轴对称Word格式.docx

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2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

二、主要性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.

（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

三、有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形.

专题总结及应用

一、用轴对称的观点证明有关几何命题

例1试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：

在△ABC中，∠C=90°

，∠A=30°

，如图14－102所示.

求证：

BC=

AB.

证明：

如图14－103所示.

作出△ABC关于AC对称的△AB′C.

∴AB′=AB.

又∵∠CAB=30°

，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°

∴AB=BB′=AB′

又∵AC⊥B′B，

∴B′C=BC=

BB′=

即BC=

例2如图14－104所示，已知∠ACB=90°

，CD是高，∠A=30°

.求证BD=

在△ABC中，∠ACB=90°

，

∴BC=

AB，∠B=60°

又∵CD⊥BA，

∴∠BDC=90°

，∠BCD=30°

.∴BD=

BC.

∴BD=

·

AB=

即BD=

二、有关等腰三角形的内角度数的计算

例3如图14－105所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数.

（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.

解：

∵AB=AC，BC=BD=ED=EA，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∠ABD=∠BED，∠A=∠EDA.

设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，

∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）.

在△ABC中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，

由三角形内角和可得α+3α+3α=180°

∴α=

，∴∠A=

∴∠A的度数为

例4如图14－106所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.

∵AD=BD，AB=AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA.

设∠B=∠C=∠BAD=α，

则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α.

在△ABC中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α，

∴3α+α+α=180°

∴α=36”，∴3α=108°

，即∠BAC=108°

∴∠BAC的度数是108°

三、作辅助线解决问题

例5如图14－107所示，∠B=90°

，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BE=DC.

连接AE.

∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°

又∵∠B=90°

，∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADE（HL），∴BE=ED.

∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.

，∴∠BAC+∠C=90°

∴∠C=45°

.∴∠DEC=45°

∴∠C=∠DEC=∠45°

∴DE=DC，∴BE=DC.

例6如图14－108所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.

过E作EM∥AC，交BC于点M，

∴∠EMB=∠ACB，∠MEG=∠F.

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.

∴∠B=∠EMB，∴EB=EM.

又∵BE=CF，∴EM=FC.

在△MEG和△CFG中，

∴△MEG≌△CFG（AAS）.

∴EG=FG.

例7如图14-109所示，在△ABC中，∠B=60°

，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形.

（分析）欲证△ABC是直角三角形，只需证明∠BCA=90°

即可.

取AB的中点D，连接CD.

∵BC=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2.

∴∠BCD=∠BDC.

又∵∠B=60°

，∴∠BCD=∠BDC=60°

∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.

又∵∠BDC是△DCA的一个外角，

∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°

∴∠A=30°

∴∠BCA=180°

-∠B-∠A=180°

-60°

-30°

=90°

∴△ABC是直角三角形.

本章综合评价

一、训练平台

1.等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为（）

A.22B.29C.22或29D.17

2.如图14－110所示，图中不是轴对称图形的是（）

3.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A.∠A=50°

，∠B=70°

B.∠A=70°

，∠B=40°

C.∠A=30°

，∠B=90°

D.∠A=80°

，∠B=60°

4.如图14-111所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若∠BDC=69°

，则∠A等于（）

A.32°

B.36°

C.48°

D.52°

5.成轴对称的两个图形的对应角，对应线段.

6.等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴.

7.等腰三角形顶角的与底边上的、重合，称三线合一.

8.

（1）等腰三角形的一个内角等于130°

，则其余两个角分别为；

（2）等腰三角形的一个内角等于70°

，则其余两个角分别为.

9.如图14－112所示，△ABC是等边三角形，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数.

10.如图14－113所示，在△ABC中，AB=AC，E在CA延长线上，AE=AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.

11.如图14－114所示，在△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，试说明理由.

二、探究平台

1.如图14－115所示，设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，能表示它们之间关系的是（）

2.等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且

=2Cm，则腰AC的长为（）

A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm

3.已知等腰三角形的两边a，b，满足

+（2a+3b-13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）

A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10

4.如图14－116所示，∠A=15°

，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）

A.90°

B.75°

C.70°

D.60°

5.等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为.

6.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°

，则这个三角形的顶角为.

7.在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=140°

，则∠A=.

8.如果等腰三角形的两个角的比是2∶5，那么底角的度数为.

9.如图14－117所示，在△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=3，BD=5，则点D到AB的距离为.

10.如图14－118所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°

，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是.

11.如图14－119所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°

方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°

方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°

方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.

12.如图14－120所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF=FC，为什么？

三、交流平台

小明、小亮对于等腰三角形都很感兴趣，小明说：

“我知道有一种等腰三角形，过它的顶点作一条直线可以将原来的等腰三角形分为两个等腰三角形.”小亮说：

“你才知道一种啊！

我知道好几种呢！

”聪明的你知道几种呢？

（要求最少画出两种，标明角度，不要求证明）

参考答案

一、1.B2.C3.B4.A［提示：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=

∠ABC=

∠C.又∵∠BDC=69°

，∴

∠C+∠C+∠BDC=180°

，即

∠C+69°

=180°

，∴∠C=111°

×

=74°

.∴∠A=180°

-74°

2=180°

-148°

=32°

.∴∠A=32°

.］

5.相等相等6.37.平分线中线高

8.

（1）25°

，25°

（2）55°

，55°

或70°

，40°

9.解：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°

又∵∠1=∠2=∠3，

∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3，

即∠CAF=∠ABD=∠BCE.

在△ABD和△BCE和△CAF中，

∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）.

∴AD=BE=CF，BD=CE=AF.∴AD-AF=BE-BD=CF-CE，

即FD=DE=EF.

∴△DEF是等边三角形.∴∠FED=60°

∴∠BEC=180°

-∠FED=180°

=120°

∴∠BEC=120°

10.解：

EF与BC的位置关系是：

EF⊥BC.理由如下：

∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=

∠BAC.

又∵AE=AF，∴∠E=∠AFE.

又∵∠BAC=∠E+∠AFE=2∠AFE，∠AFE=

∴∠BAD=∠AFE.∴EF∥AD.又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.

11.提示：

图略.因为欲使△ENF的周长最小，即EN+NF+EF最小，而EN为定长，则必有NF+EF最小，又因为点F在AB上，且E，N在AB的同侧，由轴对称的性质，可作点E关于直线AB的对称点E′，连接E′N与AB的交点即为点F，此时，FE+FN最小，即△EFN的周长最小.

二、1.A2.AC［提示：

∵BC=8cm是底边，∴AB=AC.又∵

=2cm，∴

=2cm..∴AC=10cm或6cm.当AC=10cm时，三角形三边为10cm，10cm，8cm，满足三角形三边关系，同理，当AC=6cm时，也满足三角形三边关系.∴AC=10cm或6cm.］

3.A［提示：

由绝对值和平方的非负性可知，

解得

分两种情况讨论：

①当2为底边时，等腰三角形边为2，3，3，2+3＞3，满足三角形三边关系，此时三角形周长为2+3+3=8；

②当3为底边时，等腰三角形三边为3，2，2，2+2＞3，满足三角形三边关系，此时，三角形周长为3+2+2=7.∴这个等腰三角形的周长为7或8.］

4.D5.22cm6.70°

7.100°

8.75°

或40°

[提示：

若设等腰三角形的顶角为2α，则底角为5α，由三角形的内角和可知，2α+5α+5α=180°

，∴α=15°

.∴5α=75°

；

若设等腰三角形的底角为2α，则顶角为5α，则有2α+2α+5α=180°

，∴α=20°

.∴2α=40°

.∴等腰三角形的底角度数为75°

]9.310.12+2a

11.解：

∵∠BCD=60°

，∠BAC=30°

，∠BCD=∠BAC+∠CBA，

∴60°

=30°

+∠CBA.∴∠CBA=30°

∴∠BAC=∠CBA.∴CA=CB.

又∵∠BCD=∠BDC=60°

，∴△BCD是等边三角形.

∴CD=BC.∴AC=CD=BC.

又∵BC=20海里，∴AC=CD=20海里.

∴20÷

10=2（时），40÷

10=4（时）.

∴轮船到C处的时间是11∶30+2∶00=13∶30，即下午1时30分.

轮船到D处的时间是11∶30+4∶00=15∶30，即下午3时30分.

答：

轮船到达C处和D处的时间分别为下午1时30分和下午3时30分.

12.解：

如图14－121所示.

∵BD=BE，∴∠E=∠1.

又∵∠ABC=∠E+∠1=2∠1，且∠ABC=2∠C，

∴2∠1=2∠C，∴∠1=∠C.

又∵∠1=∠2，∴∠C=∠2.∴FD=FC.

又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°

.∴∠3=90°

-∠2，∠4=90°

-∠C.

∴∠3=∠4.∴AF=FD.∴AF=FC.

三、解：

举例如下，如图14－122所示

（1）AC=BC，∠ACB=90°

，CD=AD=DB；

（2）AB=AC=CD，BD=AD；

（3）AB=AC，AD=CD=BC；

（4）AB=AC，AD=CD，BD=BC.