固体物理 课后习题解答黄昆版第三章文档格式.docx
《固体物理 课后习题解答黄昆版第三章文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理 课后习题解答黄昆版第三章文档格式.docx（55页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
LT
⎡
⎛d
2⎤
ρ
wa
∫∫dx0⎢
⎥
=ρ
dt
Lasin（
wLa
00⎢2
⎠⎥
2T
4
其中L是原子链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。
1221
所以T
=ρwLajj=KT
（3）
KT
因此将此式代入
（2）式有nj2=ρωL
所以每个原子的平均位移为2
==∑μ2=∑
∑1
ρωL2ρ
L
ω2
3.2讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N格波
解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应.
解答（初稿）作者季正华-1-
如上图所示，质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……
质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4……
牛顿运动方程：
..
mμ2n=−βμ（22n−μ2n+1−μ2n−1）
Mμ2n+1=−βμ（22n+1−μ2n+2−μ2n）
体系为N个原胞，则有2N个独立的方程
i
naq
方程解的形式：
μ2n=Ae[ωt−
（2）]μ2n+1=Be[ω−（2n+1）aq]
naqμ=
将
μ2n=Ae[ωt−
（2）]
2n+1
Bei[ωt−（2n+1）aq]
代回到运动方程得到
若A、B有非零的解，系数行列式满足：
两种不同的格波的色散关系：
——第一布里渊区
解答（初稿）作者季正华-2-
第一布里渊区允许q的数目
对应一个q有两支格波：
一支声学波和一支光学波。
总的格波数目为2N。
当M=m时
——两种色散关系如图所示
在长波极限（q→0，λ>
>
0）情况下：
当q→0
——与一维单原子晶格格波的色散关系一致。
3.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c
和10c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为2．求在k=0和
H
k=
π
处的ω（）．大略地画出色散关系．此问题模拟如2这样的双原子分
子晶体。
解a/2c10c
•
us−1
du
vs−1
（
o
）
us
vs
us+1
vs+1
M
s=CVs−1−u
+10CV−u
，
2s
s
dV
）+（
2s=10Cu
s−Vs
Cu
+−
V
u
=ueisKa•e−it,V
=VeisKa•e−it.
代入上式有
解答（初稿）作者季正华-3-
−
+e−ika）V−
MωuC10
11Cu,
ika+
）u−
MωV=Ce
10
11CV,
是U，v的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
Mω2−11,（10+e−iKa）
=0，解出
（iKa+10）,Mω2−11C
M24
ω2+
22MC
20C（1
conKa）0
ω±
∴2=
C⎡
）⎤
11±
121201
conKa
.
M⎣
ω+2=
CM
22/,
⎦
20/CM,
当K=0时，
ω−2=0,
当K=π/a时
+
ω2=2/CM,
ω2与K的关系如下图所示．这是一个双原子（例如H2）晶体。
3.4考虑一个全同原子组成的平面方格子，用μ,记第l行，第m列
的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为M，最近邻原子的力
常数为c。
d2μ
（a）证明运动方程为：
M（
）=c[（μ
+−−
2μ
+（μ
+μ
l1,ml1,m
−2μ）]
+1
=μ（0）exp[（
−1
）]
（b）设解的形式为,
ilkamkaxy−ωt
，这里a是最近邻原
子间距，证明运动方程是可以满足的，如果
ωM=2[2cos（kax）cos（kya）]这就是色散关
解答（初稿）作者季正华-4-
系。
2π
（c）证明独立解存在的k空间区域是一个边长为a的正方形，这就
是平方格子的第一布里渊区，构出kkx，而ky=0时，和kx=ky时的
ω−k图。
ca2
ω=
1/2k2+k21/2=
1/2
（）（xy）
caMk
（/）
（d）对于ka<
<
1，证明
−μ
证明:
（a）左方原子与它的相对位移为,
，右方原子与它的相对位移为
−μ，下方原子与它的相对位移为
−μ,，上方原子与它的相对位移为,
l−1,m
μl+1,m−μ,，并考虑到力的方向性，得到上面平面格子的每个原子的力学方程为：
dt2
）=c（μ
+1,
）−c（μ
+c（μ+
l1,m
−μ−
所以原命题的证。
=c[（μ+
+μ−
−2μ）（μ
（b）根据题意，,
ilkamkaxy−ωt）]
为平面格子原子的运动方程
的解，
因为,
ilkamkaxy−ωt）]
①
所以可以得到
μl+1,m=μ（0）exp{[（+1）kamkaxy−ωt]}
μl−1,m=μ（0）exp{[
（1）kamkaxy−ωt]}
②
③
ilka+（m+1）ka−ωt）]
x
y
④
μ,−1=μ（0）exp[（
ilka+（m−1）ka−ωt）]
⑤
将①②③④⑤式代入平面格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系（这里代入过程从
略，请自己代入计算）：
ωM=2[2cos（kax）cos（kya）]
解答（初稿）作者季正华-5-
（c）由色散关系
ωM=2[2cos（kax）cos（kya）]和周期性边界条件可以得到
∈−ππ]
kx（,
ky∈−（π,]，所以独立解存在的k
aa
空间区域是一个边长为a的正方形。
当
kkx，且ky=0时的ω−k图，和
当kx=ky时的ω−k图，如右图所示。
3.5已知Nacl晶体平均每对离子的相互作用能为
Ur
（）
=−
α
e
β
其中
马德隆常数α＝1.75，n＝9，平均离子间距r0=2.82Å
。
（1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
rr
（2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与Nacl红外吸收频率的测量
值61μ进行比较。
3.6计算一维单原子链的频率分布函数ρω（）
设单原子链长度L＝Na
q
=2π×
h
=2π
Na
波矢取值
每个波矢的宽度
Nadq
Na,状态密度2π
dq间隔内的状态数2π，对应±
q，ω取相同值
ρω
（）dq
dq
因此
=×
解答（初稿）作者季正华-6-
aq
一维单原子链色散关系,
ω2=4sin
（2）
m2
ω0=
4β
ωω=0sin（）
令
m
ωω=
两边微分得到
d
0cos（）dq
22
cos（aq）=1ω2
−ω0代入到
0cos（）d
ω−ω
dω
×
Na2
2πa
ω−ω
ρω（）=N
πω−ω
频率分布函数
3.7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有
ω（）=ω0−Aq2
0）1/2ωω
求证：
f（）=
4π2A3/2
ωω
0;
f（）0,=ωω>
0.
时，
Aq0（）0,
ωω<
⇒ωω
−=
）2
Aq
⇒=qA
r
依据
∇qω
（）=−2Aqf,（）
（）3
ds
∫∇qω
，并带入上边结果有
f
（）=（）
π3
⋅
∇
πωω
40
）（
A
π2
3/2
q（）
2A
3.8有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算
比热，并论述在低温极限比热正比与T2。
证明：
在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积
2πndn，且2πndn=
L2
kdk=
5
kdk即ρω
3sω
2πvρ2
则
解答（初稿）作者季正华-7-
⎛hω⎞⎛hω⎞
E
3s
∫m
+E=
3
skT（B）3
∫D
kT
B
⎟⎜
⎠⎝
xdx
hω/kTB−
hω/kT−
x−
→
v
3∴
∂E
∝
D
h2
0时，E∝T,
Cv=（）s
∂T
3.9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为
FU0+kTB∑ln⎛⎜hωq⎞
∑⎢
1h
q+
hωq⎞⎤
kT⎟⎥
证明:
量子谐振子的自由能为FUkT
l
n⎜
⎢2kT
⎠⎥
k
经典极限意味着（温度较高）BT
x2
hω
g
q⎣
应用e=−+1xx+
hω
...
所以e
kTB=−1
kTB⎝kTB⎠
⎛hω
≅+∑
因此FU
+∑kT
−+
⎜11
q⎟≅U+kT
2q
Bn
其中U0≅+U∑1
q2hωq
3.10设晶体中每个振子的零点振动能为
的零点振动能。
，使用德拜模型求晶体
根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振
动模零点能之和。
E
=∫m
（）（）
d将E
（）=
h和g（）
=3Vω2代入积
分有
3V
9
θ
2π2vs
=π
4=hN
，由于h
得
NkD
23
m8
mBD
16
8
一股晶体德拜温度为~102K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数XX所需热
解答（初稿）作者季正华-8-
能相比拟．
3.11一维复式格子m=×
51.6710−24g,
104/）,求：
（1）光学波ωmax0,ωmin0，声学波ωA
max。
（2）相应声子能量是多少电子伏。
（3）在300k时的平均声子数。
M=4,β=1.510/
（1.51×
（4）与ωmax相对应的电磁波波长在什么波段。
解
（1），ωA
max
2β
21.5104
/
24
=3.001013s−1,
β（
451.6710
Mm
4×
×
+×
ωo
21.5104551.6710
13−1
6.7010
Mm
451.6710×
51.6710
ωA=
ωA
−16×
5.9910
13−1=
−2
6.5810
1.9710
ωo
（2）hmax
−16
13s−1=
4.4110
hmin
nA
13s−1=
3.0010
=0.873,nO
3.9510
=0.221
nO=
ωA
eh
/kTB−1
=0.276
ωO
min
O
/kT
ehωmin
−1
（4）
λ=πc=28.1μm
解答（初稿）作者季正华-9-
升级会员 