难点自选专题三圆锥曲线压轴大题的抢分策略讲义理Word格式.docx

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又M（2,0），

所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－，

即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.

（2）证明：

当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°

.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，

所以∠OMA＝∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为

y＝k（x－1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1<

，x2<

，直线MA，MB的斜率之和为

kMA＋kMB＝＋.

由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，

得kMA＋kMB＝.

将y＝k（x－1）代入＋y2＝1，

得（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－2＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k

＝＝0.

从而kMA＋kMB＝0，

故MA，MB的倾斜角互补．

综上，∠OMA＝∠OMB成立．

[题后悟通]　几何证明问题的解题策略

（1）圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：

一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：

某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；

二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）．

（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

[应用体验]

1．设椭圆E的方程为＋＝1（a>

b>

0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a,0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

（1）求E的离心率e；

（2）设点C的坐标为（0，－b），N为线段AC的中点，证明：

MN⊥AB.

解：

（1）由题设条件知，点M的坐标为，

又kOM＝，从而＝.

进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.又＝（－a，b），

从而有·

＝－a2＋b2＝（5b2－a2）．

由

（1）可知a2＝5b2，

所以·

＝0，故MN⊥AB.

策略

（二）　巧妙消元证定值

[典例]　已知椭圆C：

＋＝1（a>

0），过A（2,0），B（0,1）两点．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：

四边形ABNM的面积为定值．

[解]　

（1）由题意得，a＝2，b＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

又c＝＝，所以离心率e＝＝.

设P（x0，y0）（x0＜0，y0＜0），则x＋4y＝4.

又A（2,0），B（0,1），

所以直线PA的方程为y＝（x－2）．

令x＝0，得yM＝－，

从而|BM|＝1－yM＝1＋.

直线PB的方程为y＝x＋1.

令y＝0，得xN＝－，

从而|AN|＝2－xN＝2＋.

所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·

|BM|

＝

＝＝2.

从而四边形ABNM的面积为定值．

[题后悟通]　解答圆锥曲线的定值问题的策略

（1）从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；

（2）采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元（如本例）、选择消元、对称消元等．

2．（2019届高三·

湘东五校联考）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，已知P（2,3），Q（2，－3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？

请说明理由．

（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，

设椭圆C的方程为＋＝1（a>

0），

则b＝2.

由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）直线AB的斜率是定值，理由如下：

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k（x－2），

由

得（3＋4k2）x2＋8k（3－2k）x＋4（3－2k）2－48＝0，

∴x1＋2＝，

将k换成－k可得x2＋2＝＝，

∴x1＋x2＝，x1－x2＝，

∴kAB＝＝

＝＝，

∴直线AB的斜率为定值.

策略（三）　构造函数求最值

[典例]　在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，A（0,2），B（0，－2），S△ABC＝.动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|＋|PB|的值为常数．

（1）求曲线E的方程．

（2）过点Q（－2,0）的直线与曲线E总有公共点，以点M（0，－3）为圆心的圆M与该直线总相切，求圆M的最大面积．

[解]　

（1）由已知|AB|＝4，

S△ABC＝|AB||AC|＝，

所以|AC|＝.

因为|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝6＞|AB|＝4，

所以曲线E是以点A，B为焦点的椭圆且2a＝6,2c＝4.

所以a＝3，c＝2⇒b＝1，

所以曲线E的方程为x2＋＝1.

（2）由题意可设直线方程为y＝k（x＋2），

联立消去y，得（9＋k2）x2＋4k2x＋4k2－9＝0，

则Δ＝（4k2）2－4（9＋k2）（4k2－9）≥0，解得k2≤3.

因为以点M（0，－3）为圆心的圆M与该直线总相切，

所以半径r＝.

令r2＝f（k）＝，

则f′（k）＝

＝.

由f′（k）＝0，得k＝或k＝－，

当k＝时符合题意，此时可得r＝＝.

即所求圆的面积的最大值是13π.

[题后悟通]　最值问题的2种基本解法

几何法

根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查）

代数法

建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数，通过求解函数的最值解决的（普通方法、基本不等式方法、导数方法（如本例）等）

3．（2018·

合肥一检）在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2.以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设经过点（－2,0）的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．

（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上．

设椭圆E的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），

焦距为2c，则b＝c，

∴a2＝b2＋c2＝2b2，

∴椭圆E的方程为＋＝1.

又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1.

∴椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）∵点（－2,0）在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y＝k（x＋2），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由消去y得，

（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0.

由Δ＞0，得0<

k2＜，

从而x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|MN|＝|x1－x2|＝2·

∵点F2（1,0）到直线l的距离d＝，

∴△F2MN的面积S＝|MN|·

d＝3.

令1＋2k2＝t，则t∈（1,2），

∴S＝3＝3

＝3＝3，

当＝，即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±

∴当直线l的斜率为±

时，可使△F2MN的面积最大，其最大值为.

策略（四）　找寻不等关系解范围

[典例]　已知点A，B分别为椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P（0，－2），直线BP交E于点Q，＝，且△ABP是等腰直角三角形．

（2）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．

[解]　

（1）由△ABP是等腰直角三角形，知a＝2，B（2,0），

设Q（x0，y0），由＝，得x0＝，y0＝－，

代入椭圆方程，解得b2＝1，

（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设方程为y＝kx－2，M（x1，y1），N（x2，y2），

由消去y，得（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

由直线l与E有两个不同的交点，得Δ＞0，

则（－16k）2－4×

12×

（1＋4k2）＞0，

解得k2＞.①

由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，

则·

＞0，即x1x2＋y1y2＞0，

则x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1－2）（kx2－2）

＝（1＋k2）x1x2－2k（x1＋x2）＋4

＝（1＋k2）·

－2k·

＋4＞0，

解得k2＜4.②

联立①②可知＜k2＜4，

解得＜k＜2或－2＜k＜－，

故直线l斜率的取值范围为∪.

[题后悟通]　范围问题的解题策略

解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），寻找不等关系，其方法有：

（1）利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围，（如本例）；

（2）利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；

（3）利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；

（4）利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；

（5）利用函数值域的求法，确定所求范围；

（6）利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的范围（如本例）．

4．已知A，B分别为曲线C：

＋y2＝1（y≥0，a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，M为l上位于x轴上方的一点，连接AM交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为

的三等分点，试求出点M的坐标．

（2）若a＞1，S△MAB＝2，当△TAB的最大面积为时，求椭圆的离心率的取值范围．

（1）当曲线C为半圆时，得a＝1.

由点T为

的三等分点，得∠BOT＝60°

或120°

当∠BOT＝60°

时，∠MAB＝30°

，又|AB|＝2，

故△MAB中，有|MB|＝|AB|·

tan30°

＝，

所以M.

当∠BOT＝120°

时，同理可求得点M坐标为（1,2）．

（2）设直线AM的方程为y＝k（x＋a），则k＞0，|MB|＝2ka，

所以S△MAB＝·

2a·

2ka＝2，所以k＝，

代入直线方程得y＝（x＋a），

联立解得yT＝，

所以S△TAB＝·

＝≤，

解得1＜a2≤2，

所以椭圆的离心率e＝≤，

即椭圆的离心率的取值范围为.

策略（五）　确定直线寻定点

[典例]　（2017·

全国卷Ⅰ）已知椭圆C：

0），四点P1（1,1），P2（0，1），P3，P4中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：

l过定点．

[解]　

（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，

故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．

又由＋>

＋知，椭圆C不经过点P1，

所以点P2在椭圆C上．

因此解得

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.

如果l与x轴垂直，设l：

x＝t，由题设知t≠0，且|t|<

2，可得A，B的坐标分别为，.

则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．

从而可设l：

y＝kx＋m（m≠1）．

将y＝kx＋m代入＋y2＝1得

（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

由题设可知Δ＝16（4k2－m2＋1）>

0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

而k1＋k2＝＋

＝＋

由题设k1＋k2＝－1，

故（2k＋1）x1x2＋（m－1）（x1＋x2）＝0.

即（2k＋1）·

＋（m－1）·

＝0.

解得m＝－2k－1.

当且仅当m>

－1时，Δ>

0，于是l：

y＝kx－2k－1＝k（x－2）－1，

所以l过定点（2，－1）．

[题后悟通]　直线过定点问题的解题模型

5．（2018·

贵阳摸底考试）过抛物线C：

y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.

（1）求l的方程；

（2）若A关于x轴的对称点为D，求证：

直线BD过定点，并求出该点的坐标．

（1）易知点F的坐标为（1,0），则直线l的方程为y＝k（x－1），代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，

由题意知k≠0，且Δ＝[－（2k2＋4）]2－4k2·

k2＝16（k2＋1）＞0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝1，

由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，

∴＝6，∴k2＝1，即k＝±

1，

∴直线l的方程为y＝±

（x－1），

即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

由抛物线的对称性知，D点的坐标为（x1，－y1），直线BD的斜率kBD＝＝＝，

∴直线BD的方程为y＋y1＝（x－x1），

即（y2－y1）y＋y2y1－y＝4x－4x1，

∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，

∴（y1y2）2＝16x1x2＝16，

即y1y2＝－4（y1，y2异号），

∴直线BD的方程为4（x＋1）＋（y1－y2）y＝0，恒过点（－1,0）．

策略（六）　假设存在定结论（探索性问题）　　

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过定点M（0,2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m,0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？

如果存在，求出m的取值范围；

如果不存在，请说明理由．

[解]　

（1）由已知，得解得

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）设直线l的方程为y＝kx＋2（k＞0），

联立消去y并整理得，（3＋4k2）x2＋16kx＋4＝0，由Δ＞0，解得k＞.

设G（x1，y1），H（x2，y2），则y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，x1＋x2＝.

假设存在点P（m,0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形，

则＋＝（x1＋x2－2m，k（x1＋x2）＋4），

＝（x2－x1，y2－y1）＝（x2－x1，k（x2－x1）），

（＋）·

＝0，

即（1＋k2）（x1＋x2）＋4k－2m＝0，

所以（1＋k2）·

＋4k－2m＝0，

解得m＝－＝－.

因为k＞，所以－≤m＜0，当且仅当＝4k时等号成立，

故存在满足题意的点P，且m的取值范围是.

[题后悟通]　探索性问题的解题策略

探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在．

（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论．

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．

6．已知椭圆C：

0）的左、右焦点分别为F1（－1,0），F2（1,0），点A在椭圆C上．

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？

若存在，求出直线的方程；

若不存在，说明理由．

（1）设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，

因为A在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，因此a＝，b2＝a2－c2＝1，

（2）不存在满足条件的直线，证明如下：

假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y＝2x＋t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），

由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，

所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36（t2－8）>

0，

故y0＝＝，且－3<

t<

3.

由＝，得＝（x4－x2，y4－y2），

所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.

也可由＝，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，

又－3<

3，所以－<

y4<

－1，

与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾．

因此不存在满足条件的直线．