培训笔记导数及其应用推理与证明统计案例文档格式.docx

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每一年进入高考的年级都会变化比较大。

现在的教学该回归到基本的方法上。

思考数学该怎么教。

主编寄语：

数学是自然的；

数学是清楚的；

数学是有用的；

学数学对于提高个体能力是至关重要的。

学数学要摸索自己的学习方法；

学数学趁年轻。

…

上出高质量的课

三个理解：

数学、学生、教学

理解数学：

了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法--这是容易被忽视的，反而对细枝末节的东西训练的很多。

挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。

调动学生的思维。

提供抽象概括的…

文科不要在教材的基础上补充。

最大的变化：

删去了极限。

增加生活中的优化问题举例；

定积分的概念；

微积分基本定理；

定积分的简单应用；

实习作业。

充分感受从平均变化率都导数。

二、对一些关键问题的处理

导数的概念的引入：

大量实例，引入导数概念，体会导数思想：

三次经历从平均变化率到瞬时变化率的过程。

气球的平均膨胀率--瞬时速度。

实际上放在这里不太好，学生不太容易理解，教学中可以不处理。

函数的平均变化率--瞬时变化率（定义）

曲线的割线斜率--切线斜率。

（几何意义）

运动员的变化：

老师的教学可以更细腻、自然地处理。

可以按照教材的方式直接说。

但不是最科学的，因为瞬时速度即是一种定义，也是一种方法。

你觉得为什么在那两段中可以用平均速度近似描述，在这一段中为什么不行呢?

学生可以回答这个问题：

前两断时间短，后面时间长。

时间段长了误差比较大。

老师可以在此基础上进一步追问：

能不能想什么办法用平均速度描述。

学生：

变短时间段。

分割成小段。

或者不短的缩短区间。

无论是分割，还是缩短区间，都是异曲同工：

变小区间，用平均速度描述运动状态就越好。

于是不断的让区间缩短。

如果学生提出在这一段内速度方向有改变，也可以分成两半，最终回到缩短区间。

同时用一定手段展示教材中的表（2-2第4页），引导学生猜出瞬时速度。

实际是利用了极限的描述性定义，不追求严格的证明。

一般化：

从函数的平均变化率到瞬时变化率。

几何意义：

需要通过后即学习，反复体会，不要急于求成。

教学过程中，老师不要急于求成，不要指望学生到此就已经掌握的导数的概念了。

隐含的思想方法就是体现在小细节中：

区间不断缩小中得到导数的本质。

这就是导数概念中体现出来的思想方法，这是提高学生分析问题、解决问题能力的载体。

所以要磨的细。

定积分概念的引入

你能类比圆的面积的求法（必修二阅读材料）求曲边梯形的面积吗?

阅读与思考材料可以在上本节课之前上学生阅读，提出问题：

所用的方法是什么?

蕴含了什么思想?

以直代曲，逼近的思想。

接下来四步曲：

分割、

以直代曲怎么代?

最简单的是举行和正方形，于是试着用矩形代替，直接代替太粗糙，于是要分割，然后求和，取极限--让分割细化。

用信息技术手段：

分成8份--16分--…--1024份，随着分割的分数越来越多，上面的空白越来越少，分到1024份时空白基本没有了，近似值与精确值几乎是一样的，从几何直观上让学生理解。

也可以用数值上看出它是趋向于，引出定积分。

定积分即不能出的太特殊，也不能出的太一般。

左端点或右端点的函数值作为长方形的高，但是给出一般性的概念时要用长方形内宽所在边上任意一点的函数值作为高，随着取等份数的增加，与原来取左端点或右端点时结果是否一样呢?

只要任取一点就可。

其中最主要的是出思想方法，用先行组织者。

汽车路程问题

比曲边梯形面积更直观，可以让学生看，老师放手，点出关键--探究栏目：

汽车的路程与曲边梯形面积的关系，让学生抽象概括出共性，引入定积分概念，引出定积分的几何意义。

路程问题可以转化为面积问题，面积问题具有一般性。

教学中应选择关键探究栏目。

给学生提供抽象概括的机会。

要把这个机会留给学生。

两个问题的背景不同，但是研究方法一样。

概念教学过程中，学生就能得到很多东西。

讲概念的东西变了，所以例题呈现方式也不同。

探究多了时间怎么把握：

选择对本节内容起核心的作用的进行探究，有的思考栏目，也可以用预习的方式完成，预习的目的不是出知识点而是出方法。

强调几何直观，重视背景，体现应用

函数的单调性--从跳水问题出发，画出函数，研究导数的符号与函数单调性的关系，老师要引导。

然后讨论起一般性。

通过做切线，根据倾斜角的范围，确定导数的符号。

关注用导数的本质及其几何意义解决问题。

第8页例3.理解导数就是变化率。

不同的人选择的范围不同，算出来的值就不同，所以答案不唯一是正确的。

实际问题的产生：

借助于实际问题，再加上演绎，编制而成。

第15页例3：

饮用水的纯净度。

纯净水达到一定程度之后，不要对纯净度要求太高，因为成本会上升很快。

体现了应用价值：

对生产的指导意义。

导数计算中要淡化复杂的求导运算。

基本的要熟练的掌握。

微积分基本定理

借助几何直观，了解微积分基本定理的含义。

微积分就是一张图--

重视引言的教学。

引言--与微积分相关的四大问题

几个需要注意的问题

1.不专门讲极限，不追求数学形式的严格化，而是学生能接受，数学上又说得过去。

极限符号要揭示。

2.强调本质

3.避免过量形式化运算--第25页例3，容器注水时水的高度与时间的关系的图象。

4.控制难度。

复合函数、定积分的难度。

严格控制在教科书的范围里面。

5.揭示导数方法的一般性、有效性。

6.适当使用信息技术。

导数概念、定积分概念的引入，单调性、极值的研究。

但是老师们应该想一想什么时候该用，什么时候不要用?

用的目的是帮助学生理解数学的本质，解决传统方法无法呈现、难以呈现的内容。

如定积分中的应用。

教材进行了适当的处理，可以在学生演算的基础上，看教材中的表，也可以理解。

什么时候不适宜用信息技术：

重要概念得出以后，不适宜用PPT一下给出概念，使得前面的过程达达折扣。

手写时有一个时间间隔，在这个时间间隔中，借助你的表述，迅速吸收。

再者第一个典型的例题是不能用PPT展示它的过程的。

在新课程中题型教学已经越来越行不通了，内容增多，用原来的办法不行，因为一轮复习所用的时间比原来多了，传统的复习模式打破了，可能只有两轮，所以训练强度上不去，应对不了考试。

例题的教学体现发展性教学，例题的教学中心是引导学生根据当前所学内容和方法来寻求解决这个问题的思路。

分析过程比解答过程还要长，就是一种导向，告诉老师如何引导学生学会。

要规规矩矩用板书的形式写出来，起示范作用。

把口头语言表示成书面语言是需要一个过程的。

推理与证明

合情推理--或然性推理

归纳--部分到整体，特殊到一般

类比--特殊到特殊

演绎推理--必然性推理

三段论--一般到特殊

课标中不提归纳推理、类比推理的定义，淡化定义，要通过生活和数学中的实例了解推理的含义，不要抠概念，抠概念后学生依然不会用推理方法解题。

有的学生学完合情推理之后，以后不会解决问题。

合情推理是在解决一个具体的实际问题时要用，但是学生不会。

所以要转变教学观念。

教学目标：

了解…

证明方法：

是通过实例了解这些证明方法的过程。

数学归纳法：

主要是了解其原理。

变分散为集中，变隐性为显性的方法讲推理和证明。

学习之后要自觉的、主动的应用这些方法。

借助已学的数学实例，了解这些方法的特点，不能出现证明技巧过强的题目，因为主要是将来要用这种方法，如果技巧性过强就不具有迁移性。

哥德巴赫猜想：

猜想（偶数…）--修正猜想（不小于6的偶数…）--哥德巴赫猜想--证明，证不出来，又举不出反例--

体现了归纳思想：

个别到整体，特殊到一般。

提出猜想，验证，反驳。

例观察下面等式：

0+1=1，

1+8=2+3+4，

8+27=5+6+7+8+927+64=10+11+12+13+14+15+16，

由这些式子你能得到什么猜想。

点评：

每个等式要有一个序号。

各等式中的项数，及其与序号的关系。

于是修改：

可以按照第一个等式…的顺序依次观察，观察时，要考虑前后等式中的联系，观察等式序号与等式内各数之间存在的关系，找出规律，得出一般性的猜想。

三个猜想：

这三个猜想不是放在数学内容中应该是对的，但是在数学中一定要发现这一串等式中数学的本质是什么。

猜想：

（n-1）3+n3=[（n-1）2+1]+[（n-1）2+2]+…+[（n-1）2+2n-1]

但是教学中只是注重上述猜想的结果，看不到过程。

类比推理：

关键是引导学生确定合适的类比对象。

教材中第74页的探究就是这方面的引导。

一定要让学生认识到：

合情推理得出来的就是猜想，可能正确也可能不正确。

数学归纳法

重点放在如何让学生了解数学归纳方法的原理。

数学归纳法实际是一条公理：

皮亚诺公理中的归纳公理。

但是要尽可能让学生了解其合理性。

了解其雏形。

多米诺骨牌的应用。

垒时只可能垒到有限块，但是可以想象成，或者提升成一个无限的模型。

提炼其中的原理--两点，尤其第二条件，不能说：

第一块倒下后，第二块倒下，这一说又成另一个无限的问题，因此要概括出来：

任意相邻的两块骨牌，前一块倒下导致后一块倒下。

利用这个模型证明数列的通项公式，an=1/n，将多米诺骨牌的原理转化为数学证明的步骤，让学生认知到数学归纳法的原理。

归纳奠基，归纳递推，小结。

学生的困惑：

为什么要假设一个成立的基础上在再证明另一个。

类比多米诺骨牌帮助学生理解。

实际上不是假设，而是一个命题的条件：

归纳递推中的假设是命题的条件。

注意：

合情推理与逻辑推理的联系与差异。

联系：

合情推理能发现信息，同时也是发现逻辑推理的证明方法的途径。

--平面与空间中的余弦定理。

得到了形式和证明方法。

学生在学习过程中，学生自己的发现比较少。

证明技巧性不宜作过高的要求。

习题以前做过，不要拔高技巧性而产生新的难点。

比如数学归纳法也是只证明一些简单的题目。

不要拔高。

证明这一块是体现改变题海战术，培养学生分析问题、解决问题的能力的极好的载体。

面对问题如何架起已知待求结论的桥梁。

文理有差别。

文科此处不讲，但是如果将来选学了4-5也要学。

课时，文科内容少课时10，理科内容多课时8课时。

所以对文科多加一些简单、中等的引例和例题。

文科生可能只有6课时应该就够了。

统计案例

文理不同之处：

文科是感受，理科进行少量的推导。

计数原理：

课标和大纲的区别：

课标要求能计算简单的计数问题。

内容上：

组合数的两个性质不作要求。

文科没有排列组合。

随机变量及其分布

为什么分布很重要?

在概率中，随机现象有两个基本特点：

结果是随机的；

频率具有稳定性。

什么叫研究清楚一个随机现象?

如果能知道实验可能的结果，每个结果出现的概率是多少，就算研究清楚了。

随机试验的结果用数值对应起来，引入随机变量，每一个随机变量的值清楚了，就算研究清楚了，而这就是它的分布列。

如何研究分布?

惯用的手法--特殊对象，其研究方法又可以推广到对一般的研究。

所以对概率的研究也只研究特殊的分布，它既是重要的，又是一般的。

一线老师在中学教的时间久了之后，对数学的认识就不考虑了。

如果能认识清楚为什么这样处理，那么教学就会更好。

数字特征的重要性

强调案例教学。

以案例为载体得出方法原理。

统计的思维方式主要是归纳。

与确定性数学的方法是不一样的，那里主要是演绎。

教学中把统计的教学变成了画统计图表，算数字特征。

这是不对的。

样本的数字特征，随机变量的数字特征。

无法把握分布的信息，可能获得一些数字特征，只能从局部了解整体的信息。

这时数字特征就比较重要。

样本空间：

{（1,1），…（6,6）}

{（奇，奇），…}

{2,3,4…，12}

但是在解题过程中要选择合适的样本空间。

比如计算两个骰子的点数和不超过9时，选择最后一种样本空间计算可以，但是此时不能用古典概型的概率公式。

样本空间不同，相应的概率分布也不同。

所以还是要选择第一个样本空间。

样本空间只要包含所以可能的基本事件即可，但是遇到一个具体问题时，要考虑一个合适的样本空间。

统计案例：

统计方法是怎么得到的?

让学生认识到结果可能存在误差和错误。

得到统计思想。

高考出题的方向：

出考查统计思想的，计算量小的。

教学中要展示过程，让学生知道来龙去脉，就能让学生体会到其中的统计思想。

这样应对考试时，学生就不至于无所适从。

回归分析：

了解基本思想方法，通过典型案例实现。

数学3已学回归内容：

画散点图…

2-3中：

1.引入线性回归模型y=bx+a+e，预报变量、解释变量、误差；

2.了解模型中随机误差项e产生的原因；

3.了解R2和模型的拟合效果之间的关系；

4.了解诶残差图的作用；

5.利用线性回归模型解决非线性的问题；

6.了解统计的思想方法。

女大学生的身高和体重：

画散点图，求回归方程，预报体重，这个描述准确吗?

--把身高看做是影响体重的唯一原因，但是没有考虑其他很多原因：

遗传、营养状况、习惯等。

所以这个方程不科学。

为了纠正这个偏差，引进一个随机误差e.

教学过程中要把这些解释清楚：

为什么引入随机误差?

必要性。

随机误差的数学期望是0，因为它是所有误差的均值，是一种无偏估计。

其差可以控制在一定范围之内。

怎样认识随机误差：

是一个随机变量，影响它的因素很多，不可观测。

因此利用已有的样本点，估算出随机误差的值，即残差。

残差和随机误差关系密切，利用残差研究随机误差。

于是模型行不行，就可以通过观察残差决定，通过画残差图--集中在一条水平线的附近，即一条袋状区域里。

为什么引进线性回归分析，引进随机误差?

随机误差怎么来的?

怎评判。

还可以通过数值计算R2，进行评判。

思想：

1.模型适用的总体--当代女大学生；

2.模型的时间性；

3.样本取值范围对模型的影响--不能用于描述幼儿的身高与体重的关系；

4.模型预报结果的正确理解--预报变量可能取值的平均值。

独立性检验：

学生对此的理解难度加大，因为有假设检验的问题。

两个假设检验问题：

阿布兹诺特的《从两性出生数观察的规律性所得关于神的旨意存在的一个论据》

（1）生男生女纯属偶然（即有同等机会）

（2）由于"

神的意旨"

，生男的机会大于生女。

（1/2）8210-24

观察伦敦82年男女出生的比例是男多于女。

原假设是

（1），在这个下面推出一个几乎不可能发生的现象，即一个小概率事件发生--连续82年男多于女，其概率是（1/2）8210-24，是不应该发生的，所以假设

（1）不合理，否定

（1），得出

（2）。

这个推理很合理。

（1）是原假设，

（2）是被择假设。

（2）要在原假设的前提下构造一个小概率事件，且发生了，从而推翻原假设e

费希尔的"

女士品茶"

（TM和MT各4杯）

（1）该女士对TM和MT并无鉴别能力，所得结论纯属偶然；

（2）该女士对…有一定的鉴别能力。

P（x=4）=1/C14=1/70

将

（1）作为原假设，4杯都尝对的概率是1/70,这是一个小概率事件，但是发生了，所以否定

（1）。

T--tea，M--milk

问题：

为什么不用

（2）作为原假设呢?

此时根据题目的条件做不出任何推断。

有一定鉴别能力，就应该尝出来。

没有关系作为前提，这些量就是独立的，你才能算犯错误的概率。

如果否认原假设，后果不太严重。

独立性检验都是否认原假设，接受被择假设。

如果不能推翻

（1），只是说没有充分的理由说原假设不对。

如：

更换设备与提高生产效率的问题。

如果判断错误，不能把更换设备与改进生产效率不明显作为原假设，以你为一旦否定了，大规模的改进设备，但是改进设备之后其实其效果是有限的，这就比较严重。

K2：

ad-bc几乎等于0.这就是构造出来的小概率事件。

注意下结论的方式：

在犯错误的概率不超过…的前提下，吸烟和患肺癌没有关系。

临界值的设定：

"

选择的临界值不同，下的结论中的概率不同，似乎还更精确。

这是错误的，两种说法都对，不存在精确不精确之分。

而是要先选定标准，即先定临界值。

为什么总是把"

没有关系"

作为原假设。

关于K2非齐次的问题：

把n扩大1000倍后数据不同，类比抛硬币，数据不同、数据的个数，尽管个数一样，得到的信息就不一样，这就是统计的特点。

特别声明：

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3：

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