1、(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解 (2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,那么它的系数行列式必为0 (3)假设齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。2 矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法考前须知:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但假设B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律) (3)AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质(5条) (1)(A+B)T=AT+BT (2)(kA)T=kAT (3)(AB)T=BTAT (4)|A|
2、T=|A| (5)(AT)T=A (二)矩阵的逆 3、逆的定义:AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1 注:A可逆的充要条件是|A|0 4、逆的性质:(5条) (1)(kA)-1=1/kA-1 (k0) (2)(AB)-1=B-1A-1 (3)|A-1|=|A|-1 (4)(AT)-1=(A-1)T (5)(A-1)-1=A 5、逆的求法:(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解 (2)A为数字矩阵:(A|E)初等行变换(E|A-1) (三)矩阵的初等变换 6、初等行(列)变换定义:(1)两行(列)互换;(2)一行(列)乘非零常数c (3)一行(列)乘k加到另一行(列)
3、7、初等矩阵:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质:(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵 (2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c) Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j) (四)矩阵的秩 9、秩的定义:非零子式的最高阶数 注:(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O (2)r(Ann)=n(满秩) |A|0 A可逆;r(A)n|A|=0A不可逆;(3)r(A)=r(r=1、2、n-1)r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、秩的性质:(7条) (1)
4、A为mn阶矩阵,那么r(A)min(m,n) (2)r(AB)r(A)(B) (3)r(AB)minr(A),r(B) (4)r(kA)=r(A)(k0) (5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵) (6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT) (7)设A是mn阶矩阵,B是ns矩阵,AB=O,那么r(A)+r(B)n 11、秩的求法:由定义或性质求解;(2)A为数字矩阵:A初等行变换阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),那么r(A)=非零行的行数 (五)伴随矩阵 12、伴随矩阵的性质:(8条) (1)AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1 (2)(kA)*=kn-1
5、A* (3)(AB)*=B*A* (4)|A*|=|A|n-1 (5)(AT)*=(A*)T (6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1 (7)(A*)*=|A| n-2A (8)r(A*)=n (r(A)=n);r(A*)=1 (r(A)=n-1);r(A*)=0 (r(A)n-1) (六)分块矩阵 13、分块矩阵的乘法:要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆:3 向量 (一)向量的概念及运算 1、向量的内积:(,)=T=T 2、长度定义:|= 3、正交定义:(,)=T=T=a1b1+a2b2+anbn=0 4、正交矩阵的定义:A为n阶矩阵,AAT=E A-1=AT ATA=E |A|
6、=1 (二)线性组合和线性表示 5、线性表示的充要条件:非零列向量可由1,2,s线性表示 (1)非齐次线性方程组(1,2,s)(x1,x2,xs)T=有解。(2)r(1,2,s)=r(1,2,s,)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验) 6、线性表示的充分条件:(了解即可) 假设1,2,s线性无关,1,2,s,线性相关,那么可由1,2,s线性表示。7、线性表示的求法:(大题第二步) 设1,2,s线性无关,可由其线性表示。(1,2,s|)初等行变换(行最简形|系数) 行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0 (三)线性相关和线性无关 8、线性相 意事项:(1)线性相关=0
7、 (2)1,2线性相关1,2成比例 9、线性相关的充要条件:向量组1,2,s线性相关 (1)有个向量可由其余向量线性表示;(2)齐次方程(1,2,s)(x1,x2,xs)T=0有非零解;(3)r(1,2,s)s 即秩小于个数 特别地,n个n维列向量1,2,n线性相关 (1) r(1,2,n)n (2)|1,2,n |=0 (3)(1,2,n)不可逆 10、线性相关的充分条件:(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关 (2)局部相关,那么整体相关 (3)高维相关,那么低维相关 (4)以少表多,多必相关 推论:n+1个n维向量一定线性相关 11、线性无关的充要条件 向量组1,2,s 线性无关 (
8、1)任意向量均不能由其余向量线性表示;(2)齐次方程(1,2,s)(x1,x2,xs)T=0只有零解 (3)r(1,2,s)=s 特别地,n个n维向量1,2,n 线性无关 r(1,2,n)=n |1,2,n |0 矩阵可逆 12、线性无关的充分条件:(1)整体无关,局部无关 (2)低维无关,高维无关 (3)正交的非零向量组线性无关 (4)不同特征值的特征向量无关 13、线性相关、线性无关判定 (1)定义法 (2)秩:假设小于阶数,线性相关;假设等于阶数,线性无关 【专业知识补充】 (1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。(2)假设n维列向量
9、1,2,3 线性无关,1,2,3 可以由其线性表示,即(1,2,3)=(1,2,3)C,那么r(1,2,3)=r(C),从而线性无关。r(1,2,3)=3 r(C)=3 |C|0 (四)极大线性无关组与向量组的秩 14、极大线性无关组不唯一 15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩 比照:矩阵的秩:非零子式的最高阶数 注:向量组1,2,s 的秩与矩阵A=(1,2,s)的秩相等 16、极大线性无关组的求法 (1)1,2,s 为抽象的:定义法 (2)1,2,s 为数字的:(1,2,s)初等行变换阶梯型矩阵 那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组 (五)向量空间 17、基(就
10、是极大线性无关组)变换公式:假设1,2,n 与1,2,n 是n维向量空间V的两组基,那么基变换公式为(1,2,n)=(1,2,n)Cnn 其中,C是从基1,2,n 到1,2,n 的过渡矩阵。C=(1,2,n)-1(1,2,n) 18、坐标变换公式:向量在基1,2,n与基1,2,n 的坐标分别为x=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn,那么坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中,C是从基1,2,n 到1,2,n 的过渡矩阵。C=(1,2,n)-1(1,2,n) (六)Schmidt正交化 19、Schmi
11、dt正交化 设1,2,3 线性无关 (1)正交化 令1=1 (2)单位化 4 线性方程组 (一)方程组的表达形与解向量 1、解的形式:(1)一般形式 (2)矩阵形式:Ax=b;(3)向量形式:A=(1,2,n) 2、解的定义:假设=(c1,c2,)T满足方程组Ax=b,即A=b,称是Ax=b的一个解(向量) (二)解的判定与性质 3、齐次方程组:(1)只有零解r(A)=n(n为A的列数或是数x的个数) (2)有非零解r(A)n 4、非齐次方程组:(1)无解r(A)r(A|b)r(A)=r(A)-1 (2)唯一解r(A)=r(A|b)=n (3)无穷多解r(A)=r(A|b)n 5、解的性质:(
12、1)假设1,2是Ax=0的解,那么k11+k22是Ax=0的解 (2)假设是Ax=0的解,是Ax=b的解,那么+是Ax=b的解 (3)假设1,2是Ax=b的解,那么1-2是Ax=0的解 【 】 (1)设1,2,s是Ax=b的解,那么k11+k22+kss为 Ax=b的解 (当ki=1) Ax=0的解 (当ki=0) (2)设1,2,s是Ax=b的s个线性无关的解,那么2-1,3-1,s-1为Ax=0的s-1个线性无关的解。变式:1-2,3-2,s-2 2-1,3-2,s-s-1 (三)根底解系 6、根底解系定义:(1)1,2,s 是Ax=0的解 (2)1,2,s 线性相关 (3)Ax=0的所有
13、解均可由其线性表示 根底解系即所有解的极大无关组 注:根底解系不唯一。任意n-r(A)个线性无关的解均可作为根底解系。7、重要结论:(证明也很重要) 设A施ms阶矩阵,AB=O (1)B的列向量均为方程Ax=0的解 (2)r(A)+r(B)n(第2章,秩) 8、总结:根底解系的求法 (1)A为抽象的:由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解 (2)A为数字的:A初等行变换阶梯型 自由量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由量得到根底解系 (四)解的结构(通解) 9、齐次线性方程组的通解(所有解) 设r(A)=r,1,2,n-r 为Ax=0的根底解系, 那么Ax=0的通解为k1
14、1+k22+kn-rn-r (其中k1,k2,kn-r为任意常数) 10、非齐次线性方程组的通解 设r(A)=r,1,2,n-r 为Ax=0的根底解系,为Ax=b的特解, 那么Ax=b的通解为+ k11+k22+kn-rn-r (其中k1,k2,kn-r为任意常数) (五)公共解与同解 11、公共解定义:如果既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,那么称为其公共解 12、非零公共解的充要条件:方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解 有非零解 13、重要结论(需要掌握证明) (1)设A是mn阶矩阵,那么齐次方程ATAx=0与Ax=0同解,r(ATA)=r(A) (2)设A是mn阶矩阵,r(
15、A)=n,B是ns阶矩阵,那么齐次方程ABx=0与Bx=0同解,r(AB)=r(B) 5 特征值与特征向量 (一)矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义:设A为n阶矩阵,如果存在数及非零列向量,使得A=,称是矩阵A属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义:|E-A|称为矩阵A的特征多项式(的n次多项式)。|E-A |=0称为矩阵A的特征方程(的n次方程)。注:特征方程可以写为|A-E|=0 3、重要结论:(1)假设为齐次方程Ax=0的非零解,那么A=0,即为矩阵A特征值=0的特征向量 (2)A的各行元素和为k,那么(1,1,1)T为特征值为k的特征向量。(3)上(下)三
16、角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。4、总结:特征值与特征向量的求法 (1)A为抽象的:由定义或性质凑 (2)A为数字的:由特征方程法求解 5、特征方程法:(1)解特征方程|E-A|=0,得矩阵A的n个特征值1,2,n 注:n次方程必须有n个根(可有多重根,写作1=2=s=实数,不能省略) (2)解齐次方程(iE-A)=0,得属于特征值i的线性无关的特征向量,即其根底解系(共n-r(iE-A)个解) 6、性质:(1)不同特征值的特征向量线性无关 (2)k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1n-r(iE-A)ki (3)设A的特征值为1,2,n,那么|A|=i,i=aii (4)当r(A
17、)=1,即A=T,其中,均为n维非零列向量,那么A的特征值为1=aii=T=T,2=n=0 (5)设是矩阵A属于特征值的特征向量,那么 A f(A) AT A-1 A* P-1AP(相似) f() -1 |A|-1 / P-1 (二)相似矩阵 7、相似矩阵的定义:设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作AB 8、相似矩阵的性质 (1)假设A与B相似,那么f(A)与f(B)相似 (2)假设A与B相似,B与C相似,那么A与C相似 (3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和) 【 】 (4)假设A与B相似,那么AB与B
18、A相似,AT与BT相似,A-1与B-1相似,A*与B*也相似 (三)矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义:如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP= , 称A可相似对角化。注:Ai=ii(i0,由于P可逆),故P的每一列均为矩阵A的特征值i的特征向量 10、相似对角化的充要条件 (1)A有n个线性无关的特征向量 (2)A的k重特征值有k个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件:(1)A有n个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关) (2)A为实对称矩阵 12、重要结论:(1)假设A可相似对角化,那么r(A)为非零特征值的个数,n-r(A)为零特征值的个数 (2)假设A
19、不可相似对角化,r(A)不一定为非零特征值的个数 (四)实对称矩阵 13、性质 (1)特征值全为实数 (2)不同特征值的特征向量正交 (3)A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-1AP= (4)A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ= 6 二次型 (一)二次型及其标准形 1、二次型:(1)一般形式 (2)矩阵形式(常用) 2、标准形:如果二次型只含平方项,即f(x1,x2,xn)=d1x12+d2x22+dnxn2 这样的二次型称为标准形(对角线) 3、二次型化为标准形的方法:(1)配方法:通过可逆线性变换x=Cy(C可逆),将二次型化为标准形。其中,可逆线性变换及标
20、准形通过先配方再换元得到。(2)正交变换法:通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形1y12+2y22+nyn2 其中,1,2,n 是A的n个特征值,Q为A的正交矩阵 注:正交矩阵Q不唯一,i与i 对应即可。(二)惯性定理及标准形 4、定义:正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;标准形:f=z12+zp2-zp+12-zp+q2称为二次型的标准形。5、惯性定理:二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。(1)由于正负惯性指数不变,所以标准形唯一。(2)p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q
21、=非零特征值的个数=r(A) (三)合同矩阵 6、定义:A、B均为n阶实对称矩阵,假设存在可逆矩阵C,使得B=CTAC,称A与B合同 7、总结:n阶实对称矩阵A、B的关系 (1)A、B相似(B=P-1AP)相同的特征值 (2)A、B合同(B=CTAC)相同的正负惯性指数相同的正负特征值的个数 (3)A、B等价(B=PAQ)r(A)=r(B) 注:实对称矩阵相似必合同,合同必等价 (四)正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型xTAx,如果任意x0,恒有xTAx0,那么称二次型正定,并称实对称矩阵A是正定矩阵。9、n元二次型xTAx正定充要条件:(1)A的正惯性指数为n (2)A与E合同,即存在可逆矩阵C,使得A=CTC或CTAC=E (3)A的特征值均大于0 (4)A的顺序主子式均大于0(k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式) 10、n元二次型xTAx正定必要条件:(1)aii0 (2)|A|0 11、总结:二次型xTAx正定判定(大题) (1)A为数字:顺序主子式均大于0 (2)A为抽象:证A为实对称矩阵:AT=A;再由定义或特征值判定 12、重要结论:(1)假设A是正定矩阵,那么kA(k0),Ak,AT,A-1,A*正定 (2)假设A、B均为正定矩阵,那么A+B正定 很新颖的一篇美文!模板,内容仅供参考
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