7第5章哈密顿原理Word文件下载.docx
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蔦
对于定常系统，这意味着机械能守恒；
对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。
例5-1试写出图5-1中球面摆的正则方程及其首次积分。
己知球面摆摆长为/,摆锤质量为加。
解：
取图5-1所示的角8、©
为广义坐标，A为重力势能的零位置，则系统的拉格朗口函数为
L=T-V=iml2+（p2sin26）+mglcos6
广义动量分别为
=卩&
r+竺—；
mglcos0
2ml22〃*sin・&
'
正则方程（5-9）成为
0旦=比
°
几ml'
0=州=几
dp0mrsui"
0dHI九cos。
.
几一。
厂Ms況厂曲讪OHn
/^=-—=0
d（p
故循坏积分为
P<
p=（常量）
能量积分为
H=C（常量）
即
•y2
"
+[°
“—-mglcos6=C
2ml22ml2sm20'
注意：
由于系统是定常的，上式也可直接由式（5-11）写出。
5.2哈密顿原理
由动力学普遍方程积分，导出一个哈密顿原理，因此哈密顿原理是在任一有限的时间间隔中区分真实运动与可能运动的准则，是积分原理。
高斯原理又称最小拘束原理，是在任一瞬时通过真实运动与可能运动的加速度不同进行比较而得到的判别准则，是微分原理。
为了方便，将真实运动在位形空间中的轨线称为正路，对约束允许的可能发生的运动在位形空间的轨线称为旁路。
作以下规定：
在瞬时/。
，正路与旁路都通过A点，在瞬时九又都通过B点。
现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。
对于质点系5个质点）的真实运动，满足动力学普遍方程
上式是在任意作用力下的哈密顿原理。
若主动力有势，势能函数为匕则
j/jo（T-V）cir=j/15Ldr=O
式中厶为拉格朗口函数，上式可写成
矿Ldt=Q
这是在保守力作用卞的哈密顿原理。
我们称
Ldt
为哈密顿作用量。
它是依赖于可能运动c]j=qj⑴的泛函，即
S=「从弘册—…坷小弘幺,…4丿）击（5-15）
J/o
于是式（5-14）可以表达为
85=0（5-16）
这就是势力场完整系统的哈密顿原理：
对于完整系统，若主动力有势，在相同的时间、相同的起迄位置的条件下，在所有为约束允许的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量具有极值,或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作用量的变分为零。
5.3哈密顿原理的应用
哈密顿原理可以表述为：
沿着正路的哈密顿作用量与沿着旁路的哈密顿作用量相比较,前者具有极值，如式（5-14〉所表达。
应该注意的是式（5-14）只是在完整系统且主动力有势的条件下成立。
对于在任意力作用下的完整系统，哈密顿原理有式（5-13）的形式，但不具有极值条件。
哈密顿原理只涉及到系统的两个动力学函数，即动能和势能。
对于这两个表达系统状态的整体性函数，没有规定必须用多少坐标（有限个参数或无限个参数）来表达。
因此，哈密顿原理不但适用于有限多自由度系统，也适用于连续系统。
哈密顿原理比拉格朗口方程更有普遍意义的原因就在于此。
将哈密顿原理应用到连续体时，只要写出连续体的动能和势能就可以求解。
更广泛地说，哈密顿原理提供了动力学问题的直接解法，可以回避运动微分方程的建立而直接求得系统动力学问题的数值解，就是说，将变分学中的里兹直接法应用于动力学中。
具体的方法如下：
对于of\dr=0,边界条件（端点条件）为Jzo
幻Oo），幻（G，）=1,2,…,"
首先构造函数
HI
qj=，“必如（D，J=h2,•・・/
数刚不同值得到不同的可能运动。
将式（5-18）表达的q：
代入哈密顿作用量S中，则S是
线性代数方程组，可以应用各种方法求解。
最后，将求得的⑹代入式（5・18）中就得到系统的近似解。
应用哈密顿原理可以建立动力系统的运动微分方程；
也可直接求解动力学问题。
例5-2试用哈密顿原理推导拉格朗口方程。
考虑一个所受主动力均有势的完整系统，设其有k个自由度，广义坐标为如，…,破，拉格朗口函数为L=L（qj&
jM，由哈密顿原理
Ld/=O
k別h
又因冈儿广冈儿广0（始末位置相同），故上式中工二刚
1/=!
%f
这就是势力场中第二类拉格朗口方程。
例5-3试用哈密顿原理建立图5-2所示末端有集中质量的悬链振动微分方程。
设悬挂点0不动，而链的末端N附有质量加。
坐标x=a处的M点在运动中达到点，假设悬链是匀质不可伸长和柔软的，M点的位移记作”（心）」（3）,而集中质量N的位移记作“（/,/）,「（/,/）,这里/是链子的长度，设点的笛卡尔坐标为（％、y）,则有
x=a+u（a,/）,y=v（a,t）
（1）
如图18-5中的曲线丛
固定时间A式⑴表示以a为变量（0<
«
<
/）的曲线参数方程,根据不可伸长的约束条件，得到
系统动能精确到二阶小量为
T=扌2+v2）da+ym[u'
（/,/）+沪（/,/）]
ipj沪da+*mv'
2（/,t）
式中，p是悬链线密度。
若以O为零势能位置重力势能为
（4）
v=-莎压一“叭
式中，北是链子的质心坐标；
心是集中质量的坐标。
根据质心公式,lxc=J（a+u）da=牛+J*uda
=-i|（I-a）v2da
xN=1+u（l,/）=/+J"
（a,/）da=/-£
J*v'
2（\aJuda=ua|q-Jau'
da=-^ljv，2da+JWa若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
v=P[^-~xc
+mgQ_xN）
=扌恁J：
（/_a）严da+『'
da
加/1
2=厶=“/
其中，“是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗口函数由式（3）和（5）得
L=[v2-g（f+4-a）v'
2]d«
+/jv2（l,t）>
哈密顿作用量为
S=fLdt=-p[d^{[v2+-a）vf2]da+Lv2（l,t）}
J%2力。
边界条件是
Q（a,&
）=0,丹（a,-）=0、尿（0,/）=0
由哈密顿原理，并经分部积分运算，得到
+gt（/+厶一。
）『妙&
一t）+v（/,。
妙（/，t）\=oda
由式（7）得悬链的运动微分方程
d2vdTz/.xdii
daca
和在末端的边界条件（自然条件）
Hg『（/』）+p（U）]=o
哈密顿原理只涉及到系统的状态函数，如系统的总动能和总势能，不涉及用多少个广义坐标来表达，因此，哈密顿原理不仅能用于离散系统（有限自由度系统），而且能用于连续系统（无限自由度系统），这是哈密顿原理的优点之一。
哈密顿原理作为一个变分原理，能用变分学的方法提供动力学问题的直接近似解法，如里兹法、伽辽金法等。
哈密顿原理比拉格朗口方程更具有概括性，只有一个泛函极值就可表示完整保守系统的运动规律；
例5-4试应用哈密顿原理求解悬挂在弹簧上的单摆的运动微分方程。
解：
系统的拉格朗口函数为
L=tm（r2+r2O2）+mgrcos0-^k（r-ro）2
式中的m为弹簧的初始长度。
哈密顿作用量S为
S=fLdt=「丄w（r2+r202）+mgrcos0一丄k（r-rQ）2dt
J/。
力。
L22.
根据哈密顿原理，有6S=0
f1[m（rcr+rarO2+厂'
殆&
）+mgdrcos0
-mgrsin66-Z:
（r-）or]dr=0
由于
mrdrdt=一mrd（dr）=d（wr8r）一mrdrdt
〃〃二更次k=d（〃沪更8）-+2mifO）dt
代入前式中，得到
[1{[〃汗一mr02一mgcos6+k（r一/-0）]6r+[mr20+2mri0
+〃ysin&
]68}d/-「d（〃〃®
）+d（加'
玄8）]=0
力0
在瞬时bd有丹=60=0,于是上式中第二个积分等于零，由于b和58是彼此独立的,则有弹簧单摆的运动微分方程：
mr一mr6一mgcos0+k（r-rQ）=0
齐•••
mrO+2mrr0+mgrsin8=0
例5-5质量为加、半径为r的粗糙圆柱体在一空心圆柱体内的表面上作纯滚动。
这空心圆柱体的质量为M：
半径为/?
可绕中心水平轴O转动。
两圆柱体均系均质。
试用哈密顿原理写出系统的运动微分方程。
系统有两个自由度。
取空心圆柱体的转角&
和两柱心连线的转角©
为广义坐标。
设小圆柱体的角速度为s系统的动能为
T=-MR202+丄m（R-r）2（p2+丄mr2\-[R0-（R-r）（p]，
224r
系统的势能为拉格朗口函数为
L=^MR~6~+^m{R-r）2（p1+*〃t[RQ-（/?
一r）0]'
+mg（R-r）cos<
p根据哈密顿原理，
6S=5fLdf=0
力。
-（/?
-r）d（p]-mg（R-r）sin^6^}dr=0
整理后,
-—niR^R-r）（66（p+（pc）6）-mg（R-r）sin（pQ（p=0
又,
^>
0=0—60=—（6^0）-000dtdt
6^（p=-^-（66（p）-6d<
p
•
（pb（p=—（仞卩）一（po（pdt
西8=9@6&
）-丙8dt
imR（R-r）0-m{R-r）2^-mg（R-r）sin6（p>
（M+-m
R-0OO
12丿
1・p11
一—mR（R-r）66d一—mR（R一r）（p60=0
2J2f°
在瞬时4h，有6r=6^=o,于是上式中的后四项为零，由于fo,是任意的，所以被积函
数应为零，且60和§
0是彼此独立的，于是我们得到
11A..
M+—m\R0=0
••3
-R6-—（R-r）^-gsin（p=0
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
这是一个无限多自由度系统。
将哈密顿原理应用于这个连续体系统，主要的是写出此连续体的动能和势能，建立哈密顿作用量后求其极值即可得到系统的动力学方程。
设弦长
图5-5
为/，张力为凡单位长度的质量为弦在振动时有二个方向的位移，这里只考虑横向位移，略去纵向位移。
对于任一瞬时，分析弦的dA•段，其质量为如尸闵丫,
Ah
横向位移"
是X和f的函数U=U（X,t）y速度为动能dt
为
弦的动能为
就弹性弦来讲，势能为内力的功；
dx段的弧长M为
-=HiF
伸长量dlf—dx为
d/r-dv=J1+—dv-dr
V6丿
由于伸长量较小，展开根式并略去高阶微量，
得到d/'
-=
2（去丿
题给出弦是绷紧的，振动为微幅，则张力变化极小，可视张力F为常量，这样，山•段的功
弦的势能为
于是得到哈密顿作用量S
首先作第一项对f的积分，利用分部积分公式
=-（'
F^rblldx
Jo6/
代回原式有
\1{pS2L-fS2L6沁击=0
扎Jo（drdx2）
由于弘任意取值，有
o2u匸d2u八
p—一F—=0dt2dx2
上式是所寻求的弦的微振动微分方程。
例2-5已知单自由度谐振子的拉格朗口函数为
;
11.
L=-X"
__x_
22
求满足以下端点条件
x（0）=0,x（l）=1
的近似解。
以此为我们所熟悉而简单的谐振子问题为例，回避运动微分方程的建立，应用哈密顿原理直接求得系统运动的数值解，即变分问题的直接解法中的里兹法。
构造一个函数作为系统运动的近似解：
x（/）=r+m（l_f‘）
a为待定常数。
函数儿/）满足端点条件x（0）=0,x（l）=lo将近似解x（/）代入哈密顿函数中，为
此作导数,x（0=i+fi（i-3r）,有
8j=（l-3r）0«
由此哈密顿作用量S的变分为
于是
Z+匹屉
15105丿
6S=J；
[1+a（l-3z2）]（1-3z2）dadt-J：
[t+at（l-r2）]r（l-t2）dadt=f-
由哈密顿原理，65=0,因此有
7
ci=—
38
276门
+——67=0
15105
于是得到近似解为
x=t+—t（l-t2）
我们知道，单自由度谐振子问题的精确解为
sin/
x=
sinl
近似解与精确解有较好的接近度，将/在OWfWl之间取值就可以得到这个结论。
卜•面给出近似解与精确解的比较数据及误差：
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
十命心"
）
0.29313
0.56900
0.81038
•sin/x=
0.29401
0.56975
0.81006
V17xlOO%
X
-0.299
-0.132
+0.0395
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
5-2如题5-2图所示，光滑细直杆绕铅直轴以匀角速度。
转动，其与铅直轴的夹角8=常量，试用正则方程求套在杆上的小环M相对于杆的运动微分方程。
5-3如题5-3图所示，弹簧摆由刚度系数为斤、自然长度为m的弹簧及质量在加的小球构成。
试用哈密顿原理建立小球的运动微分方程。
弹簧的质量不计。
5-4如题54图（a）与（b）所示，已知4为匀质圆盘，质量为阳，小车B质量为川b，弹簧刚度系数为h圆盘在车上只能作纯滚动，而轨道摩擦力可以不计。
1求两个系统的振动周期。
2设开始运动时，系统处于静止而弹簧有一伸长量入求此时两系统中小车B的加速度。
5S
3
求当弹簧回到原长时两系统中小车的速度。
5-5如题5-5图所示，一半径为R的空心薄壁圆柱可以绕通过其中心的水平轴转动。
试研究一半径为厂的圆球在圆柱内的运动。
设空心圆柱的质量为加0,对其转动轴的转动惯量为川。
用；
圆球的质量为加，对于其直径的转动惯量为-mr2；
圆球在圆柱内作纯滚动。
5
1以圆柱的转角8以及圆球中心O'
和圆柱中心0的连线与铅垂线的交角卩为广义坐标,写出系统的拉格朗口函数和运动微分方程，并求出其初积分。
2计算圆球在其平衡位置附近所作微幅振动的周期。
3开始时，00在水平位置而系统处于静止，求运动开始时圆球中心0'
的加速度。
4
系统从上述起始条件开始运动，求当00,经过铅垂位置时，空心圆柱转动的角速度。
5-6—质量为川。
的人圆环放在一粗糙的水平面上，在人圆环内有一质量为加的小圆坏，如题5-6图所示。
设大、小圆环间的摩擦力可以不计。
开始时，两个圆环中心的连线位于水平位置而系统处于静止。
求当小坏经过最低位置时，人环中心的速度。
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