三角函数的求值docxWord文件下载.docx
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【规范解答】
+伽20。
=血20。
+4血20。
心20。
320。
+2血40。
cos20°
cos20°
(sin20。
+sin40。
)+sin40。
_2sin30cos10。
_sin80。
(3)原式=2(l+cos70°
)+co$10°
+tan20°
•sinl0°
cos10。
•cos20。
+sin20。
sin10。
【解前点津】所求函数屮的角与已知函数屮的角,其运算结构不同,所以要作角的变形,使
形式统一,在
(1)屮,作a—3+B),在⑵屮,作乞辺=
-0、
2
L2丿
<
2)
(1)V—<
a,—Ji<
a+p<
2K,ji<
2a<
2Ji.
22
Vcos(a+P)=——<
0,cos2a=—
3
/•sin(a—B)=sin[2a—(a+B)]=sin2a•cos(a+B)—cos2a•sin(a+B)
(2)V—<
a<
n,0<
0—<
a——<
n,
224242”2
丄丄农晅+也xJ空
I9丿39327
【解后归纳】此类问题属于“给值求值”,从考察条件与结论式子的差异入手,确定变形目标,是变名还是变角,此题就是着眼于角度变形的问题.
【例3】已知:
tan(a—p)=丄,伽B,且a、B丘(0,兀),求2a—B之值.
27
【解前点津】此类问题属于“给值求角”,因条件等式是“正切形式”,故应考虑计算tan(2a—B)的值.
【规范解答】tana=tan[(a—0)+B]=tan(6Z-^)+tan1
1-tan(a一0)•tan03
JT1JT
又ciG(0,Ji),/•«
e0,—,而tanP=——<
0,0<
•—<
P<
n,
2J72
JT
.—jt<
a—p<
——,2a—g=a+(a—f3)W(—n,0),从而由
tan(2a-P)=tan[a+(a_B)]二⑻》刚一"
)=1得2a—吐—X.
1-tan6Z•tan(妙一)4
【解后归纳】对(2a—B)的取值范围,估算要精确,范围过大,容易产生错误,只有对条件进行深入“挖掘”,才能准确推导角度的取值范围.
【例4】是否存在锐角Q和B,使得:
(l)a+(2B)=-n;
⑵tan《・tanP=2-73同时成立?
若存在,求出Q和B的值;
若不存在,说明理由.
【解前点津】由⑴可作角度形:
訐吟两边取正切,与⑵联立,则可求出吨+说之值,联系一元二次方程根与系数关系,可看结论是否成立.
将⑵代入上式得:
tan彳+tang-侖,二tan导,tanB是一元二次方程;
x2—(3—V3)x+(2—V3)=0的两根,解之:
X|=1,X2=2—V3,
若吨丸但。
晋弓故此时a值不存在.
若tan—=2—V3,贝!
ItanP=1,V0<
33=—代入⑴得:
224
«
=-•故存在锐角a=^,3=-,使⑴
(2)同时成立.
664
【解后归纳】此类问题,常从“假设”存在入手,解后还须检验.
•对应训练分阶提升
一、基础夯实
1•若0<
a<
K,RlJ10sinaJgsina,sin10a三个数之间的大小顺序是
2•若0是锐角,且sin()-cos()二一贝Jsin3()+cos3()的值是
B.乜
16
3.设M二&
|sin&
2*,处[0,龙*Nh&
|cos[0,兀]”,则MQN
(2sin80°
-sin20°
)_
sin70°
13.—+的值为
sin50°
cos50°
14.x=sin50°
+cos50°
y=sin70°
+cos70°
,则兀丿间的大小关系是
三、能力提高
15.已知tarLr=2,tan>
=—,求lan[2(x+y)l的值.
16.设一一WxW—,求>
-/og2(1+sirLr)+/og2(1—siar)的最大值与最小值.64
17.己知1+cosa—sinB+sinasinB=0,1—cosa—cosB+sinacosB=0,求sina的值.
18.已知:
tana=l,sin(2a+P)=3sinP,求tan(a+B)的值.
第7课三角函数的求值习题解答
LB取a=—则10sina=10,sin10a=1Jgsina=0.i^选B.
i3
2.A由条件:
1—2sin0cosB=—=>
sin0cosB=—•
48
故sin3()+cos3()=(sin()+cos())[sin2()—sin()•cos()+cos2()]
r3i
5
"
1\
1--
=—(sin()+cos())=——+2cos6^
.8_
8
M2丿
=(sin()+cos())
sin&
-cos0=—
中消去sin()得
又・・・0为锐角.由c2
cos&
=—
=7sin.r•
——cosx
=V37Ai-V37<
/(x)<
V37.
人•ei•c2tanx2(-1).
5.B令tanx=—1,贝!
Jsin2,v===-1.
l+tan2x1+(-1)*-
Vcosa=丄,・•・sina二晅,•.・sin0二一匣,0丘
222
7.CtanA•tanB=l,/.sin/l•sinB=cosA•cosB=>
cos(A+B)=0,
.\A+B=2kn+—(圧Z),于是:
sinA•sin=——[cos(A+B)—cos(A~B)]=—cos(A—B)W丄.
2222
tan21。
+Um24。
1-tan21°
tan24°
/•tan21°
+tan24u+tan21°
tan24°
=1=>
(tan210+!
)•(!
+tan24°
)=2,
同理可得(l+tan22°
)•(l+tan23°
)=2,故原式=4.
9.C逐一检验知,不成立.
24
10.C设底角为a,顶角为(n—2a)/Zsin(n—2a)=sin2a=一,
25
.*.2sinacos«
=—=>
cosa•71-cos2a-—W^.cosa二色或—.
252555
Hcos20°
_sin70°
_1_j_
*1-sin20°
_1-cos70°
-tan35°
_6/*
12.原式二[伽80。
-sin20。
)+sin80。
]-sinl0°
2cos50。
sin30。
+sin80。
(sin80°
+sin40°
)2sin60°
•cos20°
a/3cos20°
_翻
/a1zr.“。
丄4(sin50°
•一+-cos50°
)
13原式二(畑山50。
+心50。
)=22
'
1•sn。
sin100°
—sm100
4(sin50°
cos30°
+cos50°
•sin30°
)4sin(50°
+30°
)”
sin100°
-sin80°
-*
14.Vx>
0j>
0,Kx2-y2=(sin50°
)2-(sin20°
+cos20°
)2=2(sin50°
cos50°
-sin20°
cos20°
)=sin(50°
X2)-sin(20°
X2)=sin80°
—sin40°
>
0,.*.x>
y.
2tany
4
2tanx
44
15.Ttan2x===——,tan2y=o
1-tan2x1-43(1-tan2y)
tan2x+tan2y
[4、
~3>
+
(3)
_3x3-4x4_9-16_7
-tan2x-tan2<
1_
(4]
•1
、一12+12_24_24
丿
/.tanf2(x+y)l=
717t
16.y=log?
(l—sin2x)=21og7|cosx|=21og2cosx,V——WjcW—,
•64
/.—WcosxWl,・°
・一1WyWO即最小值是一1,最大值是0.2
17.由条件得:
sina—1H0且sinP=+C°
Sa,
1-sincr
(\一cosa
J—sina
化简得:
3sin2a-2sina-3=0,解之:
sina=l(l-V10).
18.Vsin[(a+B)+a]=3sin[(a+0)-a],
/•sin(a+B)•cosa+cos(a+0)•sina
=3sin(a+B)•cosa—3cos(a+B)•sina4cos(a+B)•sina
=2sin(a+P)•cosa,
/•tan(a+P)=2tana=2.