初三数学动点问题Word格式文档下载.docx
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请说明理由.
问题拓展:
(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向D点运动,求点P从A到D的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径的长。
(4)如图(3),在“问题思考”中,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BM=1,点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
【答案】
(1)当x=4时,这两个正方形面积之和有最小值,最小值为32;
(2)存在两个面积始终相等的三角形,图形见解析;
(3)PQ的中点O所经过的路径的长为6π;
(4)点O所经过的路径长为3,OM+OB的最小值为
.
【解析】
试题解析:
(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和不是定值.
设AP=x,则PB=8-x,
根据题意得这两个正方形面积之和=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,
所以当x=4时,这两个正方形面积之和有最小值,最小值为32;
(2)存在两个面积始终相等的三角形,它们是△APK与△DFK.
依题意画出图形,如图所示.
设AP=a,则PB=BF=8-a.
∵PE∥BF,
∴
,
即
∴PK=
∴DK=PD-PK=a-
=
∴S△APK=
PK•PA=
•
•a=
,S△DFK=
DK•EF=
•(8-a)=
∴S△APK=S△DFK;
所以PQ的中点O所经过的路径的长为:
×
2π×
4=6π;
如图,分别过点G、O、H作AB的垂线,垂足分别为点R、S、T,则四边形GRTH为梯形.
如图,作点M关于直线XY的对称点M′,连接BM′,与XY交于点O.
由轴对称性质可知,此时OM+OB=BM′最小.
在Rt△BMM′中,由勾股定理得:
BM′=
∴OM+OB的最小值为
考点:
四边形综合题.
原创模拟预测题2.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2,设弦
AP的长为x,△APO的面积为y,则当y=
时,x的取值是【】
A.1B.
C.1或
D.
【答案】C。
【考点】动点问题,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,等边三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质,分类思想的应用。
故选C。
原创模拟预测题3.如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=
,动点P从点B出发,沿B-C-D的路线向点D运动。
设△ABP的面积为y(B、P两点重合时,△ABP的面积可以看做0),点P运动的路程为x,则y与x之间函数关系的图像大致为【】
A.
B.
C.
【考点】动点问题的函数图象,菱形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,分类思想的应用。
【分析】当点P在BC上运动时,如图1,
∵△ABP的高
,
∴△ABP的面积
。
当点P在BC上运动时,如图2,
原创模拟预测题4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.动点P从点A出发沿AC向终点
C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回.点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度,当点P到达点C时停止运动,点Q也同时停止.连接PQ,设运动时间为t(t>
0)秒.
(1)求线段AC的长度;
(2)当点Q从点B向点A运动时(未到达A点),求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l:
①当l经过点A时,射线QP交AD于点E,求AE的长;
②当l经过点B时,求t的值.
(1)5
(2)
,
(3)3、t=2.5,
试题分析:
(1)在矩形ABCD中,
由△APE∽△OPQ,得
.
②(ⅰ)如图③,当点Q从B向A运动时l经过点B,
BQ=CP=AP=t,∠QBP=∠QAP
∵∠QBP+∠PBC=90°
,∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCBCP=BP=AP=t
∴CP=AP=
AC=
5=2.5 ∴t=2.5.
(ⅱ)如图④,当点Q从A向B运动时l经过点B,
矩形、相似三角形
点评:
本题考查矩形,相似三角形,要求考生掌握矩形的性质,相似三角形的判定方法,会判定两个三角形相似
原创模拟预测题5.如图,已知动点A在函数
(x>
o)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC。
直线DE分别交x轴,y轴于点P,Q。
当QE:
DP=4:
9时,图中的阴影部分的面积等于▲_。
【考点】反比例函数综合题,曲线上坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EF⊥y轴于点F。
∴图中阴影部分的面积=
原创模拟预测题6.如图,在平面坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限内,由点P向x轴,y轴所作的垂线PM,PN(垂足为M,N)分别与直线AB相交于点E,点F,当点P(a,b)运动时,矩形PMON的面积为定值2.当点E,F都在线段AB上时,由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S1,△OEF的面积为S2。
试探究:
是否存在最大值?
若存在,请求出该最大值;
若不存在,请说明理由。
【答案】存在。
∵四边形OAPN是矩形,∠OAF=∠EBO=45°
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形。
∵E点的横坐标为a,E(a,2﹣a),
∴AM=EM=2﹣a。
∴AE2=2(2﹣a)2=2a2﹣8a+8。
∵F的纵坐标为b,F(2﹣b,b),
∴BN=FN=2﹣b。
∴BF2=2(2﹣b)2=2b2﹣8b+8。
∵PF=PE=a+b﹣2,
∴EF2=2(a+b﹣2)2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8。
∵ab=2,
∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16。
∴EF2=AE2+BF2。
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形,且EF为斜边。
∴此三角形的外接圆的面积为
∵
∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME,=
(PF+ON)•PM﹣
PF•PE﹣
OM•EM
[PF(PM﹣PE)+OM(PM﹣EM)]=
(PF•EM+OM•PE)=
PE(EM+OM)
(a+b﹣2)(2﹣a+a)=a+b﹣2。
设m=a+b﹣2,则
∴当
时,
有最大值,最大值为
【考点】单动点问题,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,二次函数的性质,偶次幂的非负性质,转换思想的应用。
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