线性代数知识点总结Word文档格式.docx

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（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，那么它的系数行列式必为0（3）假设齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么齐次线性方程组只有0解；

如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2矩阵

（一）矩阵的运算1、矩阵乘法考前须知：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；

（因式分解的公式对矩阵不适用，但假设B=E,O,A-1，A*,f（A）时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、转置的性质（5条）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT（3）（AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5）（AT）T=A

（二）矩阵的逆3、逆的定义：

AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：

A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：

（5条）

（1）（kA）-1=1/k·

A-1（k≠0）

（2）（AB）-1=B-1·

A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：

由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：

（A|E）→初等行变换→（E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩阵：

单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵的性质：

（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵

（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩阵的秩9、秩的定义：

非零子式的最高阶数注：

（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

（2）r（An×

n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

10、秩的性质：

（7条）

（1）A为m×

n阶矩阵，那么r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±

B）≤r（A）±

（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）设A是m×

n阶矩阵，B是n×

s矩阵，AB=O，那么r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：

由定义或性质求解；

（2）A为数字矩阵：

A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），那么r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：

（8条）

（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A|n-2·

A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；

r（A*）=1（r（A）=n-1）；

r（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：

要求前列后行分法相同。

14、分块矩阵求逆：

3向量

（一）向量的概念及运算1、向量的内积：

（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：

||α||=3、正交定义：

（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：

A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±

1

（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

（1）←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★

（2）←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：

（了解即可）假设α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，那么β可由α1，α2，…，αs线性表示。

7、线性表示的求法：

（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：

每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相意事项：

（1）α线性相关←→α=0

（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性相关

（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关

（1）←→r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）←→|α1，α2，…，αn|=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：

（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

（2）局部相关，那么整体相关（3）高维相关，那么低维相关（4）以少表多，多必相关★推论：

n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关

（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关←→r（α1，α2，…，αn）=n←→|α1，α2，…，αn|≠0←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：

（1）整体无关，局部无关

（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定

（1）定义法★

（2）秩：

假设小于阶数，线性相关；

假设等于阶数，线性无关【专业知识补充】

（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；

在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

（2）假设n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，那么r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。

←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:

极大无关组中向量的个数成为向量组的秩比照：

矩阵的秩:

非零子式的最高阶数★注:

向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★16、极大线性无关组的求法

（1）α1，α2，…，αs为抽象的：

定义法

（2）α1，α2，…，αs为数字的：

（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：

假设α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V的两组基，那么基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×

n其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）18、坐标变换公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，那么坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。

其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1，α2，α3线性无关

（1）正交化令β1=α1

（2）单位化4线性方程组

（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：

（1）一般形式

（2）矩阵形式：

Ax=b；

（3）向量形式：

A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：

假设η=（c1，c2，…，）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）

（二）解的判定与性质3、齐次方程组：

（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是数x的个数）

（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：

（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：

（1）假设ξ1，ξ2是Ax=0的解，那么k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）假设ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，那么ξ+η是Ax=b的解（3）假设η1，η2是Ax=b的解，那么η1-η2是Ax=0的解【】

（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，那么k1η1+k2η2+…+ksηs为Ax=b的解（当Σki=1）Ax=0的解（当Σki=0）

（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，那么η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

变式：

①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1（三）根底解系6、根底解系定义：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性相关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示→根底解系即所有解的极大无关组注：

根底解系不唯一。

任意n-r（A）个线性无关的解均可作为根底解系。

★7、重要结论：

（证明也很重要）设A施m×

s阶矩阵，AB=O

（1）B的列向量均为方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：

根底解系的求法

（1）A为抽象的：

由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解

（2）A为数字的：

A→初等行变换→阶梯型自由量分别取1,0,0；

0,1,0；

0,0,1；

代入解得非自由量得到根底解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的根底解系，那么Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的根底解系，η为Ax=b的特解，那么Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：

如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，那么称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：

方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论（需要掌握证明）

（1）设A是m×

n阶矩阵，那么齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

（2）设A是m×

n阶矩阵，r（A）=n，B是n×

s阶矩阵，那么齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）5特征值与特征向量

（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：

设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义：

|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。

|λE-A|=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。

注:

特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：

（1）假设α为齐次方程Ax=0的非零解，那么Aα=0·

α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和为k，那么（1，1，…，1）T为特征值为k的特征向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结：

特征值与特征向量的求法

（1）A为抽象的：

由定义或性质凑

（2）A为数字的：

由特征方程法求解5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：

n次方程必须有n个根（可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略）

（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其根底解系（共n-r（λiE-A）个解）6、性质：

（1）不同特征值的特征向量线性无关

（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λiE-A）≤ki（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，那么|A|=Πλi，Σλi=Σaii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，那么A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，那么Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）λf（λ）λλ-1|A|λ-1λαα/ααP-1α

（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：

设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质

（1）假设A与B相似，那么f（A）与f（B）相似

（2）假设A与B相似，B与C相似，那么A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【】（4）假设A与B相似，那么AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：

如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。

注：

Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量10、相似对角化的充要条件

（1）A有n个线性无关的特征向量

（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量11、相似对角化的充分条件：

（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）

（2）A为实对称矩阵12、重要结论：

（1）假设A可相似对角化，那么r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数

（2）假设A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数（四）实对称矩阵13、性质

（1）特征值全为实数

（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ6二次型

（一）二次型及其标准形1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩阵形式（常用）2、标准形：

如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：

（1）配方法：

通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。

其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

★

（2）正交变换法：

通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:

正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。

（二）惯性定理及标准形4、定义：

正惯性指数：

标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：

标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

标准形：

f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的标准形。

5、惯性定理：

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

（1）由于正负惯性指数不变，所以标准形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：

A、B均为n阶实对称矩阵，假设存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同△7、总结：

n阶实对称矩阵A、B的关系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：

实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，那么称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型xTAx正定充要条件：

（1）A的正惯性指数为n

（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型xTAx正定必要条件：

（1）aii＞0

（2）|A|＞011、总结：

二次型xTAx正定判定（大题）

（1）A为数字：

顺序主子式均大于0

（2）A为抽象：

①证A为实对称矩阵：

AT=A；

②再由定义或特征值判定12、重要结论：

（1）假设A是正定矩阵，那么kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）假设A、B均为正定矩阵，那么A+B正定

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