第四章杆件的变形计算.docx

1、第四章杆件的变形计算第四章杆件的变形计算杆件在载荷作用下都将发生变形， 过大的变形将影响杆件的正常使用， 必须加以限制，而有时又希望杆件能有较大的变形，以起缓冲作用， 如弹簧等，因此必须计算杆件的变形。本章具体讨论了拉伸（压缩）、扭转、弯曲三种情况的杆件变形计算。第一节拉（压）杆的轴向变形直杆在沿其轴线的外力作用下， 纵向发生伸长或缩短变形，而其横向相应变细或变粗，如图4-1所示。设杆原长I，宽b,在力F作用下产生变形，变形后长 li，宽bi。则杆件在轴 线方向的伸长为纵向应变为止，可以得到”3根据虎克定律厂 和拉（压）杆横截面正应力公式=墾上式表明，杆的轴向变形值与轴力面积成反比。因此 EA

2、称为拉（压）（4-1）Fn及杆长I成正比，与材料的杨氏模量 及杆的横截面杆的抗拉（压）刚度， EA值越大，杆件刚度越大，在 一定外力作用下单位长度变形量就越小。另一方面，横向变形 横向应变. 。通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉（压）杆的纵向应变 厂与J横向应变 之间存在如下比例关系：(4-2a)或 =-： （ 4-2b）式中比例常数I称为泊松比。弹性模量 E、泊松比:及切变模量G均是材料的弹性常数，可由实验测得。对于各向同性材料，可以证明这三个弹性常数之间存在下列关系：歼 1 + 巧（4-3）材料的:/直小于0.5，表4-1列出几种常见金属材料的 E和：的值。4-1儿的左和的值E/QFa

3、A195-2L602023合金钢025-00T8.S157023-027洞利飼音金72.5- 12S2 MJ血TO03例4-1阶梯形直杆受轴力如图 4-2,已知该杆AB段横截面面积Ai=800mm2 ,段横截面面 积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量为 E=200GPa。试求该杆总伸长量。40K200RAC 1.u0.4m（*4m* 4 解（1 ）求AB、BC段轴力FNAB=40kN （拉），FNBc=-20kN （压） (2)求AB、BC段伸长量wa = lxlO- m = OL1 烷用“ - 20xl03 x0.-4 id nAL2 -= ? = - L67 xlO f= -0.167

4、/MW2BC段由以上计算可以看出， AB段是伸长，而BC段是缩短。(3)AC杆总伸长川=勺 + 如2 =f0.1-0J67 = -0.0672AC杆计算结果为负，说明 AC杆是缩短而不是伸长。例4-2图示桁架，钢杆 AC横截面面积Ai=960mm，弹性模量Ei=200GPa。木杆BC横截,斗 z面 ，杨氏模量E2=10GPa。求铰节点 C的位移。图4-3解（1）求AC、CB两杆的轴力。取铰 C为研究对象，受力如图 4-3所示，根据平衡方程可得顶占亡-F阳亡c（?s3Q = 0解得 上十门 1 1（2）求AC、BC两杆的变形。根据公式（4-1）得（3）求C点位移。两杆变形前铰节于 C点，变形后仍

5、应铰节，根据这个关系可以建立起所 谓的变形协调方程（相容方程），从而求得 C点的位移。首先假想将铰拆开，则 AC杆C点伸长至Ci,成为ACi，BC杆C点缩短至C2,成为BC2。分别以A点和B点为圆心，ACi 和BC2为半径作弧，其交点即为变形后 C点的位置。因为变形很小，故可近似用 Ci和C2处圆弧的切线来代替圆弧，得到交点 C3,作为变形后C点的位置（图4-3a）。将变形情况放大成图4-3c所示，从图中可以看出：c点水平位移-匕；：-叱宀八卫z 4“ =凶启广/鈕？*山胃广g门屮=xt04w2C点竖向位移 - - 1B /十比/ = 1.47 m -最后C点位移为该题若采用精确求解，则 C点

6、水平位移为；- :- : ,竖向位移为*j V -:|与用切线代替圆弧的近似计算结果非常相近。dx的两个相邻截第二节圆轴的扭转变形与相对扭转角在圆轴扭转时，由第三章第三节知，各横截面绕轴线作相对转动，相距为面间有相对转角 ，且由公式（d）得&单= dx刊（4-4）(4-5)rad/m。当Glp越大，贝炉越上式称为单位长度扭转角，用来表示扭转变形的大小，其单位是 小，故Glp称为圆轴的抗扭刚度。在一段轴上，对式（4-4）积分，可得两端相对扭转角当-1 T为常量时，上式为例4-3某机器传动轴 AC如图4-4所示，已知轴材料的切变模量 G=80GPa,轴直径d=45mm。求AB、BC及AC间相对扭转

7、角。用44解(1 )内力分析AB 段 Mx1=-120NmBC 段 Mx2=80Nm(2 )变形分析叱 M加蚯=(/-1.12xl03 +$.94x 10-4 )rad = - h26x 10-4 md由上可见，在解此类扭矩分段变化的相对扭转角问题时， 可将每一段杆的两端相对扭转角分 别求出，然后相加，便得轴的两端面相对扭转角。 相加时，应根据扭矩符号判断每一段上相 对扭转角的符号。在本题中，取 工1与Mx同符号。当轴的截面为矩形时，两端相对扭转角的计算公式为”莎厂莎(4-7)式中Glp=Ghb3也称为轴的抗扭强度。其中 卞是与比值h/b有关的系数，可由表 3-1查得。第三节 梁的弯曲变形、挠

8、曲线近似微分方程一、 梁的变形当梁在平面内弯曲时，梁的轴线从原来沿 x轴方向的直线变成一条在 xy平面内的连续、 光滑的曲线，该曲线称为梁的挠曲线。横截面形心沿竖向位移 ，称为该截面的挠度，而截面法向方向与x轴的夹角尸称为该截面的转角。如图 4-5所示。图中是截面形心C点的竖向位移，一般可表为 x的函数=f(x)，这一关系式称为挠曲线方程，而C点水平位移量在细长梁小变形时忽略不计。图中C点处截面的转角 寸也可表示为x的函数J=fi(x)，由于梁的变形一般很小，这时 也很小，则 ，挠曲线与转角之间近似有卅=空包& l；入 (4-8)它表明，挠曲线的斜率近似等于截面的转角。在图4-5所示坐标系中，

9、挠度 T向上为正，向下为负。转角 规定为截面法线与x轴夹角逆时针为正，顺时针为负，即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。二、挠曲线近似微分方程由第三章第五节公式（f）知，在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关 系为：1 _ M，:二二 （4-9）由于M为常数，对于等截面梁，抗弯刚度 Elz为常数时，曲率半径Q为常数，其挠曲线为一段圆弧。当截面上同时存在剪力 Fq与弯矩M时，显然这两项内力对梁的变形均有影响。研究表明，若梁的跨度远大于梁的高度时， 剪力Fq对梁的变形影响可以忽略不计， 公式（4-9）仍可适用，但由于弯矩不再是常量，上式变为：1 _ M（x）P 见 （a） 丄

10、加土 ,由微分学可知 I （ b）当梁小变形时，很小：严产1总T ,从而 门： 1厂，代入式（a）式，得按弯矩的符号规定，当：=人梁的上部受压，下部受拉，挠曲线上凹，由微分学知，在图4-6所示坐标下，（为正；当-讥 梁的下部受压，上部受拉，挠曲线下凹， 为负。综上所述，式（C）可以写为：- （4-10）这就是梁的挠曲线近似微分方程。Elz第四节 用积分法求梁的弯曲变形将式（4-10）积分一次，就得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程。对等直梁,为常量，有式中C、D为积分常数，可由梁的边界条件来确定， 即由梁上那些转角和挠度已知的条件来确定。例如，在铰支座处梁的挠度为零； 固定端处梁的转角和挠度

11、均为零； 在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等、挠度相等。一般地，若梁要分成 n段积分，则出现2n个待定常数,总可找到2n个相应边界条件将其确定。例4-4等直悬臂梁受均布载荷 q如图4-7所示，试建立该梁的转角方程和挠曲线方程， 并求自由端的转角Lb和挠度i Bo解(1 )弯矩方程2(2)列挠曲线近似微分方程(3)积分二送皿工尸必+ U二碁卩兀尸+C朗 (2)确定积分常数。由边界条件，当 x=0，固定端A处A=0, W A=0，分别代入式(1)和总血=纟戸一玄丿4 + CxD =(1)(4)式(2),得吃十C=0,風一芒十D = 0 e J46 24从而，(5)列出转角方程和挠曲线方程，将&诒户

12、-黠C、D值代入式(1 )、( 2 )并整理得（6）求？1 B和冲B。在自由端B , x=l ,代入（3）、（ 4）式得冲 护 护&卫=n F Ha = * 6EI 启 溢1计算结果均为负，说明 Wb顺时针转动，寸B向下。例4-5图4-8为一简支梁，梁中C作用力F ,设EI为常数。试建立转角方程和挠曲线方程, 并求梁内 &max 禾 口 VFmax。解（1 ）求支反力和列弯矩方程。(1C4（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。由于弯矩方程在 C处分段，故应对 AC及BC分别计算E时罕巧总嗨=等护-壬f勺7户+6F& F恳 = &七_石勺_4尸q勺+2由于挠曲线在C处是连续和光滑的，因此在其左、右

13、两侧转角和挠度应相等，即=0(7) (8)D i=D2=0（4）列转角方程和挠曲线方程。将上面求得的四个常数值分别代入有关式子，可得 AC段（5二約& （ 9）& （ 10）CB 段（J ）max应发生在AC段上P=0处，将日=0代入式（9 ），求出八，将其代入 式（10）,于是求得最大挠度绝对值(13)对梁的中点m的挠度，将X1=|/2代入式（10）,其绝对值为殆 A .2 2 j（14）作为比较，当F作用点C与梁的中点m越接近，式（13）与式（14）两者相差越小，若 两点重合，可得中点最大挠度绝对值为若C点靠近支座B,则两者相差最大，这时：:V ：1,近似的有叱=瓦丽叶=丽两者相差不超过2

14、.6%。可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用中点挠度来代替其最 大挠度。第五节 用叠加法求梁的弯曲变形由例4-5可见，积分法求梁弯曲变形，在弯矩方程分段较多时，由于每段均出现两个积分 常数，运算较为繁琐，因此工程中发展出许多简化的计算方法，叠加法便是其中的一种。在 杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系， 即任一载荷使杆件产生的变形均与其它载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形， 将其相加，便得到了这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。在用叠加法求梁的弯曲变形时， 首先应知道梁在简单载荷作用下的变形公式， 表4-2列出了几种常见情况梁的变形。其中梁长为 I，抗弯刚度为EI。査十匕星在简用看草作ZU下師空拾1?福桂面活角思大由度号12JIFIMU 2SI2a 篦F 璋配2KTpF 3顽a心调W町“-一鑰一町辭曲)w ry w i2JT4