线性代数知识点总结Word文档格式.docx

1、（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，那么它的系数行列式必为0 （3）假设齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法考前须知：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但假设B=E,O,A-1，A*,f（A）时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=AT+BT （2）（kA）T=kAT （3）（AB）T=BTAT （4）|A|

2、T=|A| （5）（AT）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/kA-1 （k0） （2）（AB）-1=B-1A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（AT）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 5、逆的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解 （2）A为数字矩阵：（A|E）初等行变换（E|A-1） （三）矩阵的初等变换 6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c （3）一行（列）乘k加到另一行（列）

3、7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵 （2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c） Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j） （四）矩阵的秩 9、秩的定义：非零子式的最高阶数 注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O （2）r（Ann）=n（满秩） |A|0 A可逆；r（A）n|A|=0A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、秩的性质：（7条） （1）

4、A为mn阶矩阵，那么r（A）min（m,n） （2）r（AB）r（A）（B） （3）r（AB）minr（A），r（B） （4）r（kA）=r（A）（k0） （5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵） （6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT） （7）设A是mn阶矩阵，B是ns矩阵，AB=O，那么r（A）+r（B）n 11、秩的求法：由定义或性质求解；（2）A为数字矩阵：A初等行变换阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），那么r（A）=非零行的行数 （五）伴随矩阵 12、伴随矩阵的性质：（8条） （1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1 （2）（kA）*=kn-1

5、A* （3）（AB）*=B*A* （4）|A*|=|A|n-1 （5）（AT）*=（A*）T （6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1 （7）（A*）*=|A| n-2A （8）r（A*）=n （r（A）=n）；r（A*）=1 （r（A）=n-1）；r（A*）=0 （r（A）n-1） （六）分块矩阵 13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3 向量 （一）向量的概念及运算 1、向量的内积：（，）=T=T 2、长度定义：|= 3、正交定义：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=0 4、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|

6、=1 （二）线性组合和线性表示 5、线性表示的充要条件：非零列向量可由1，2，s线性表示 （1）非齐次线性方程组（1，2，s）（x1，x2，xs）T=有解。（2）r（1，2，s）=r（1，2，s，）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验） 6、线性表示的充分条件：（了解即可） 假设1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，那么可由1，2，s线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步） 设1，2，s线性无关，可由其线性表示。（1，2，s|）初等行变换（行最简形|系数） 行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0 （三）线性相关和线性无关 8、线性相 意事项：（1）线性相关=0

7、 （2）1，2线性相关1，2成比例 9、线性相关的充要条件：向量组1，2，s线性相关 （1）有个向量可由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0有非零解；（3）r（1，2，s）s 即秩小于个数 特别地，n个n维列向量1，2，n线性相关 （1） r（1，2，n）n （2）|1，2，n |=0 （3）（1，2，n）不可逆 10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关 （2）局部相关，那么整体相关 （3）高维相关，那么低维相关 （4）以少表多，多必相关 推论：n+1个n维向量一定线性相关 11、线性无关的充要条件 向量组1，2，s 线性无关 （

8、1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0只有零解 （3）r（1，2，s）=s 特别地，n个n维向量1，2，n 线性无关 r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩阵可逆 12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，局部无关 （2）低维无关，高维无关 （3）正交的非零向量组线性无关 （4）不同特征值的特征向量无关 13、线性相关、线性无关判定 （1）定义法 （2）秩：假设小于阶数，线性相关；假设等于阶数，线性无关 【专业知识补充】 （1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。（2）假设n维列向量

9、1，2，3 线性无关，1，2，3 可以由其线性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，那么r（1，2，3）=r（C），从而线性无关。r（1，2，3）=3 r（C）=3 |C|0 （四）极大线性无关组与向量组的秩 14、极大线性无关组不唯一 15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩 比照：矩阵的秩:非零子式的最高阶数 注:向量组1，2，s 的秩与矩阵A=（1，2，s）的秩相等 16、极大线性无关组的求法 （1）1，2，s 为抽象的：定义法 （2）1，2，s 为数字的：（1，2，s）初等行变换阶梯型矩阵 那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组 （五）向量空间 17、基（就

10、是极大线性无关组）变换公式：假设1，2，n 与1，2，n 是n维向量空间V的两组基，那么基变换公式为（1，2，n）=（1，2，n）Cnn 其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n） 18、坐标变换公式：向量在基1，2，n与基1，2，n 的坐标分别为x=（x1，x2，xn）T，y=（y1，y2，yn）T，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，那么坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n） （六）Schmidt正交化 19、Schmi

11、dt正交化 设1，2，3 线性无关 （1）正交化 令1=1 （2）单位化 4 线性方程组 （一）方程组的表达形与解向量 1、解的形式：（1）一般形式 （2）矩阵形式：Ax=b；（3）向量形式：A=（1，2，n） 2、解的定义：假设=（c1，c2，）T满足方程组Ax=b，即A=b，称是Ax=b的一个解（向量） （二）解的判定与性质 3、齐次方程组：（1）只有零解r（A）=n（n为A的列数或是数x的个数） （2）有非零解r（A）n 4、非齐次方程组：（1）无解r（A）r（A|b）r（A）=r（A）-1 （2）唯一解r（A）=r（A|b）=n （3）无穷多解r（A）=r（A|b）n 5、解的性质：（

12、1）假设1，2是Ax=0的解，那么k11+k22是Ax=0的解 （2）假设是Ax=0的解，是Ax=b的解，那么+是Ax=b的解 （3）假设1，2是Ax=b的解，那么1-2是Ax=0的解 【 】 （1）设1，2，s是Ax=b的解，那么k11+k22+kss为 Ax=b的解 （当ki=1） Ax=0的解 （当ki=0） （2）设1，2，s是Ax=b的s个线性无关的解，那么2-1，3-1，s-1为Ax=0的s-1个线性无关的解。变式：1-2，3-2，s-2 2-1，3-2，s-s-1 （三）根底解系 6、根底解系定义：（1）1，2，s 是Ax=0的解 （2）1，2，s 线性相关 （3）Ax=0的所有

13、解均可由其线性表示 根底解系即所有解的极大无关组 注：根底解系不唯一。任意n-r（A）个线性无关的解均可作为根底解系。7、重要结论：（证明也很重要） 设A施ms阶矩阵，AB=O （1）B的列向量均为方程Ax=0的解 （2）r（A）+r（B）n（第2章，秩） 8、总结：根底解系的求法 （1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解 （2）A为数字的：A初等行变换阶梯型 自由量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由量得到根底解系 （四）解的结构（通解） 9、齐次线性方程组的通解（所有解） 设r（A）=r，1，2，n-r 为Ax=0的根底解系， 那么Ax=0的通解为k1

14、1+k22+kn-rn-r （其中k1，k2，kn-r为任意常数） 10、非齐次线性方程组的通解 设r（A）=r，1，2，n-r 为Ax=0的根底解系，为Ax=b的特解， 那么Ax=b的通解为+ k11+k22+kn-rn-r （其中k1，k2，kn-r为任意常数） （五）公共解与同解 11、公共解定义：如果既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，那么称为其公共解 12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解 有非零解 13、重要结论（需要掌握证明） （1）设A是mn阶矩阵，那么齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A） （2）设A是mn阶矩阵，r（

15、A）=n，B是ns阶矩阵，那么齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B） 5 特征值与特征向量 （一）矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数及非零列向量，使得A=，称是矩阵A属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义：|E-A|称为矩阵A的特征多项式（的n次多项式）。|E-A |=0称为矩阵A的特征方程（的n次方程）。注:特征方程可以写为|A-E|=0 3、重要结论：（1）假设为齐次方程Ax=0的非零解，那么A=0，即为矩阵A特征值=0的特征向量 （2）A的各行元素和为k，那么（1，1，1）T为特征值为k的特征向量。（3）上（下）三

16、角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。4、总结：特征值与特征向量的求法 （1）A为抽象的：由定义或性质凑 （2）A为数字的：由特征方程法求解 5、特征方程法：（1）解特征方程|E-A|=0，得矩阵A的n个特征值1，2，n 注：n次方程必须有n个根（可有多重根，写作1=2=s=实数，不能省略） （2）解齐次方程（iE-A）=0，得属于特征值i的线性无关的特征向量，即其根底解系（共n-r（iE-A）个解） 6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关 （2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1n-r（iE-A）ki （3）设A的特征值为1，2，n，那么|A|=i，i=aii （4）当r（A

17、）=1，即A=T，其中，均为n维非零列向量，那么A的特征值为1=aii=T=T，2=n=0 （5）设是矩阵A属于特征值的特征向量，那么 A f（A） AT A-1 A* P-1AP（相似） f（） -1 |A|-1 / P-1 （二）相似矩阵 7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作AB 8、相似矩阵的性质 （1）假设A与B相似，那么f（A）与f（B）相似 （2）假设A与B相似，B与C相似，那么A与C相似 （3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和） 【 】 （4）假设A与B相似，那么AB与B

18、A相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似 （三）矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP= ， 称A可相似对角化。注：Ai=ii（i0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值i的特征向量 10、相似对角化的充要条件 （1）A有n个线性无关的特征向量 （2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件：（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关） （2）A为实对称矩阵 12、重要结论：（1）假设A可相似对角化，那么r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数 （2）假设A

19、不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数 （四）实对称矩阵 13、性质 （1）特征值全为实数 （2）不同特征值的特征向量正交 （3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP= （4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ= 6 二次型 （一）二次型及其标准形 1、二次型：（1）一般形式 （2）矩阵形式（常用） 2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，xn）=d1x12+d2x22+dnxn2 这样的二次型称为标准形（对角线） 3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标

20、准形通过先配方再换元得到。（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形1y12+2y22+nyn2 其中，1，2，n 是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵 注:正交矩阵Q不唯一，i与i 对应即可。（二）惯性定理及标准形 4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；标准形：f=z12+zp2-zp+12-zp+q2称为二次型的标准形。5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。（1）由于正负惯性指数不变，所以标准形唯一。（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q

21、=非零特征值的个数=r（A） （三）合同矩阵 6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，假设存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同 7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系 （1）A、B相似（B=P-1AP）相同的特征值 （2）A、B合同（B=CTAC）相同的正负惯性指数相同的正负特征值的个数 （3）A、B等价（B=PAQ）r（A）=r（B） 注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价 （四）正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型xTAx，如果任意x0，恒有xTAx0，那么称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。9、n元二次型xTAx正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n （2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E （3）A的特征值均大于0 （4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式） 10、n元二次型xTAx正定必要条件：（1）aii0 （2）|A|0 11、总结：二次型xTAx正定判定（大题） （1）A为数字：顺序主子式均大于0 （2）A为抽象：证A为实对称矩阵：AT=A；再由定义或特征值判定 12、重要结论：（1）假设A是正定矩阵，那么kA（k0），Ak，AT，A-1，A*正定 （2）假设A、B均为正定矩阵，那么A+B正定 很新颖的一篇美文！模板,内容仅供参考