罗增儒教授高考临场20招Word格式.docx

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②把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”，特别是一些你认为难记易忘的结论．

③同学之间互问互答一些不太复杂的问题．

经验表明，“过电影”的成功顺利，互问互答的愉快轻松，不仅能转移临考前的焦虑，而且有利于把最佳竞技状态带进考场，至于背诵基本数据（开方数、平方数、立方数、对数、勾股数、特殊角的三角函数等）、再现重要定理、公式等则常有实惠．

第2招：

迅速摸清“题情”．

刚拿到试卷，一般心情比较紧张，思考亦未进入高潮，此时不要匆忙作答，可先从头到尾、正面反面通览一遍试卷，弄清全卷共有几页、几题？

看看页码是否齐全？

卷页是否配套？

印刷是否完整、清晰？

尤其要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语．

（1）通览全卷的作用．

①一份试卷，相当于一份学科复习提纲，有了试卷的全貌认识，可使我们有机会从整体结构上获得积极的暗示，便于从学科的知识体系上产生联想，激活回忆，提高分析问题的能力和解决问题的效率．

②为实施正确的答题策略提供尽可能多的客观基础，如“三个循环”（见第3招）、“四先四后”（见第4招）、“一慢一快”（见第5招）等．

③便于统筹安排时间，防止在个别小题上纠缠过久，也能有效克服“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”的毛病．

④可以提前防止缺页、残页、空白页，也能从根本上避免漏做题．

（2）通览全卷的基本工作．

通览全卷既是摸清“题情”，又是解题的第一个循环，一般可在不到10分钟的时间内完成4件事：

①填卷首、看说明、两写三涂．

即首先填好卷首各栏，如写姓名、写准考证号等项．对答题卡则涂类型、涂准考证号、涂科目代号，同时，要要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语．

②顺手解答．

即顺手解答那些一眼看得出结论的简单选择题、填空题，显然，看完全卷比只看开头二三道题更容易找到熟悉的内容，更容易找到会做的题目；

而只要能很快解答出一二道题（每套试卷都会有难度系数0．8以上的热身题），情绪就会迅速稳定下来，并且“旗开得胜”的愉悦感还有一种增力作用，能鼓励自己去作更充分的发挥．

③粗略分类．

对于不能立即作答的题目，可一面浏览一面按照难度估计，粗略分为A、B两类，A类是指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题；

B类是指题型比较陌生，自我感觉比较难的题目，以便于“先易后难”地答题．

④做到三个心中有数．

首先是对题量心中有数，弄清全卷一共几页、大小几道题，防止漏做题，发现漏印题．

其次是对题分心中有数，弄清每道题各占多少分，为后面实施“先高后低”作调查，并粗略分配一下各题的解答时间．既注重每道题少丢分，更注重全卷多得分．

最后是对题目的内容分量心中有数，即大致区分一下哪些属于函数题、哪些属于不等式题、哪些属于数列题、哪些属于三角函数题、哪些属于立体几何题、哪些属于解析几何题、哪些属于概率统计题、哪些属于微积分题，为实施“先同后异”做好准备．

第二部分、答题要领．

通览全卷之后，思考逐渐进入高潮，建议掌握好三个答题要领．

第3招：

三轮答题．

就是说，完整解答一套试题可经过3个循环（三轮答题法）．一头一尾是两个小循环，各用10分钟左右，中间是一个大循环，用将近100分钟．

（1）第一循环：

通览全卷．

即在通览全卷的同时，先做简单题的第一遍解答，这是一个小循环．按高考题的难度比例3：

5：

2计算，可以先从那30%的容易题入手，获二三十分；

同时，把情绪稳定下来，将思考推向高潮．

（2）第二循环：

全面解答．

即用将近100分钟的时间，基本完成全卷，会做的都做了．在这个大循环中，要有全局意识，能作整体把握，并执行“四先四后”（参见第4招）、“一慢一快”（参见第5招））的方针．

（3）第三循环：

复查收尾．

即用大约10分钟的时间来检查解答过程并实施“分段得分”（参见第16～20招）．对于绝大多数考生来说，都不可能在第二循环中答全答对所有的试题，因此要对那些答不全或答不对的题目进行技术性处理．这一步的作用有点像足球守门，把住最后一关．即使都做完了的题目，也要复查，防止“会而不对、对而不全”．这一步是超水平发挥，争取多得分的不可缺少的步骤．

第4招：

四先四后．

考虑到满分卷是极少数，绝大多数考生，都只能答对部分题目或题目的部分，因此，执行“四先四后”的技术措施是明智的．

（1）先易后难．

就是说，先做简单题，再作复杂题，先做A类题，再攻B类题，容易和困难是因人而异的．“难者不会，会者不难”，虽然试卷本身的编排已经原则上考虑到从易到难，但这仅仅是命题组的主观认识，而且数学试卷常常被设计为“两个从易到难的三个小高潮”，（三类题型——选择题、填空题、解答题——从易到难；

每类题型本身又从易到难），就是说，选择题的难题完全可能比填空题的易题困难，而解答题的易题又完全可能比选择、填空的难题容易，所以，进入第二遍答题时，就无须拘泥于从前到后的自然顺序，可根据自己的实际，跳过啃不动的题目，从易到难（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考），特别是不能在低分值的题目上耽误过长时间，防止“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”．

（2）先熟后生．

通览全卷，既可能看到较多的有利条件，也可能看到较多的不利因素，特别是对后者，不要惊慌失措，万一当年试题偏难．首先要会自我暗示：

“我难别人也不易，水退船低没关系”，“要镇定，别哆嗦，办法总比困难多”，其次，可实行“先熟后生”的策略，就是说，先做哪些内容掌握比较到家，题型结构比较熟悉的题目，后攻那些题型、内容、甚至语言都比较陌生的题目．先做在某些方面有熟悉感的题目，容易产生精神亢奋，会使人情不自禁地进入境界，展开联想，促进转化，拾级登高．

（3）先高后低．

这是说要优先处理高分题（解答题），特别是在考试的后半段时间，更要注意解题的时间效益，比如：

①两道都会做的题目，应先做高分题，后做低分题，以减少时间不足的失分；

②到了最后一二十分钟，也应对那些拿不下来的题目先就高分题实施“分段得分”（参见第五部分），以增加在时间不足的前提下的得分．事实证明，“大题拿小分”是一个好主意．

当然，“先高后低”要与“先易后难”结合起来，不能不分难易，专挑高分题做，否则会造成“高分难题做不出来，低分易题没时间做”．

（4）先同后异．

就是说，可考虑同学科、同类型的题目集中处理（如同为函数题、同为方程题、同为不等式题、同为数列题、同为三角函数题、同为立体几何题、同为解析几何题、同为概率统计题、同为微积分题等），这些题目常常用到同样的数学思想、类似的思考方法，甚至同一数学公式，把他们结合起来一齐处理，思考比较集中，方法或知识的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益，一般说来，数学高考解题必须进行“兴奋灶”的转移，思维活动必须进行代数学科与几何学科的相互换位，兴奋中心必须从这一章节跳跃到另一章节，但“先同后异”可以避免兴奋中心转移得过急、过陡和过频．

这“四先四后”要结合自己的实际，相互配合，产生整体效果．

第5招：

一慢一快．

就是说，审题要慢、书写要快．

（1）审题要慢．

题目本身是“怎样解这道题”的钥匙．只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们．所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意．特别要抓好审题的“三个要点、四个步骤”．（详见文[3]问题19、问题20）

①三个要点．

要点1：

弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．

要点2：

弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．

要点3：

弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．

②四个步骤．

步骤1：

读题——弄清字面含义．

步骤2：

理解——弄清数学含义．

步骤3：

表征——识别题目类型．

步骤4：

深化——接近深层结构．

经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”．

例1过正方体的顶点作直线，使与棱，，所成的角都相等，这样的直线可以作

（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条

（2010年高考数学江西理科第4题、5分）

讲解

（1）条件是什么？

①正方体．可以作出一个正方体图形（图1），正方体中的所有性质视为已知．

②过点的直线与棱，，所成的角都相等．这里，涉及空间中线线夹角的知识，构成解题的关键与难点．正方体的“棱”本义均为线段，但当说夹角时是指棱所在的直线，因而，

●棱，，是可以延长的；

●直线与棱，，的夹角是指不大于的角．

学生普遍只认识到这两点，这就把选择题当解答题了，其实，

四个选择支还提供第3条件，并且，可以作为沟通条件与结论的桥梁．图1

③直线存在且不超过4条．

（2）结论是什么：

求直线的条数．

（3）沟通条件与结论联系．

思路1从条件③出发．

第一件工作：

题目说，至少有1条，你能找出1条来吗？

（正方体内找）

如图1，正方体内，过点与棱，，所成的角都为的体对角线为所求，这样的直线有1条．

第二件工作：

你还能再找出第2条来吗？

要突破仅在正方体内找的思维定势，关键是思考棱的延长线：

以点为顶点，三条棱落在直线，，上的正方体不只1个（参见图2），每一个都有过点的体对角线与三条棱，，所成的角都相等，这就又将问题还原为在大正方体内找体对角线．

解法1以点为顶点，三条棱落在直线，，上的正方体有8个（参见图2），每一个都有过点的体对角线与三条棱，，所成的角都相等，去掉重合的得4条直线，即图2中大正方体的4条体对角线．选（D）．

领悟本思路先从小正方体中找1条体对角线，然后再从大正方体中找4条体对角线，在这个过程中可以考查线线夹角的知识和空间想象能力，有分类（正方体内1条、正方体外3条）及转换化归的思想方法．

思路2因为与两相交直线夹角相等的直线在两个垂直平分面上，我们可以通过轨迹相交法找出直线．

解法2如图2，与棱，所成的角都相等的直线在两个垂直平分面，上；

与棱，所成的角都相等的直线在两个垂直平分面上；

两类垂直平分面间的交线与棱，，所成的角都相等，有4条：

选（D）．图2

例2已知为互不相等的实数，且，求．

（1951年高考数学第4题）

讲解通常认为题目有两个已知条件：

（1）显性条件1：

，

（2）显性条件2：

．

记，试想由及能推出吗？

所以，题目还有

（3）隐含条件：

本例正是由这三个条件推出一个等式．这时的思路探求可以这样想：

（1）题目是从等式到等式，途经应是恒等变形；

（2）题目是从两个等式，到一个等式，途经应是两个等式的合并；

（如何合并？

）

（3）题目是从到，途经应是消元，消去；

（4）题目是从分式到整式，途经可以去分母，也可以抵消分母．

由此可以得“设比值”之外的更多解法．如

另解1

（消除分式与整式，6个字

母与3个字母间的差异）

（用显性条件2）

（用隐性条件）

另解2由已知有

相加得

另解3对已知式的前两项用等比定理，有

即，

得，

得．

另解4已知表明，两条直线重合：

，　　　　　　①

，②

由于直线②通过点，所以直线①也通过点，得

．（如图7）

因此，不管问题的原始来源如何，对高考解题来说，化归为课堂上已经解过的题是明智和可行的．图7

例9真分数不等式．

真分数不等式有生动的现实情景，有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造法等10多种证明方法，可以作为一个不等式证明的基本模型．

题目请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．

（1）糖水加糖变甜了．（糖水未饱和）

（2）某中学计划招收高一新生人，使学生总数达到人，这样高一新生所占比例为，现准备高一扩招人，则高一新生所占的比例变大了．

（3）盒中有白球和黑球共个，其中白球个，从中任取一个，取得白球的概率为，若再加入白球个，从中任取一个，则取得白球的概率增大了．

（４）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积和地板面积之比应不小于10%，且这个比值越大，采光越好．现将窗户面积和地板面积等积增加，则采光条件变好．

（５）某城市有一矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为5：

12），现在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道．能否设计恰当的步行道的宽度，使矩形草坪仍为黄金矩形？

讲解以“糖水加糖变甜了”为例．这是一个尽人皆知的生活事实，这里有数学道理吗？

该用什么样的数学关系式来表示呢？

首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式．变甜、变咸所表达的是大小关系，记为

这里用到了字母表示数的知识．

其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表达出来呢？

这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设克糖水里有克糖（），则

而？

这还没有把加糖反映出来，有待表示．再设加入克糖（），得

最后，“糖水加糖变甜了”就是．于是得到一个真分数不等式：

若，，则

“糖水加糖”的情境本身有很大的拓展空间．比如

（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．由这一情境可得等比定理：

（2）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式：

对，，有

（3）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？

这已经是一个有挑战性的问题了，需比较

与

的大小．

真分数不等式可以有分析法、综合法、反证法、放缩法、构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利于沟通知识和方法之间的联系．

很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求解高考题时可以化归为课堂和课本已解决过的问题，或化归为往届高考题．这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）．

例9-1如果那么（）．

（1989年高考数学广东题）

例9-2设是由正数组成的等比数列，是其前项和．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）是否存在常数，使得

（1995年高考数学理科第25题）

例9-3已知数列为等比数列，，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设是数列的前项和，证明．

（2004年高考数学文科第18题）

讲解例9-2

（1）与例9-3

（2）可以认为是真分数不等式的变形用，如果我们没有“化归为课本已经解决的问题”的思想准备，可能就想不到用真分数不等式，或在变形式

与①

之间犹豫，而一旦想到用真分数不等式，则①已接近完成，因为为递增的正项数列，有

例9-4对一切大于1的自然数，求证：

（1985年高考数学上海题）

例9-5已知数列是等差数列，，

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）设数列的通项，（其中），记前项和．试比较与的大小，并证明你的结论．

（1998年高考数学题理科第25题）

例9-6已知是正整数，且，

（Ⅱ）证明（1＋m）n＞（1＋n）m．

（2001年高考数学理科第20题）

讲解（Ⅰ）要证，只需

而由真分数不等式，有

，（由，有）

相乘，

即．

例9-7等比数列{}的前项和为，已知对任意的，点均在函数（且均为常数）的图象上．

（1）求的值；

（11）当时，记，证明：

对任意的，不等式成立．

（2009年高考数学山东卷理科第20题）

解

（1）因为对任意的，点均在函数（且均为常数）的图象上．所以得，当时，

当时，

又因为{}为等比数列，所以公比为（且），从而，即，得．

（11）当时，

则，

所以

由真分数不等式有

从而

即成立．

这与例9-4证明没有本质的区别．

这几道题目课本都没有出现过，但例9-1可以认为是真分数不等式的直接用（加上余弦函数的单调性）；

例9-2（Ⅰ）与例9-3（Ⅱ）可以认为是真分数不等式的变形用，对例9-4～例9-7可以认为是真分数不等式的整合用（多次连续或多个组合）．

第11招：

差异分析．（参见文[6]）

（1）差异分析的基本含义．

①目标差：

我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差，解题的实质就在于设计一个使目标差不断减少的过程．

②差异分析法：

通过寻找目标差，不断减少目标差而完成解题的思考方法，叫做差异分析法．

（2）差异分析法的使用步骤．

①寻找目标差：

通过分析题目的条件与结论中所出现的元素，元素间所进行的运算，以及元素间所存在的数量特征（如系数、指数、函数名称、自变量等）、关系特征（如运算方式、大于或等于、平行或垂直等）、位置特征等去寻找异同点．

②作出消除反应：

对于所找出的目标差，要运用基础理论与基本方法立即作出某种减少目标差的反应．

③积累消除效果：

减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得对目标差的减少能积累起来，渐次逼近，直至消除，最终完成解题．

（3）差异分析法的基本功能．

①差异分析法是“综合——分析法”的一种特殊形式，可同时具有综合法与分析法的双重优势．

②运用差异分析法解题可以同时回答“从何处下手”与“向何方前进”这两个基本问题：

我们说，就从分析目标差入手，就向着减少目标差的方向前进．

经常看到一些同学，拿着题目一筹莫展，找不到解题的突破口，连下手的地方都没有，这在很大程度上是不会找目标差，或见到目标差却不能作出反应．还有的同学常在成功的思路上受阻，其原因是不善于把目标差的逼近积累起来．

对于一类恒等式或不等式证明题，这一策略常能凑效．特别地，三角题可以通过角、函数名称、运算方式等的差异分析来求解．

例10已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：

对任意的，，；

（Ⅲ）证明：

（2008年高考数学陕西卷理科第22题）（参见文[7]）

讲解由第（Ⅰ）问易得，因此第（Ⅱ）问可以认为是一道数列不等式的恒成立问题：

已知数列，证明：

对任意的，

，．①

对比①式左右两边可以看到，有3个明显的差异：

（1）右边有正数，左边没有．（恒成立问题）

（2）左边有，右边没有明显表出．

（3）右边有或，左边没有明显表出．但由知

这就提供了沟通①式左右联系的线索：

思路1：

把右边的统一为的不等式；

思路2：

把左边的统一为的不等式；

思路3：

把左右两边统一为的不等式；

事实证明这些思路全都是可行的，比如

证明把统一为，有，得

右边=

（关于的二次三项式）

．（二次三项式求极值）

这个证明表现为一系列恒等变形，若将首尾两行独立出来就得到一个恒等式

这个等式的外形影响我们对本质的直接揭示，将其改写为不等式左边减右边的形式，有

．③

这就清楚了，不等式①通过②可以等价于实数的平方为非负数，并且的条件不是必要的（就够了），书写也立即可以改写为基本不等式证法．

例11-1设，求

+．

（1985年高考数学理科第二（4）题）

解法1由二项式定理有

与已知条件作比较，得

则．

可见，最终归结为的计算，这也可以由“差异分析”得出．

解法2让我们将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析

可见，已知式中的项有字母，结论中的每一项都没有字母．“没有字母”是什么意思？

可以理解为每一项的字母都等于1，消除差异的办法应同时取

所以取代人已知式，得

评析可见，在差异分析观点之下，取值就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施．并且，这一经验积累，又与“特殊化”和“整体处理”的策略思想相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似而又有变通的高考题（化归为往年的高考题）：

例11-2已知，那么．

（1989年高考数学第16题）

解设，则

．填．

说明我们在阅卷中发现，相当一部分考生令得答案为，其实得到的是

而所求的值，应再减去，从而

究其原因，是考生一见题型很熟悉（如例11-1及课本相关习题中见过），没有认真看清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”．

例11-3若，则

的值为（）

（A）1（B）（C）0（D）2

（1999年高考数学理科第8题）

．选（A）．

说明若把所求式展开为