人教B版必修第四册 1115 旋转体 学案Word下载.docx

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【内化·

悟】

　判断简单旋转体结构特征应注意哪两个方面的问题?

提示:

（1）明确由哪种平面图形旋转而成.

（2）明确旋转轴是哪条直线.

【类题·

通】

1.判断旋转体形状的步骤

（1）明确旋转轴.

（2）确定平面图形中各边（通常是线段）与旋转轴的位置关系.

（3）依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状.

2.与简单旋转体的截面有关的结论

（1）圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.

（2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面（即过旋转轴的截面）分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.

【习练·

破】

　下列几种说法:

①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧面的母线;

③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个;

④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.

其中说法正确的是________. 

【解析】由圆锥的定义及母线的性质知①②正确,圆柱的轴截面过上下底的直径,所以是过母线的截面中最大的一个.④不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.

答案:

①②③

【加练·

固】

　　如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为

（　　）

A.一个球体

B.一个球体中间挖出一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

【解析】选B.外面的圆旋转形成一个球体,里面的长方形旋转形成一个圆柱,所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱.

类型二　球的有关概念

【典例】1.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的（　　）

2.长方体的一个顶点上三条棱分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是（　　）

A.25πB.50πC.125πD.以上都不对

引】1.注意球与正方体的各个面都相切,该截面是正方体的对角面.

2.注意球与长方体的关系,此时球的直径等于长方体的体对角线.

【解析】1.选B.由组合体的结构特征知,球与正方体各面相切,与各棱相离.

2.选B.由于长方体的体对角线的长是球的直径.所以可求得这个球的直径是5

然后代入球的表面积公式S=4πR2即可.

1.长方体外接球的直径与长方体有何关系?

长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.

2.正方体内切球的直径与正方体有何关系?

正方体内切球的直径等于正方体棱长.

　常见的有关球的一些性质:

（1）长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;

球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;

球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.

（2）球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.

　下列三个结论中,错误的个数为（　　）

①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆;

②球面积是它大圆面积的四倍;

③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】选C.当球面上的两点与球心共线时可作无数个球的大圆,①错;

S球=4πR2,S大圆=πR2.所以S球=4S大圆,②正确;

球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,并非在任意截面圆上,所以③错.

　　如图,一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成,球的半径为R,正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,斜高为0.6R.

（1）求这个容器盖子的表面积（用R表示,焊接处对面积的影响忽略不计）.

（2）若R=2cm,为盖子涂色时,所用的涂料每0.4kg可以涂1m2,计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到0.1kg）.

【解析】

（1）S正四棱台=4×

×

（2.5R+3R）×

0.6R+（2.5R）2+（3R）2=

（4×

2.5+4×

3）×

0.6R2+6.25R2+9R2=21.85R2,S球=4πR2.

因此这个盖子的全面积为S全=（21.85+4π）R2.

（2）R=2cm,取π=3.14,求得S全=137.64（cm2）,（137.64×

100）÷

10000×

0.4≈0.6（kg）.

因此100个这样的盖子共需涂料约0.6kg.

类型三　旋转体中的计算问题

角度1　旋转体的简单计算问题

【典例】1.如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O′O的母线长.

2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是________. 

引】1.过圆锥的轴作截面,在轴截面中利用三角形相似求解.

2.作出球的大圆,注意球心与截面的圆心连线垂直于截面,注意在直角三角形中求解即可.

【解析】1.设圆台的母线长为lcm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm,4rcm.过轴SO作截面,

如图所示.

则△SO′A′∽△SOA,SA′=3cm.

所以

=

.所以

.

解得l=9,即圆台的母线长为9cm.

2.如图所示,

因为两个平行截面的面积分别为5π、8π,所以两个截面圆的半径分别为r1=

r2=2

因为球心到两个截面的距离d1=

d2=

所以d1-d2=

-

=1,

所以R2=9,所以R=3.

3

【素养·

探】

　在圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及相关截面的性质,计算相关的底面半径、母线和高.

将本例1改为用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上下底面的面积之比为1∶3,求该截面把圆锥母线分成的两段的长度比.

【解析】由圆锥的截面性质可知,截面仍是圆,设r1与r2分别表示截面与底面圆的半径,l1与l2表示母线被截得的线段,则

所以l1∶l2=1∶

（

-1）.

角度2　旋转体表面上两点间的距离问题

【典例】有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为________cm. 

引】将圆柱的侧面沿着母线展开,然后根据“两点之间线段最短”构造图形得解.

【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,如图,铁丝长度为AC+DE,向右作全等的矩形,易知,A′E=AC,连接A′D,则A′D≤A′E+DE,故线段A′D的长度即为铁丝的最短长度.

由题意知,AB=2πcm,BD=3πcm,

故A′B=2AB=4π（cm）,

A′D=

=5π（cm）,

故铁丝的最短长度为5πcm.

5π

　空间几何体的表面积的求法技巧

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.

（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

（3）棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.

　若两个球的表面积之差为48π,其大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为（　　）

A.4B.3C.2D.1

【解析】选C.设两个球的半径分别为R,r（R>

r）,

则

即

所以R-r=2.

（2019·

潍坊高一检测）圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则圆锥的表面积为（　　）

A.

π　　　B.4π　　　C.3π　　　D.5π

【解析】选C.因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,所以底面圆半径为1,母线长为2,

所以圆锥的表面积为π×

12+π×

1×

2=3π.

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