希望杆件能有较大的变形,以起缓冲作用,如弹簧等,因此必须计算杆件的变形。
本
章具体讨论了拉伸(压缩)、扭转、弯曲三种情况的杆件变形计算。
第一节拉(压)杆的轴向变形
直杆在沿其轴线的外力作用下,纵向发生伸长或缩短变形,而其横向相应变细或变粗,如
图4-1所示。
设杆原长I,宽b,在力F作用下产生变形,变形后长li,宽bi。
则杆件在轴线方向的伸长为
纵向应变为
止,可以得到
”3
根据虎克定律厂'和拉(压)杆横截面正应力公式
=墾
上式表明,杆的轴向变形值与轴力
面积成反比。
因此EA称为拉(压)
(4-1)
Fn及杆长I成正比,与材料的杨氏模量及杆的横截面
杆的抗拉(压)刚度,EA值越大,杆件刚度越大,在一定外力作用下单位长度变形量就越小。
另一方面,横向变形横向应变.。
通过试验发现,当材料在弹性范围
内时,拉(压)杆的纵向应变厂与J横向应变之间存在如下比例关系:
(4-2a)
或『=-:
£(4-2b)
式中比例常数I•称为泊松比。
弹性模量E、泊松比:
」及切变模量G均是材料的弹性常数,可
由实验测得。
对于各向同性材料,可以证明这三个弹性常数之间存在下列关系:
歼1+巧(4-3)
材料的:
/直小于0.5,表4-1列出几种常见金属材料的E和:
」的值。
^4-1儿的左和"的值
E/QFa
A
195-2L6
02^023
合金钢
025-0^0
T8.S157
023-027
洞利飼音金
72.5-12S
2MJ血
TO
0^3
例4-1阶梯形直杆受轴力如图4-2,已知该杆AB段横截面面积Ai=800mm2,段横截面面积A2=240mm2,杆件材料的弹性模量为E=200GPa。
试求该杆总伸长量。
40K>
200
"R
A
C
■1.
u
0.4m
(*4m
■*►
4
解
(1)求AB、BC段轴力
FNAB=40kN(拉),FNBc=-20kN(压)
(2)求AB、BC段伸长量
wa=lxlO-^m=OL1烷用
“-20xl03x0.-4idn
AL2-—-=?
«=-L67xlOf^=-0.167/MW2
BC段
由以上计算可以看出,AB段是伸长,而BC段是缩短。
(3)AC杆总伸长
川=£勺+如2=f"0.1-0J67=-0.067^^2
AC杆计算结果为负,说明AC杆是缩短而不是伸长。
例4-2图示桁架,钢杆AC横截面面积Ai=960mm,弹性模量Ei=200GPa。
木杆BC横截
斗z
面,杨氏模量E2=10GPa。
求铰节点C的位移。
图4-3
解
(1)求AC、CB两杆的轴力。
取铰C为研究对象,受力如图4-3所示,根据平衡方程可
得
顶占亡-F阳亡c(?
s3Q^=0
解得■[上十门11
(2)求AC、BC两杆的变形。
根据公式(4-1)得
(3)求C点位移。
两杆变形前铰节于C点,变形后仍应铰节,根据这个关系可以建立起所谓的变形协调方程(相容方程),从而求得C点的位移。
首先假想将铰拆开,则AC杆C
点伸长至Ci,成为ACi,BC杆C点缩短至C2,成为BC2。
分别以A点和B点为圆心,ACi和BC2为半径作弧,其交点即为变形后C点的位置。
因为变形很小,故可近似用Ci和C2
处圆弧的切线来代替圆弧,得到交点C3,作为变形后C点的位置(图4-3a)。
将变形情况放
大成图4-3c所示,从图中可以看出:
c点水平位移-匕;:
-叱宀八卫z4“=凶启广/鈕?
『*山胃广g门屮=xt0~4w2
C点竖向位移■--1
B/十比/=1.47m-
最后C点位移为
该题若采用精确求解,则C点水平位移为;-■:
-:
'■■■,竖向位移为
*
j「V-:
|与用切线代替圆弧的近似计算结果非常相近。
dx的两个相邻截
第二节圆轴的扭转变形与相对扭转角
在圆轴扭转时,由第三章第三节知,各横截面绕轴线作相对转动,相距为
面间有相对转角,且由公式(d)得
&单=dx
刊(4-4)
(4-5)
rad/m。
当Glp越大,贝炉越
上式称为单位长度扭转角,用来表示扭转变形的大小,其单位是小,故Glp称为圆轴的抗扭刚度。
在一段轴上,对式(4-4)积分,可得两端相对扭转角
当-1T「为常量时,上式为
例4-3某机器传动轴AC如图4-4所示,已知轴材料的切变模量G=80GPa,轴直径
d=45mm。
求AB、BC及AC间相对扭转角。
用44
解
(1)内力分析
AB段Mx1=-120Nm
BC段Mx2=80Nm
(2)变形分析
叱M加蚯=(/-1.12xl0'3+$.94x10-4)rad=-h26x10-4md
由上可见,在解此类扭矩分段变化的相对扭转角问题时,可将每一段杆的两端相对扭转角分别求出,然后相加,便得轴的两端面相对扭转角。
相加时,应根据扭矩符号判断每一段上相对扭转角的符号。
在本题中,取工1与Mx同符号。
当轴的截面为矩形时,两端相对扭转角的计算公式为
”莎厂莎(4-7)
式中Glp=G「hb3也称为轴的抗扭强度。
其中卞是与比值h/b有关的系数,可由表3-1查得。
第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程
一、梁的变形
当梁在平面内弯曲时,梁的轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的连续、光滑的曲线,该曲线称为梁的挠曲线。
横截面形心沿竖向位移,称为该截面的挠度,而截
面法向方向与x轴的夹角尸称为该截面的转角。
如图4-5所示。
图中」「是截面形心C点的竖向位移,一般可表为x的函数"=f(x),这一关系式称为挠曲
线方程,而C点水平位移量在细长梁小变形时忽略不计。
图中C点处截面的转角寸也可表示为x的函数J=fi(x),由于梁的变形一般很小,这时」也
很小,则,挠曲线与转角之间近似有
卅=空包&l;入(4-8)
它表明,挠曲线的斜率近似等于截面的转角。
在图4-5所示坐标系中,挠度T向上为正,向下为负。
转角」规定为截面法线与x轴夹角
逆时针为正,顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角为正。
二、挠曲线近似微分方程
由第三章第五节公式(f)知,在纯弯曲梁的情况下,梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为:
1_M
,:
二二(4-9)
由于M为常数,对于等截面梁,抗弯刚度Elz为常数时,曲率半径Q为常数,其挠曲线为一
段圆弧。
当截面上同时存在剪力Fq与弯矩M时,显然这两项内力对梁的变形均有影响。
研
究表明,若梁的跨度远大于梁的高度时,剪力Fq对梁的变形影响可以忽略不计,公式(4-9)
仍可适用,但由于弯矩不再是常量,上式变为:
1_M(x)
P见(a)
[丄加
―土,
由微分学可知•I「「•(b)
当梁小变形时,'「很小「:
严产1总T,从而门:
1厂,代入式(a)式,得
按弯矩的符号规定,当:
=■人梁的上部受压,下部受拉,挠曲线上凹,由微分学知,在图
4-6所示坐标下,(为正;当-讥梁的下部受压,上部受拉,挠曲线下凹,「为负。
综上所述,式(C)可以写为:
--■-(4-10)
这就是梁的挠曲线近似微分方程。
Elz
第四节用积分法求梁的弯曲变形
将式(4-10)积分一次,就得到转角方程,再积分一次得到挠曲线方程。
对等直梁,
为常量,有
式中C、D为积分常数,可由梁的边界条件来确定,即由梁上那些转角和挠度已知的条件来
确定。
例如,在铰支座处梁的挠度为零;固定端处梁的转角和挠度均为零;在梁的弯矩方程
分段处,截面转角相等、挠度相等。
一般地,若梁要分成n段积分,则出现2n个待定常数,
总可找到2n个相应边界条件将其确定。
例4-4等直悬臂梁受均布载荷q如图4-7所示,试建立该梁的转角方程和挠曲线方程,并
求自由端的转角Lb和挠度'iBo
解
(1)弯矩方程
2
(2)
列挠曲线近似微分方程
(3)
积分
二送皿—工尸必+U二碁卩—兀尸+C
朗
(2)
确定积分常数。
由边界条件,当x=0,固定端A处A=0,WA=0,分别代入式
(1)和
总血=纟[戸一玄丿4+Cx^D=
(1)
(4)
式
(2),得
吃十C=0,風一芒十D=0eJ4
624
从而,
(5)列出转角方程和挠曲线方程,将
&诒"户-黠
C、D值代入式
(1)、
(2)并整理得
(6)求?
1B和冲B。
在自由端B,x=l,代入(3)、(4)式得
冲护护
&卫=—nFHa=—*
£6EI启溢1
计算结果均为负,说明Wb顺时针转动,寸B向下。
例4-5图4-8为一简支梁,梁中C作用力F,设EI为常数。
试建立转角方程和挠曲线方程,并求梁内&max禾口VFmax。
解
(1)求支反力和列弯矩方程。
(1>
C4>
(2)列出挠曲线近似微分方程并积分。
由于弯矩方程在C处分段,故应对AC及BC分别
计算
E时・罕巧
总嗨=等护-壬f勺7户+6
F&F
恳%=&七」_石{勺_4尸q勺+2
由于挠曲线在C处是连续和光滑的,因此在其左、右两侧转角和挠度应相等,即
=0
(7)
(8)
Di=D2=0
(4)列转角方程和挠曲线方程。
将上面求得的四个常数值分别代入有关式子,可得AC段(5二約
&(9)
&(10)
CB段(—「J')
"max应发生在AC段上P=0处,将日=0代入式(9),求出八,将其代入式(10),于是求得最大挠度绝对值
(13)
对梁的中点
m的挠度,将X1=|/2代入式(10),其绝对值为
殆A.2^2j
(14)
作为比较,当F作用点C与梁的中点m越接近,式(13)与式(14)两者相差越小,若两点重合,可得中点最大挠度绝对值为
若C点靠近支座B,则两者相差最大,这时:
:
「V:
1,近似的有
叱=瓦丽'叶=丽
两者相差不超过2.6%。
可见在简支梁中,只要挠曲线上无拐点,可用中点挠度来代替其最大挠度。
第五节用叠加法求梁的弯曲变形
由例4-5可见,积分法求梁弯曲变形,在弯矩方程分段较多时,由于每段均出现两个积分常数,运算较为繁琐,因此工程中发展出许多简化的计算方法,叠加法便是其中的一种。
在杆件符合线弹性、小变形的前提下,变形与载荷成线性关系,即任一载荷使杆件产生的变形
均与其它载荷无关。
这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形,将其相加,便
得到了这些载荷共同作用时杆件的变形。
这就是求杆件变形的叠加法。
在用叠加法求梁的弯曲变形时,首先应知道梁在简单载荷作用下的变形公式,表4-2列出了
几种常见情况梁的变形。
其中梁长为I,抗弯刚度为EI。
査十匕星在简用看草作ZU下師空拾
1?
福桂面活角
思大由度
号
1
2JI
FI
M
U'
2SI
2
a■篦⑶F
°璋
配
2KT
pF——
3
—顽a心调"W町
“-一鑰®一町辭曲)
w■——ry^wi
"2JT
4