最新山东大学数学学院数学实验作业题Word下载.docx
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采用方法：
1.取椭圆中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭圆球面的方程可写为：
其中R=30，a=30.6，b=29.6，而其表面积为
这里积分区域D为
通过简单的计算容易得到
引进变量代换
则有
这个积分相当复杂，不过关于变量r还是可以积出初等函数的表达式，有兴趣的读者可以试一试，若记
那么（2.3）中关于r的积分
这里µ
＝1的情况要对表达式求极限。
注意到µ
的表达式（2.4），若将式（2.5）带入式（2.3）得到的是一个极为复杂的积分式。
事实上，这是一个无法以初等函数形式来表达的积分，因此我们必须使用近似方法来处理它。
考虑到这一积分形式相当复杂，我们宁可直接对式（2.3）来进行处理。
2.数值积分方法：
对于二重积分，可以如同一元函数定积分那样，将区域划分为小块，然后在每个小区域上对被积函数作近似简化求积，再把所得的值求和即可。
3．摄动方法：
简单地说，摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，从而求得近似解析解的方法，应用于积分计算，常常是采取将被积函数（或其部分）展开的方法。
使用的主要程序：
程序1：
m=18;
a=8.0-0.14;
b=5.2-0.14;
R=5.0-0.14;
h=1/（2*m）;
k=2*pi/（2*m）;
e=0:
k:
2*pi;
t=（0:
h:
1）'
;
%算式（2.13）
f=sqrt（t.^2*ones（size（t））'
+R^2*（1-t.^2）*（（cos（e）/a）.^2+（sin（e）/b）.^2））;
clearIij;
forj=2:
2:
2*m
fori=2:
%算式（2.10）
Iij（i,j）=k*h/9*（f（i-1,j-1）+f（i+1,j-1）+f（i-1,j+1）+f（i+1,j+1）...
+4*（f（i,j-1）+f（i-1,j）+f（i+1,j）+f（i,j+1））...
+16*f（i,j））;
end
end
I=sum（sum（Iij））;
S=2*a*b*I;
L=0.24*S;
sprintf（'
不是。
纯金蛋应重%7.2f克，该蛋壳密度为%5.2f（g/cm3）。
\n'
19.2*L,1680/L）
程序2：
m=15;
R=30;
k=pi/6/（2*m）;
h=pi/2/（2*m）;
u=0:
pi/6;
v=（0:
pi/2）'
forj=1:
2*m+1
fori=1:
f（i,j）=sqrt（1/100*R^2*sin（v（j））^2*（101+20*sin（6*u（i））+35*cos（6*u（i））^2）...
*（1/100*R^2*cos（v（j））^2+1/5*R^2*cos（v（j））^2*sin（6*u（i））...
-1/100*R^2*cos（v（j））^2*cos（6*u（i））^2+R^2）...
-9/2500*sin（v（j））^2*R^4*cos（v（j））^2*cos（6*u（i））^2*（10+sin（6*u（i）））^2）;
S=12*I;
ans=sprintf（'
表面积%7.2f（m2）,需金箔%7.2f（m2）\n'
S,（1+0.016）*S）
text（-50,-70,1,ans）
实验结果：
1.近似格式2.8计算的结果：
m
S
2
5621.42
16
5679.83
4
5679.78
24
5679.82
6
5679.89
44
5679.81
10
100
.
近似格式2.10计算的结果：
5700.54
5679.81
5679.88
2.用数学软件直接计算面积2.3得：
S=5679.82
3.由算式2.10（见程序1）计算得：
不是。
纯金蛋应重2004.25克，该蛋壳密度为16.09（g/cm3）。
4.由程序2计算得：
表面积为6454.59（m2）,需要金箔6557.87（m2）
实验三导弹跟踪问题
本实验主要涉及常微分方程的建模和求解；
介绍两种微分方程的数值方法：
Euler法和改进的Euler法；
还介绍了仿真方法。
1.应用数学软件或编制计算程序对问题（3.12）~（3.14）进行数值计算，先运用Euler法，与表3.2以及表3.3的数据比较，并以更小的步长计算结果；
再用改进的Euler法计算（步长与Euler法相同）。
2．在本实验介绍的计算过程中，我们是计算到
即停止，然后取
这样做法可能会有不小的误差。
有时甚至会出现整体步长改小而结果却未必能改进的情况。
由于Euler法或改进的Euler法的计算格式中每一步值的取得仅仅依赖上一步的值，因此在计算过程中改变步长是可行的，即当计算到
而y远大于H时，可缩小步长（例如为原来的十分之一）以xy作为新起点继续进行迭代。
试用这种变步长方法来改进在任务１中得到的结果。
3．如果当基地发射导弹的同时，敌艇立即由仪器发觉。
假定敌艇为一高速快艇，它即刻以135km/h的速度与导弹方向垂直的方向逃逸，问导弹何时何地击中快艇？
试建立数学模型并求解。
主要公式：
数学模型：
解析方法：
导弹轨迹方程：
设导弹击中敌舰于点（L,H）：
数值方法：
Euler格式：
则
为所求
改进的Euler方法：
主要程序：
1．
Euler法
h=0.0005;
H=120;
Vw=450;
Ve=90;
clearxy;
tk=0;
k=1;
%（3.23）
x
（1）=0;
y
（1）=0;
whiley（k）<
H
%（3.21）
x（k+1）=x（k）+Vw*h*（Ve*tk-x（k））/sqrt（（Ve*tk-x（k））^2+（H-y（k））^2）;
%（3.22）
y（k+1）=y（k）+Vw*h/sqrt（1+（（Ve*tk-x（k））/（H-y（k）））^2）;
k=k+1;
tk=tk+h;
x
y
k=%d,tk=%7.4f\n'
k-1,tk）
L=%8.4f,T=%8.4f\n'
x（k）,x（k）/Ve）
改进的Euler法
%（3.28）
tk1=tk+h;
%（3.26）
xk1=x（k）+Vw*h*（Ve*tk-x（k））/sqrt（（Ve*tk-x（k））^2+（H-y（k））^2）;
%（3.27）
yk1=y（k）+Vw*h/sqrt（1+（（Ve*tk-x（k））/（H-y（k）））^2）;
%（3.24）
x（k+1）=0.5*（xk1+x（k）+Vw*h/sqrt（1+（（H-yk1）/（Ve*tk1-xk1））^2））;
%（3.25）
y（k+1）=0.5*（yk1+y（k）+Vw*h/sqrt（1+（（Ve*tk1-xk1）/（H-yk1））^2））;
2．
h=0.01;
whileh>
0.00001
ify（k）>
H
tk=tk-h;
tk1=tk-h;
k=k-1;
h=h/10;
tk=tk+h;
k=k+1;
3．
Ve=135;
clf
axis（[-535-10130]）
holdon
title（'
µ
Ð
½
¢
Ó
ë
¼
¯
´
¹
Ö
±
Ì
Ò
Ý
'
）
plot（0,H,'
bo'
plot（0,0,'
r.'
pause
clearXwYwXeYe;
s=0;
Xw
（1）=0;
Yw
（1）=0;
Xe
（1）=0;
Ye
（1）=H;
while（Xw（k）-Xe（k））^2+（Yw（k）-Ye（k））^2>
0.4
Xw（k+1）=Xw（k）+Vw*h*（Xe（k）-Xw（k））/sqrt（（Xe（k）-Xw（k））^2+（Ye（k）-Yw（k））^2）;
Yw（k+1）=Yw（k）+Vw*h/sqrt（1+（（Xe（k）-Xw（k））/（Ye（k）-Yw（k）））^2）;
Xe（k+1）=Xe（k）+Ve*h/sqrt（1+（（Xe（k）-Xw（k））/（Ye（k）-Yw（k）））^2）;
Ye（k+1）=Ye（k）-Ve*h*（Xe（k）-Xw（k））/sqrt（（Xe（k）-Xw（k））^2+（Ye（k）-Yw（k））^2）;
s=s+sqrt（（Xe（k+1）-Xe（k））^2+（Ye（k+1）-Ye（k））^2）;
Wx
（1）=Xw（k）;
Wx
（2）=Xw（k+1）;
Wy
（1）=Yw（k）;
Wy
（2）=Yw（k+1）;
Ex
（1）=Xe（k）;
Ex
（2）=Xe（k+1）;
Ey
（1）=Ye（k）;
Ey
（2）=Ye（k+1）;
plot（Xe（k）,Ye（k）,'
wo'
plot（Xw（k）,Yw（k）,'
w.'
plot（Xe（k+1）,Ye（k+1）,'
plot（Xw（k+1）,Yw（k+1）,'
plot（Ex,Ey,'
b'
forrp=0:
plot（Wx,Wy,'
y'
w'
r'
plot（Xe（k）,Ye（k）,'
ro'
y*'
text（Xe（k）-1,Ye（k）-8,'
ß
Ñ
!
!
k=%d,tk=%7.4f\n'
X=%8.4f,Y=%8.4f,T=%8.4f\n'
Xe（k）,Ye（k）,s/Ve）
text（10,10,ans）
holdoff
close
clearall
1．用Euler法：
当令
时，L=25.0763,T=0.2786。
用改进的Euler法：
时，L=25.0608,T=0.2785。
用更小的步长，所得结果更接近解析方法的结果。
2．所得结果为：
L=24.9563,T=0.2773
3．敌舰被击中的位置为（33.0906,110.2464）
实验六：
个人住房抵押贷款和其他金融问题
本实验涉及微积分和线性代数,通过实验复习数列,函数方程求根和与线性代数方程组有关的某些知识:
主要是介绍与经济生活中某些常见重要问题有关的离散形式数学模型--差分方程。
1、实际问题：
1998年12月，中国人民银行公布了新的存，贷款利率水平，其中贷款利率如表1，表2和表3分别列出了上海商业银行报章公布的个人住房商业抵押贷款年利率和上海商业银行提供的个人住房商业性抵押贷款（万元）还款额的部分数据。
表1
贷款期限
半年
1年
3年
5年
5年以上
利率%
6.12
6.39
6.66
7.20
7.56
表2
2年
4年
利率
6.120
6.255
6.390
6.525
6.660
表3
贷款期
年
1
3
5
月
12
36
48
60
月还款期
到期一次还本付息
444.356
305.9896
237.2649
196.4118
本息总额
10612.00
10664.54
11015.63
11388.71
11784.71
2、数学模型：
以商业贷款1000元为例，一年期贷款年利率为6.12%，到期一次还本付息总计10612.00元，二年期贷款的年利率为6.255%，月还款数444.3560元恰为本息总额10664.54元的1/24，这是怎么产生的呢？
设贷款后第k个月是欠款余数位阿Ak元，月还款为m元，则由Ak变化到Ak+1，有还款数和利息因素，月利率设为r，从而得到
Ak+1=（1+k）Ak-m,k=0,1,2……
（1）
开始的贷款数A0=10000
（2）
成为数学模型。
月利率采用将年利率R=0.06255平均，即r=0.06255/12=0.0052125（3）
（1）称为差分方程。
3、问题的解法与讨论：
a.月还款额
二年期贷款满足A24=0（4）
令Bk=Ak-Ak-1（5）
由
（1）得Bk+1=（1+r）Bk于是得Bk=B1（1+r）k-1,k=1,2……（6）
Ak-A0=B1+B2+……Bk
=B1[1+（1+r）+……+（1+r）k-1]
=（A1-A0）[[（1+r）k-1]/r]
=[（1+r）A0-m-A0][[（1+r）k-1]/r]
从而得到差分方程的解：
Ak=A0（1+r）-m/r[（1+r）k-1],k=0,1,2,……（7）
将Ak,A0,r，k=24的值代入得，m=444.3560（元）。
b．还款周期
如果按月还款的话，显然要比按年付款的钱少。
考虑到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月归还法对于贷款这是合适的。
若改为逐年归还方法，情况如何呢？
以二年为例，则（7）中的r代为R=0.06255，k=2，A0=10000，得到m~=5473.8673（元）。
本息总额为2m~=10947.73（元）。
c.平衡点
若令Ak+1=Ak=A，可解得A=m/r称之为差分方程
（1）的平衡点。
当A0=m/r时,衡有Ak=m/r，k=0,1,2,……,则每月还款额恰抵上利息,则所欠额保持不变。
当A0稍大于或小于m/r时，Ak随着k的增大越来越远离m/r,这种平衡点称为不稳定的。
对一般的差分方程Ak+1=f（Ak）,k=0，1，2，……（9）
当初始值稍大于或小于差分方程的平衡点A时，若Ak→A，（当k→∞）则称A为稳定的，否则，称A为不稳定的。
4.其他问题
a.养老保险
养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。
通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择，在计划中详细列出保险费和养老金的数额。
例如某保险公司的一份材料指出：
在每月交费200元至60岁开始领养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元，若35岁起投保，月养老金1056元；
若45岁起投保，月养老金420元。
我们来考虑这三种情况所交保险费获得的利率。
Fk+1=Fk（1+r）+p,k=0,1,2……，N（11）
Fk+1=Fk（1+r）-q,k=N+1,N+2,……M（12）
其中p，q分别是60岁前所交的月保险费和60岁起所领月养老金数目，r是交保险金获得利率，N，M分别是自投保起至停交保险费和至停交养老金的时间。
射手名平均值75岁。
以25岁起投保为例，则有p=200，q=2282；
N=420，M=600。
不难得到
Fk=F0（1+r）k+p/r[（1+r）k-1],k=0,1,2……N（13）
Fk=FN（1+r）k-N-q/r[（1+r）k-N-1],k=N+1,N+2,……M（14）
（13）中k=N，（14）中k=M
且FM=0。
则得关于r方程
（1+r）M-（1+q/p）（1+r）M-N+q/p=0
记x=1+r，代入数据解出根x=1.00485，r=0.00485。
对于35岁和45岁起投保情况，得月利率分别为0.00461和0.00413。
b.金融公司的支付基金的流动
某金融机构为保证现金充分支付，设立一笔总额$540万元的基金，分开放置在位于A城和B城的两公司。
发现每过一周，A城公司有10%支付基金流动到B公司，B公司则有12%支付基金流动到A城公司。
此时，A城公司基金额为$260万，B城公司基金额$280万。
按此规律，两公司支付基金数额变化趋势如何？
设此后第k周结算时，A和B基金数分别是ak和bk（万元），则有
ak+1=0.9ak+0.12bk,k=0,1,2……
bk+1=0.1ak+0.88bk,k=0,1,2……（17）
a0=260，b0=280（18）
迭代可求得各周末时ak和bk的数值。
表（4）给出1至12周末两公司基金数（单位：
万美元）：
表（4）
k
ak
bk
267.6000
272.4000
284.5716
255.4284
9
290.8536
249.1464
273.5280
266.4720
284.7658
253.2342
291.6658
248.3342
278.1518
261.8482
7
288.4773
251.5227
11
292.2993
247.7007
281.7584
258.2416
8
289v8123
250.1877
292.7935
247.2065
由表知，A城公司支付基金数在逐步增加，但增幅逐步减小；
B城公司支付基金数则正好相反，但ak是否有上界，bk是否有下界？
（附程序）
5.问题与讨论（实验任务）
（1）确定表2中二、三、四期贷款利率是如何产生的，推导出相应的一至五年万元贷款的还款额表。
（2）制定一张完整的个人住房商业贷款利率和还款表，贷款
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